Tome X III. -. F^TRim
4a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
des courbes ou des surfaces déterminées; nous les supposerons toujours par la suite donnés de position.
Considérons d'abord le cas où le mobile est libre.
On aura pour la vitesse de ce mobile à un instant quelconque ,
ou ^ = \/^g{z-Zo),
Zq étant l'ordonnée du point de départ; et l'intégrale qu'il faudra rendre un minimum sera la suivante :
ds
En appliquant les règles du calcul des variations , on arrive sans peine aux deux équations
d'où Ton déduit une équation de la forme
dx
équation d'un plan vertical. Le mobile devra donc se mouvoir dans le plan vertical qui passe par le point de départ et le point d'arrivée; la brachystochrone sera donc la même courbe que si le mobile était assujetti à rester sur un plan vertical donné , cas que nous examinons ci-après (n® 2).
Supposons, en second lieu, que le mobile doive rester sur une surface , dont nous représenterons l'équation par
(A) F(a:,jr,z) = o^
cette équation sera l'une des équations de la brachystochrone. La seconde équation ^ donnée sans difficulté par le calcul des variations ,, est la suivante :
dr
ds ^Z — Ze
d¥ '^ dF^
dx dx
Au moyen de l'équation (A) on pourra réduire Téquation (B) à une équation différentielle du second ordre entre deux variables. L'inté* grale de cette équation du second ordre contiendra deux constantes arbitraires qui permettront de se donner arbitrairement le point de départ et le point d'arrivée.
Je vais maintenant étudier les propriétés des brachystochrones considérées sur certaines surfaces en particulier.
Cas où la surface donnée est un plan vertical,
2. Nous prendrons ce plan pour plan des xz ; son équation sera donc^ = o; et, par suite , on aura
dT dF
dât ' dx
L'équation (B) nous donnera donc
f dx
ds yz — Zo d'où
dx
(i) — . ~ constante;
ds ^z — «,
ce qui est l'équation différentielle de la cycloïde.
3. Je n'ai pas à examiner ici les propriétés géométriques de la brachystochrone, qui sont celles de de la cycloïde; j'indiquerai seule* ment quelques propriétés en quelque sorte mécaniques^ fournies par la considération de son équation différentielle.
i*". La brachjrstochrone est, au point de départ, tangente à la verticale.
En effet, si l'on fait z = i»,,, on a — = o, et, par suite, ~ = o.
a^. La vitesse du mobile y en un point quelconque, est égale à la projection sur la tangente en ce point, de la vitesse au point le plus bas.
En effet, si l'on remarque que la vitesse, à chaque instant, est
donnée par la formule
et que l'angle de la tangente avec lliorizontale a pour cosinus
COS a = -p 1
as
réquation (i) donnera
cos a ^ ^ I
= constante = - ?
d'où
il = V cos a.
Or on voit par cette équation que V n'est autre chose que la valeur de V pour a = o , c'est-à-dire au point où la tangente est horizontale ; ce qui démontre le théorème énoncé.
3**. Lorsque le point de départ et le point d'arris^ée sont sur la même verticale, la hrachystochrone n'est autre chose que cette verticale.
En effet, l'équation différentielle (i) donne
dx ±= Çds \jz — Zo-
Le point de départ et celui d'arrivée étant sur la métne verticale, leur abscisse est la même; il faudra doncquela somme des accroissements
du second membre, c'est-à-dire l'intégrale C i dsy/z—Zo, soit
nulle, ce qui ne peut avoir lieu qu'en faisant C = o. L'intégrale de l'équation ci-dessus est alors simplement
équation de la verticale qui contient à la fois le point de départ et le point d'arrivée.
4. Déterminons maintenant pour chaque instant t la position du mobile sur la hrachystochrone. En mettant l'origine des coordonnées au point de départ, nous aurons pour cela les trois équations
jc = r (w — sin m) , z = r (i — cos u) , ^ = y a g^y
dont les deux premières sont celles de la cycloïde. Ces deux equation^» donnent
ds = duyjirz^
la troisième deviendra donc
d'où
du V(2^ .fg
en supposant que le temps soit compté à partir de Torigine du mouvement.
I^ loi du mouvement sera donc donnée par les deux équations
(i -cos^y^y
z = r I j — cos t
Ces équations montrent que le mouvement du point sera le même que si ce point était sur un cercle de rayon r, roulant sur une droite horizontale, avec une vitesse constante convenable.
Cas où la surface donnée est un plan incliné.
5. Nous rapporterons la courbe cherchée à l'ancien axe Ojc ou OX, supposé placé dans le plan incliné, et à un nouvel axe OZ qui sera la ligne de plus grande pente de ce plan.
Soit 6 l'angle du plan incliné avec le plan horizontal. L'équation
de ce plan , savoir,
(i) F(jr,^, z) =z-« jtange = o,
donnera
^ = o, ^=- tango.
