S IX

La première des équations (17), où A, B, C ont des valeurs déterminées, admet, outre son intégrale générale , la solution particulière

MN = o;

en sorte que l'on pourra la vérifier en prenant pour [x Tune des racines de M = o, ou pour v l'une des racines de W == o. Mais pour que cette solution particulière de l'équation différentielle puisse convenir à notre problème , il faut d'abord que l'on ait

Mo = o, ou No = o,.

c'est-à-dire

|x,, = o, ou v^, = o,

auquel cas la trajectoire du mobile aurait pour équation^

ja = |Xo, ou y = Vq.

En outre, cette condition, qui est néceHsaire, n'est pas suffisante; car la trajectoire indiquée par la solution particulière ne saurait évidemment convenir que dans le cas où la solution générale fournie par les équations (18) serait en défaut, ce qui ne peut arriver que si quelques-unes des intégrales définies qu'elles contiennent , deviennent

3o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

infinies. Or, pour que l'intégrale

dont l'élément est supposé infini pour fx = jul© ^ soit elle-même infinie , il faut évidemment que le polynôme M contienne le facteur /x — |Xo au moins à la seconde puissance , ou , en d'autres termes, que l'équation

ait au moins deux racines égales à jtXo-

Ainsi la trajectoire du mobile sera l'ellipse jtx = /x©, ou l'hyperbole V = Vo , si l'on a

ou

C'est le résultat auquel est parvenu Lagrange dans sa Mécanique analytique j à l'aide de considérations qui me semblent moins élégantes et moins rigoureuses que les précédentes [*].

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'une trajectoire elliptique , et ne considérons , pour plus de simplicité, que le cas où l'on a K = o et B = o , c'est-à-dire le cas où le mobile se meut dans un plan fixe, et n'est attiré que par deux centres fixes en raison inverse du carré des distances ; on aura simplement

Nous voulons que l'équation M = o ait deux racines égaies a a(>; nous supposons, d'ailleurs, que /x© n'est pas égal à A, ce qui correspondrait à un mouvement rectiligne : il faudra donc que l'équation

aCfx^-ha(g + g')l^- A=o

*1 Mécatùquf analytique , tome 11, page 11 5.

PURES ET APPLIQUÉES. .^i

ait ses deux racines égales à |Xo, ce qui exige que l'on ait

d'où il résulte , pour la vitesse initiale dirigée. suivant la tangente à l'ellipse f*o ,

et alors l'expression du temps sera donnée par l'équation

Il est remarquable que cette solution du problème par l'orbite elliptique ou hyperbolique constitue une solution particulière des équations difFérentielles du mouvement. Ce cas étant certainement digne d'intérêt, il me paraît convenable de montrer qu'on peut déduire de suite les résultats qui précèdent, des équations ordinaires du mouvement.

£n se bornant, comme précédemment, au cas du plan , ces équation.*^ seront

i£* £(^ ±A) ^(^-^) dr r^ r'^ '

et, en faisant

X = ^, ^ = ^-î- Y > ^t 1^ = ^^^ constante ,

ces équations se changeront dans celles-ci :

3u JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

qui, elles-mêmes, peuvent être remplacées par les suivantes :

et il e^t facile de s'assurer que la première de ces deux équations s'obtient en différentiant la seconde , et, par suite, qu'elle se trouvera vérifiée en même temps qu'elle. On peut donc effectivement supposer fx constant , auquel cas la dernière équation fera connaître Texpression du temps, qui sera la même que celle écrite plus haut. Quanta la vitesse initiale, sa valeur se trouve essentiellement déterminée par les coordonnées à l'origine du mouvement

Si V désigne toujours cette vitesse initiale, v et p' les deux valeurs qu'elle prend quand on fait successivement g' = o, g = o, on aura

d'où résulte ce théorème donné pour la première fois par Legendre : Soit A un point d'une ellipse dont F et F' sont les deuxjoyers; soit ^ la vitesse nécessaire pout* quun point matériel placé en A décrive V ellipse sous riti/luence d'une force attractive en raison inverse du carré de la distance émanant du foyer F; soit pareillement v' la vitesse nécessaire pour que le même point décrive l'ellipse sous V influence d'une force attractive, en raison inverse du carré de la distance émanant du foyer F ' : si ces deux forces attractives agissent à la fois sur le mobile, et que sa vitesse initiale V soit telle que l 'on ait V^ = i^* -h i^'^, // décrira encore la même ellipse.

Ce théorème n'est, au surplus, qu'un corollaire dune proposition beaucoup plus générale donnée par M. Bonnet [*]•