S XI

Dans l'examen du cas particulier que nous venons de faire, nous avons supposé la quantité /jLo différente de by et nous sommes parvenu à cette conséquence, que la vitesse initiale du mobile doit avoir une

[*] Journal de Mathématiques pures et appliquées , tome IX, page ii3.

valeur convenablement déterminée pour chaque mouvement elliptique ; mais on sent que cette condition n^est plus nécessaire dans le cas où jtXo = i, qui est celui d*un mouvement rectiligne , et que ce mouvement pourra subsister quelle que soit la vitesse initiale : il est d'ailleurs évident que l'analyse du paragraphe précédent ne s'applique pas à ce cas, car les équations (110) ne résultent des équations (19) qu'après la suppression du facteur y/ix^ — è^, qui est alors nul ; en sorte que la seconde des équations (ai) est impropre à représenter le mouvement rectiligne, ce qui, du reste, résulte aussi de ce que cette équation, qui est seulement du premier ordre, ne renferme aucune constante arbitraire. Mais les considérations exposées au § IX nous feront connaître aisément la solution dans ce cas particulier. !Nous avons vu que l'équation

M = (fx>^6»)[aCjuL» + 2(g:-hg')/^-A] = o

doit avoir deux racines égales à i; il suffit donc que l'on ait

aCA* H- 2(g -h g') * — A = o,

et la constante C ne sera assujettie qu'à la seule condition

à l'aide des deux équations précédentes, on déterminera les deux constantes A et C, qui seront exprimées à l'aide de la vitesse initiale Y, laquelle pourra être prise arbitrairement, et alors le temps sera donné par la formule

M ^b'—i,*dy

Ce cas trè&^imple peut se traiter directement, mais il nous a paru convenable de le déduire de notre analyse.