X .^ dF , dF , dF

que F (.r, jr^ z) = o, que, par suite, — or -h ^ rf;^ -f- — rfa = o, et

dl dl rfi

, , dx , , dy , , dz

dxd —r 4- dyd ->- 4- dzd — -

, 1 ifds vds vds

p ds

~L fdxd'x -h drdy -h dzd'z) 4- (dx' -h dv' -f- dz') d — vd^ ^ ' ^ ^ 9ds

— -- dsd's -h ds'd'---'

t^dS vds l In /il

= :5 = -—d^s -h dsd —=-

ds vds vds

On voit donc que Tune quelconque des trois équations ci-dessus pourrait se déduire des deux autres.

Ainsi, l'on pourra, suivant les cas particuliers que l'on aura à considérer, adopter pour les équations de la brachystochrone avec

Y{x, jr,z) = o et v=j\x,j,z\

l'une quelconque des trois équations que fournit l'équation à trois membres ci-dessus.

On peut déduire de ce qui précède les équations générales de la brachystochrone absolue; en effet, il est évident , par la nature même de la brachystochrone absolue, que cette courbe est aussi une brachystochrone sur toute surface F = o qui la contiendrait. Par conséquent, Téquation (i) doit être satisfaite pour un point quelconque

j-p jç" jp»

de la brachystochrone absolue, quels que soient —•> ^— ? — ; ce qui ne peut avoir lieu que si les trois numérateurs sont simultanément nuls, ou, ce qui revient au même, si / == o. On retombe ainsi sur les équations trouvées directement au n® 10.

15 Supposons d'abord que le mobile ait reçu une certaine vitesse initiale, et qu'il ne soit ensuite soumis à l'action d'aucune force; la brachystochrone se réduira à la ligne géodésique , laquelle sera représentée par les équations :

/ F(a:, jr, z) = o,

d— rf— rf — ds ds ds

'dF "~ ^F" "" "SF'

dx djr d»

qu'il est aisé, du reste, de trouver directement.

14. On arrive encore aux équations de la ligne géodésique en supposant que le mobile est assujetti à rester sur une des surfaces de niveau v = constante ; car on aura

çds

pds

vds

dç

ds dp dx

Et comme le terme — — sera commun aux trois membres de Féquation de la brachystochrone , cette équation deviendra

rfii dÈL d±

vds ifds vds

dp dp dv "^

dx djr dz