Tome XllI. - Jahtier i

3f JOURNAL DE MàTIIÉMATIQUES

K = o, et Ton aura pour l'équation de la trajectoire

V'f/x»— 6')(2CpL»4-2^fi — A) v^» ->)(2Cv«4-2^~ A)'

celle-ci est l'équation d'Euler, qui admet, comaie on &ait, une intégrale algébrique. En formant cette intégrale, on devra retrouver Téquation d'une conique ayant le centre fixe unique pour l'un de ses foyers; et, réciproquement, connaissant l'équation de la conique, on aurait l'intégrale de l'équation précédente ; mais on peut obtenir une démonstration mécanique plus simple du théorème d'Euler, ainsi que Ta remarqué M. Jacobi; car si l'on «suppose que g est nul en même temps que g' etK, le corps n'étant sollicité par aucune force se mouvra en ligne droite: or on pourra former l'équation de cette ligne droite, entre les deux coordonnées /x et v. D'ailleurs, en posant, pour abréger,

A la même ligne droite sera aussi représentée par l'équation

(/jpi dv

en sorte que l'on aura de suite l'intégrale de cette équation différentielle.

Note de M. Liov ville.

La méthode que j'ai employée dans mon premier Mémoire sur le mouvement d'un point matériel , et que M. Serret a suivie dans cette Thèse pour résoudre le problème de la détermination du mouvement d'un point sollicité par deux centres fixes F, F', ou plutôt par trois centres fixes F, O, F', équidistants et en ligne droite, avec les lois d'attraction respectives r""^, r, r"*, s'applique non moins facilement au cas où, ces lois restant les mêmes, le centre O demeure seul immobile , tandis que les deux autres F, F tournent à Tentour, sur une circonférence de cercle, de manière à se trouver constamment aux deux extrémités du diamètre qui a, dans le plan du cercle, même

longitude que le point matériel soumis à Paction des trois centres , c'est-à-dire aux deux extrémités du diamètre déterminé par -la droite OP qui joint le centre O à la projection P (sur le plan du cercle) du point matériel proposé M. Ce cas nouveau et remarquable de l'intégration des équations du mouvement a été déjà traité par une autre méthode dans mon second Mémoire ; mais j'ai promis d'y revenir et d'y appliquer la méthode plus élémentaire du premier Mémoire. En remplissant ici ma promesse , je profiterai , pour abréger, des secours que m'offre la Thèse de M. Serret. Les six premiers paragraphes de cette Thèse contiennent , en effet , des résultats généraux que je puis prendre pour point de départ. Ces résultats admis , ainsi que les notations des paragraphes cités, je continue comme on va le voir.

Considérons trois axes de coordonnées rectangulaires dont l'un, celui des z, soit la droite fixe autour de laquelle tourne le plan déterminé par l'angle y; supposons d'ailleurs que 7 soit l'angle du plan mobile avec le plan des xz. Enfin , prenons pour jx et v les paramètres de deux systèmes d'ellipses et d'hyperboles homofocales situées dans le plan mobile , et résultant de l'intersection , par ce plan , des surfaces (de révolution autour de Faxe des z) repi^sentées par les équations

p» "^ pi^ 6» — ' >

où b est une constante. En joignant à ces équations celle du plan mobile, qui est

/ = a:tang7, on trouvera aisément

jt: = !^cos7, j=Çsin7, « = ^ V(l^' -**)(**- v»).

Il faudra, bien entendu, donner aux seconds membres des signes convenables, ou, si l'on veut, on fera v = bcosO y et l'on prendra sans ambiguïté

jc = jx cos d COS 7 , jr = VCOS0 sîu 7, Z = \/]ui* —-b^siiiO.

Mais nous aimons mieux conserver la variable v.

Des valeurs de o:,^, z, ou déduit, pour dx^ -+- dj^ -\- dz^ ou ds^ ^ l'expression suivante :

On aura, par conséquent, ici

et, par suite,

en sorte que les quantités X et X*' ont bien la forme exigée au § VI. On pourra donc, avec les coordonnées que nous employons, intégrer les équations du mouvement d'un point, toutes les fois que la fonction des forces sera de la forme

Il suffira, en eiTet , de poser dans les formules (i4) ^

9(fi) = f*S 4>(v) = v% «r(^)=-^;, n(v) = -^^'. Si donc on prend en particulier

»F(v) = gv - g'v -h itv* - AA»v% la fonction des forces qui résultera de cette hypothèse , savoir,

satisfera à toutes les conditions que notre méthode d'intégration exige. Mais la valeur de U que je viens d'écrire est précisémeiit celle qui convient au cas de nos trois centres F, O, F' (dont le second seul est immobile), en plaçant le centre O à l'origine fixe des coordonnées x^ j^, 2, et les centres F, F' aux foyers communs des ellipses et «les hyperboles (]ui), (v) situées dans le plan mobile et entraînées, pour ainsi

dire, pan le point matériel dans son mouvement. Ces foyers sont, à chaque instant , dans le plan des xy^ sur la trace du plan mobile et à une distance constante h de l'origine. Il est donc bien clair que ces foyers et l'origine donnent trois points qui peuvent en effet être pris pour nos trois centres d'action. Or, en désignant par r, r\ R les distances de ces points F, F', O au point mobile, il vient sans difficulté

r = jUL 4- V , r' = fx — V , R* = fx* -h v*-* — />^

La formule

pi -+- V ^ — V ^*

peut dès lors s'écrire

et l'on reconnaîtra sans peine que telle est réellement l'expression de la fonction des forces propre à une combinaison d'actions émanant des centres F, F', O, en raison inverse du carré de la distance pour les deux premiers, et en raison directe de la distance pour le troisième. Il est assez curieux de voir cette expression de la fonction des forces, et par suite l'intégrale des forces vives, se conserver ainsi, dans une question où figurent des centres mobiles , telles qu'elles seraient s'it ne s'agissait que de centres fixes. Cela tient à ce que les déplacements des points F et F' s'effectuent dans des directions toujours perpendiculaires aux droites r, r' correspondantes, en sorte que les variations de ces droites à chaque instant sont les mêmes que si F et F' restaient immobiles. Nous ne croyons pas, au reste, devoir pousser plus loin les détails de la solution du problème que nous nous étions proposé; ce qui précède paraîtra sans doute suffisant.