L'équation (i) est la première des équations de la brachystochrone, et la seconde sera
ds yz — 2|
d'où
dx ^. = C.
ds ^z — «p
D'ailleurs, les formules de transformation propres à passer du système
(.r, 7", z) au système (X, Z) sont
a: = X, j^rrZcosô, r=Z sin 6 ,
et Téquation de la même courbe, dans le système (X, Z), sera
rfS \/Z-^Zo
Cette équation montre que la courbe suivie par le mobile doit être toujours la même dans le plan incliné, quelle que soit la position de ce plan autour de l'horizontale Ox^ pourvu que les points de départ et d'arrivée gardent relativement la même position. Il est, du reste, évident à priori qu'il doit en être ainsi. Car on peut décomposer la pesanteur qui agit à chaque instant sur le mobile dans la direction de la verticale, en deux forces, l'une normale au plan incliné et qui n'aura aucune influence sur le mouvement du point, l'autre suivant la ligne de plus grande pente et qui sera représentée par g sin ô. On pourra donc regarder le mobile comme étant soumis à chaque instant à une force constante en grandeur, et constamment parallèle à la même direction (celle des lignes de plus grande pente) ; ce qui ramène le cas du plan incliaé à celui d'un plan vertical quelconque.
On peut remarquer que si le point de départ et celui d'arrivée se trouvent sur une ligne de plus grande pente, la brachystochrone , d'après ce qui a été établi au n® 3 , n'est autre chose que cette ligne de plus grande pente elle-même.
Cas des surfaces de révolution,
6. Nous supposerons , dans ce qui va suivre , que la surface est de révolution autour d'un axe vertical.
L'équation générale de ces sortes de surfaces ,
donnera
et 9 par suite, on aura, pour la seconde des équations de la brachystochrone,
dx ^ dy
d'où
et en intégrant,
ds ^z — «0 ds ^Z — 2o
y ^ ^^ Jy -
yd — — xd
ds ^z — 2, ds \lz — 2o
(a) jrdx — xdjr = Cds sjz — z„.
On peut interpréter géométriquement cette équation différentielle du premier ordre; en effet, si l'on adopte dans le plan des xj des coordonnées polaires ; qu'on appelle r le rayon vecteur de la projection M, B l'angle que ce rayon OM fait avec l'axe des 2, on sait qu(^ l'on aura
jrdx — xdf = r^ dQ.
De plus, on a pour la vitesse du mobile à chaque instant,
ds
^= di — V*8^(^-" ^'«^î
l'équation (2) pourra donc se mettre sous la forme
(•3) /•* ^ = Ai^S d'où r^tie = ks^^dl.
Ainsi, faire décrite à chaque instant par la projection du tayon vecteur est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile.
Dans le cas du cylindre circulaire , que nous examinerons spécialement ci-après, le rayon r est constant. D'ailleurs,— représente la
vitesse angulaire de la projection du rayon vecteur; par conséquent: Lorsqu'un point matériel descend sur un cylindre circulaire^ en suivant une brachjrstochrone, la vitesse angulaire de la projection du rayoTi vecteur est proportionnelle au carré de la vitesse effectisfe du mobile,
A. l'origine du mouvement, la vitesse sf est supposée nulle; ^ est
donc mille, en vertu de l'équation (3) , pour une surface de révolution quelconque; par conséquent, le mobile reste, pendant le premier instant, dans le plan vertical qui passe par le rayon vecteur. Ainsi :
Toute brachfstochione sur une surface de révolution est tangente au méridien qui passe par le point de départ.
L'équation (2) peut se mettre sous la forme
et l'on voit que le second membre a toujours le même signe: il est positif ou négatif suivant le signe de C.
Cela posé, supposons que le point d'arrivée (jr, j, z,) soit sur le méridien du point de départ (jToJo^o)? on aura
^1 ^^^^ Xq ^
il faudra donc que la somme des accroissements du rapport - soit nulle, c'est-à-dire que
C J ' x^ds slT^z^ =: o,
ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que C = o. Alors l'équation (4) se réduit à
d'où
X «o Jf|
équation du méridien qui passe à la fois par le point de départ et le point d'arrivée.
Ainsi , quand le point de départ et le point d'arrivée sont situés sur un même méridien, la hrachjrstochrone entre ces deux points n'est autre chose que ce méridien lui-même.
7. L'équation générale des brachystochrones sur une surface de révolution ,
(0 r»^=:Ai;%
peut être intégrée dans tous les cas. Car on en tire
r^dQ = kds yjz — Zq.
On a d'ailleurs
r=F{z), dr=W{z)dz, et
ds — sjdz^ -h dr^ + r» dO'' = vrf«'[n- F (z)»] h- F(z)»rfe«;
l'équation (i) pourra donc se mettre sous la forme
F(z)*rfÔ» = A^(s - z^)\dz^ [i -h r[zf] -f- dQ^Y[zy\, d'où
"^- F(z) V Y{zf^h}{z^z.) • d'où l'intégrale
