Z,[(j- „,) rfL -^ (x - Ç,) ^M] ] J r= J. -f. Jrf

Si le conducteur est simplement soumis à un mouvement de translation , on aura J^ = o : s'il n'a qu'un mouvement de rotation autour du pôle du solénoïde , on aura , au contraire, J^ = o.

Développons J^ en j substituant les valeurs de Xal>5^ Y9DJ, Z^Df, déduites des équations (2) ; puis remplaçons Dx , Dj, Ds par leurs valeurs en Dx, , D7, , Dz^ ; nous aurons

(12) Jp = - ««''*' fs . (ADx, + BDr, 4- CDz,) ,

après avoir posé , pour abréger,

A = ^ + [(x Ç,)a,- [z - a ] rf^ j,

B = — |la même expression , en y remplaçant a par b\ , C = — jla même expression , en y remplaçant a par c\.

Substituons dans ces équations les valeurs àe x, y, s en x,,/,, s,, tirées des équations (4) i le facteur entre parenthèses de la première des formules (i 3) deviendra

![(7 — 0«» — (P — «/) "H+r, («, *» - «„ *,) — », («,c, — «,«»)] rf>

Or les quantités Oy b^ c^a^^ b,y c^^ a^^y b^^y c^, sont liées par les relations

a,b„'-a,,b, = Cy a„c,'^a,c^=zb, b,c,^ — b„c, z=a, (i5) ta^b --ab^ =c,, ac^ ^a„c z=b,y b„c^bc,^=a^

ab, '^a,b =zc„, a,e ^ac, =^„, bc, ^ b,c =a„.

A la vérité , dans le cas général , les seconds membres de ces neuf équations pourraient offrir quelquefois le signe — ; mais si Tun des systèmes d^axes dérive de l'autre par un mouvement de rotation , les formules (i5) sont toujours exactes. Ainsi le facteur (i4] se change en

( [{7-0«;-(P-«îJ«,,-+-r,c --z,b]dl

Soient maintenant Ç, »} , ç les coordonnées du pôle par rapport aux axes de x,, /,, z^, lesquelles varient avec le temps -, on aura

/ ç = fl(Ç^-.a)-f-«,(>ï,-p)+«„(Ç,-7), (17) N = *(Ç,-«) + ^K~P)-^^(Ç,-7),

On peut déduire de là les valeurs de a — Ç, , p — u^, 7 — Ç^ en fonction de Ç , >j, 2;, les substituer dans la formule (16), et après les transformations fournies par les équations (i5) , cette dernière formule devient

J'écris maintenant

Iad\ -H a, </p -h û„ d^ = dl, bd\ 4- 6,rfp 4- *„</v = dm , cd\ -^ Cfd^t -♦- c,, dv == dn,

La quantité A se réduira à la forme

et l'on aura de même

B^-[{t,-K)dl-(x,-i)d„],

■ C^-[(x,-li)dm-(y,-n)dl].