Tome XIU. — Fb?kiir

Cas du cylindre circulaire droit, à axe veriicaL

8. En faisant, dans la formule que nous venons d'établir, F(z) = constante = a,

il serait aisé d'achever l'intégration indiquée , et l'on aurait l'équation de la brachystochrone sur le cylindre circulaire droit à axe vertical ; mais nous préférons y arriver au moyen du théorème suivant que nous allons d'abord démontrer :

Si Von développe le cylindre donné sur un plan vertical, autour de la verticale qui passe par le point de départ, et qu'on trace sur ce plan vertical la brachystochrone passant par les deux points donnés , cette courbe, en enroulant le plan sur le cylindre, det^ieruira la brachystochrone cherchée.

Pour le démontrer, remontons aux équations de la brachystochrone sur le cylindre,

dx dy

dssjz — ;

ds ^z — s«

avec

x^ -hy^ = a^j

et cherchons l'équation en (X , Z) de la transformée de cette courbe • en supposant qu'on développe le cylindre sur le plan des XZ , de part et d'autre de l'arête AB qui passe par le point de départ B.

Soit m{x.yy z) un point quelconque du cylindre; ce point prendra une position telle que M (X, Z), et Ton aura, entre les coordonnées des points m et M , les relations suivantes :

z =: Z, x = acos&y y=as\nOj X = a{\-hO)y

PURES ET APPLIQUÉES. Si

9 pouvant avoir toutes les valeurs comprises entre o et 4- i8o degrés et o et — 180 degrés. De là on déduit

X = a cos > T = ^ sin — — 1

ds = sldx^ -h df H- dz^ ^ vrfX» -h dZ^ = dS; l'équation de la transformée sera donc

a (^sm« -^ -h cos» ~^ j iï^Tf^ = constante, ou simplement,

= constante.

rfS v'z — z,

La transformée n'est donc autre chose que la brachystochrone entre les nouvelles positions des deux points donnés sur le cylindre; et de là, réciproquement, résulte le théorème énoncé.

Ce théorème peut aussi être démontré synthétiquement de la manière suivante.

Imaginons qu'on ait tracé une courbe quelconque sur le cylindre; cette courbe se transformera, par le développement du cylindre, en une courbe isochrone, c'est-à-dire qu'un point matériel mettrait, à descendre d'un point à un autre de la courbe cylindrique, le même temps qu'il mettrait, sur la transformée, à parcourir l'espace compris entre les deux points correspondants.

En effet, si l'on partage en éléments égaux la courbe cylindrique et

sa transformée , on voit bien que l'intégrale 1 . — = aura exac-

tement la même valeur, parce que, dans le développement du cylindre, les éléments (ds) conservent la même grandeur, et les points correspondants gardent la même hauteur (2). Or cette intégrale représente le temps total de la descente; ce temps est donc le même pour la courbe cylindrique et pour sa transformée.

De là il résulte évidemment que la courbe cylindrique pour laquelle

le temps de la descente est minimum donnera une transformée jouis* sant de la même propriété; et réciproquement.

Les formules de transformation propres au développement du cylindre permettent d'obtenir, au moyen du théorème précédent, et des équations connues de la cycloïde, les équations de la brachystochrone cylindrique en coordonnées {x^y^ z).

On a , pour les équations de la cycloïde,

Z = r (i — cos w) , X = r (m — sin w).

D'ailleurs, on a

X = a(iH-Ô), Z = z, JC=acosÔ, ^ = rtsin9;

éliminant Z et X, on aura

js = r(i — cos m), a[\ -H 9) = r (w — sin u) ,

JC* = CK COS & ,

^ =: a sin 6.

Des brachjrstochrones en général,

9. Supposons qu'un point mobile soit soumis à Taction d'un système donné de forces variables avec la position du mobile; parmi toutes les courbes assujetties ou non à se trouver sur une surface donnée, que le mobile pourra suivre pour se rendre d'un point de l'espace à un autre point, la brachystochrone sera la courbe pour laquelle le temps total du mouvement sera moindre que pour toutes les courbes voisines.

S'il existe une certaine fonction <p (x,^, z) dont les forces appliquées (X, Y, Z) soient les dérivées respectivement par rapport à j:,j^ et z, on sait, par le principe des forces vives, que l'on aura

dv dv „ dv

dx dy dz

PUKKS ET APPLIQUÉES. 53

C'est seulement ce cas que nous considérerons dans tout ce qui va suivre.

On a toujours

ds dt

et, par suite,

dt = l^

/ds — j considérée

depuis le point de départ jusqu'au point d'arrivée.

Le calcul des variations conduit sans difficulté aux équations différentielles de la brachystochrone; à savoir, si le point est tout à fait libre ,

' dz vds '

ds -^ — d -4- = o ,

dx i>ds

et, s'il est assujetti à se mouvoir siu' une surface,

dx vds dr vds

dF " '1^

dx dr

Dans les deux cas , le mouvement du point sera entièrement déterminé enjoignant aux équations précédentes la relation qui résulte du principe des forces vives, et que nous écrirons ainsi ;

10. Considérons d'abord le cas où le point est libre. On aura ,

dans ce cas , pour les équations de la brachjrstochrone absolue.

= J\^-^jr^

vds = ds '

rfr dre

vds

" ds

celle-ci :

vds

dz ds

En effet, en multipliant ces trois dernières équations respectivement par dxj djr^ rfz, et ajoutant les produits, on a

, , dx , , dy , , dt

dxd —r -H dyd -^ -H dzd — —

,1 vds vds vds

V ds

—r (dxd^x -^ dyd^y -f- dzd^z) -h d -~f- [dx^^ "H dy' -H dz^)

-7- dsd^'s -i- ds^d -—

vds vds ï f» I I I

= -z = --}- a^s -h c/sd —r

as vas vds

\ vds I V

équation identique: la troisième des équations ci-dessus peut donc être regardée comme une conséquence des deux autres.

1 1. Convenons de nommer lignes de plus grande pente absolues les courbes dont la tangente en chaque point est perpendiculaire à la surface de niveau v = constante , qui passe par ce point , ou , si Ton veut , l'enveloppe des directions successives de la force appliquée en chaque point.

PURES ET APPUQUÉES.

Une pareille courte aura pour équations

dx dy dz

dv dp dv dx dy dz

Cela posé, je disque, si la vitesse initiale est mille, la brachystochrone absolue est, en son point de départ, tangente à la ligne de plus grande pente absolue.

En effet, les équations de la brachystochrone donnent

«w vas vds

dt dy 'dz

'^ <(r dz

équations qui, pour f = o, donnent, pour le premier élément de la brachystochrone, la même direction que celle assignée par les équations (i) pour l'élément de la ligne de plus grande pente absolue.

12. Considérons maintenant le cas où le mobile se trouve toujours sur une surface

Alors, les équations de la brachystochrone peuvent être mises sous la forme d'une équation à trois membres parfaitement symétriques,

—1 <^ » 9ds a çds

il) ^ ^ — ^y ds ^ ^ dp

^ ^ ' dJF - " ~dl ^F

"^^ dr d^

Pour le prouver, écrivons cette équation comme il suit :

çds dF

'dx'

ds ""^ dx'

vds dF ds ^^ dx'

uds dF ds ''^ dz'

il suffira de faire voir que ces trois équations se réduisent à deux équations distinctes.

Ajoutons ces équations membre à membre , après les avoir respectivement multipliées par dx^ dy^ dz; il viendra, en remarquant