Tome XUl. - Fivtnt

et comme v doit être regardé comme constaftit dans les différentielles totales indiquées ci-dessus, Téquation prendra la forme

'" dp "

équation de la géodésique sur la surface i;(j:,^, z) = constante.

IS. Convenons de nommer li^es de plus grande pente sur la surface F {t.j jr^ z) = o les lignes de cette surface dont la tangente en chaque point fait le plus petit angle possible avec la normale à la surface de niveau qui passe par ce point, ou, ce qui revient au même, la ligne qui est, en chaque point, perpendiculaire à la courbe de niveau correspondante; ou encore l'enveloppe des projections sur la surface de la direction de la force en chaque point.

Soient (a]3yj, (a'/3'y'), («"jS^y") les angles formés respectivement avec les axes par les directions MV de la normale à la surface de niveau, MM' de la ligne de plus grande pente, AfF de la normale à la surface donnée. Soient, de plus, p, et p' les angles que MV fait

respectivement avec MM' et MF; le caractère géométrique de la direction MM' sur la surface donnée sera

Cela posé, je dis que la brachjrstochrone est en son point de départ, ou plus généralement, aux points où la vitesse du mobile se trouvera nulle, tangente à la ligne de plus grande pente.

Et d'abord , en remarquant que Ton a

I dp

tt —* —

, dx , p dp dx i jdx j dx

pds dx p^ ds p ds v^

PURES ET APPLIQUÉES. Sg

les équations de la brachystochrone pourront se mettre sous la forme

dx dv ds €ls ds ds

^dx

dydf ds dv dsdi'^" ds ^ dy

d± dz dv ds df

dsds ds dz

dF dx

rfF

dl dz

et l'on voit que, pour les points où la vitesse sera nulle, la direction de la tangente sera déterminée par des équations de la fornie

dv dx de dp dy dp dp dz dv , , dx ds ds > dy ds ds dz ds ds

dx dy dz

Or je vais démontrer que ce sont là précisément les équations générales des Ugn/es de plus grande pente.

En effet, si nous posons

nous aurons

et enfin

dp dv dv

dx A dy dz

COS a = Y' COS ]3 = -^, cos y = — ,

, dx et dy . dz

COS ce = —^ COS p = -j-t cos y' = — »

d¥ d^ dY^

cos a" = ^rr-ï cos &' = ^» COS 7" = -^,

dv dx dv dy dv dz dv

dx ds dy ds dz ds ds COS fX = '- = -.

Alors les équations (i) deviendront

cos a — COS ft COS a' cos P — cos f* cos p' COS 7 — COS f* COS 7'

^^"~ COS a" cos p" ~ ^osV^ •

6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

De là on déduit

v'^icos a — co s n cos ol'Y -f- (cos p — cos fu cos ^'Y ■+- (cos 7 — cos f* cos 7 ' )

''°~" V^OS' a" + cos» p" -h COS» -p

J I -I- COS» a — 2 COS» u.

= -î^^ *- = sin jj. ;

mais on a aussi

(cOSa — COSpiCOSa')cOSa+(cOSp — C0SfXC0Sp')C0Sp-h(c0S7 — COSpCOS7')cOS7

^^ COS a" cos a -+- cos p" cos p + cos 7" cos 7

I — COS» a sin» a sin ix

— "^ — L ;::3 sjij} n i— .

COSfJl' COSfx' ^ COSp'

En rapprochant l'une de l'autre ces deux valeurs de la même fonction Xo> on en conclut

sin JUL = cos JUL', et, par suite,

ce qui est la propriété caractéristique des lignes de plus grande pente.

Les équations (1) peuvent donc être regardées comme les équations des lignes de plus grande pente ; et , par suite , on voit que la brachystochrone est tangente à la ligne de plus grande pente qui passe par le point où la vitesse du mobile est nulle.

16. Les équations générales des brachystochrones peuvent, d'après ce qui précède , être mises sous la forme

dx dv dx dv dy dv dj dv dz dv dz dv

ds dx ds ds ^^ A^^^ ds ds ds dz ds ds

~dF~ "■* d¥ -" ' dF~ dF "" 'JF "* dF~ '

dx dx dx dy dz dz

et Ton voit que l'on aura satisfait à ces équations si l'on a en même

PURES ET APPLIQUÉES. 6i

temps

ds d¥

ds ds dF '^ d¥'

dy dz

dxdu

dv djr dv de

dz dv

ds ds d¥

dy ds ds dz

dsds d¥

c'est-à-dire qu'une courbe qui, sur une surface donnée, pourra être à la fois ligne géodésique et ligne de plus grande pente, sera, par suite , une brachystochrone.

Ou, plus généralement , en considérant les lignes géodésiques, les brachystochrones et les lignes de plus grande pente sur une surface, on voit qu'une ligne qui jouirait des propriétés des courbes appartenant à deux de ces genres, jouirait aussi des propriétés des courbes du troisième genre.

Tels sont , dans le cas de la pesanteur, les méridiens sur une surface de révolution; les arêtes d'un cylindre droit quelconque, etc. (n*** 3, 5,6).

i7. La résultante N des forces appliquées ^ estimée suivant la direction du rayon de courbure, est égale , en grandeur absolue, dans les brachystochrones planes, et dans les brachystochrones absolues^ à la

force centrifuge —

Calculons d'abord la résultante N.

En remarquant que le rayon de courbure

et que les trois angles que sa direction fait avec les trois axes ont respectivement pour cosinus

ds ds ds

on aura

id— d^ d— ) ds dv ds dv ds du > j j (.

ds dz ds df ds dz ]

Maintenant, dans l'équation générale des brachystochrones

ds^ dçd,r dxf^ ds dp dr dv ds dv dz dv

ds ds ds dx ds ds ds dy ds ds ds dz

X = J^ — dY ^ 5f '

dx df dz

multiplions les deux ternies de chaque rapp>ort respectivement par

rfj d± rfg

'-y—v —T"* "7~' ^t ajoutons terme à terme. Remarquons, d'ailleurs,

qu'en appelant Q l'angle que fa normale à la surface fait avec la direction du rayon de courbure, on a

dY ^dx dY ^dy dY dz

/. dx ds dr ds dz ds