Tome Xni. - Avtii
i3o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
La substitution de ces valeurs dans l'équation (12) la change en
( [(*,-« Dr, --(j,-n)Dz,lrf/ ] Jp = - «V j ^ 'S.^ H-[(^, -Ç)Dz, - (3, - Ç)D:r,]rf//ij
-h [(r, - *») D^, ^ (:r, - Ç) Dr,] rf/i
On doit se rappeler que dlj ^p, ^v sont les déplacements absolus qu'éprouve le pole du solénoïde supposé lié avec le conducteur j , par rapport aux axes des x^ x* ^• Les équations (18) montrent que dl^ dm^ dn sont les composantes de ce même déplacement dans Tespace par rapport aux positions actuelles des axes des x,, /,, z, supposés fixes. Or le déplacement absolu du pôle supposé entraîné par le solénoïde est précisément inverse du déplacement du pôle relativement au solénoïde supposé fixe, et puisque les composantes de ce dernier déplacement sont , d'après nos conventions, d^y dn, dt, on doit avoir
di =: — d^y dm = — driy dn =2 — d^^.
D*ailleurs on peut aussi obtenir ces dernières équations en combinant entre elles les équations (8) et (17).
Ceci posé , Téquation ci-dessus devient
Soient maintenant X^, Ty>, Z^ les composantes de Taction électrodynamique exercée par tout le conducteur supposé fixe sur le pôle du solénoïde ; on aura, par les formules d* Ampère,
X, = s .p [(X, - .7) D*, - (., - Ç) Dr,],
(20) j T, = s . ^ [{z, - Ç) Dx, - (*, - Ç) Hz,] ,
Z, = S -fl [(*, - 1) D/, - (r- ») Dx,] .
Donc
J, = - «' f '^' (X,rfÇ + YpA, + Z;,rfç),
et Taction momentanée correspondante sera
(22) I>^ = — "' P^P^i -^Ypd^-^ ZpdK).
On voit ainsi que « la force électromotrice engendrée par le mouvement de trans- • lation dn conducteur est égale à la vitesse du pôle du solénoïde par rapport à ce
PURES ET APPUQUÉES. i3i
» conducteur multipUée par la composante efficace de l'actipn électrodjnainique que • k conducteur parcouru par un courant d'intensité $ exercerait sur le pôle. »
Considérons maintenant cette partie de Tinduction, due à la rotation, qui est représentée par la formule (i i). En ordonnant cette formule par rapport aux quantités dLj dMjdHj elle devient
(23) Jrf = - u'j S.D* j + [Xa(« - g - Z, (x - g] rfM [ .
Traitons d'abord le terme qui a dL pour facteur, savoir
- «' fs .[Z,(/ - ,,) - Y, (a — Ç,)] «/LD*.
et substituons-y les valeurs de Z,, Y, tirées des équations (2); ce terme devient
J r>|(a,-ç^)[(x-.gDx-|-(r->î,)Dr-h(z-gD»]J
Or, si l'on différentie l'expression par rapport à l'arc s du conducteur induit ,
dont Ç , 71 , Ç ne dépendent pas , on trouve
D ^ = j-, [r» Dx - (x - 1,) r Dr].
Ainsi , le terme que nous avons considéré est égal à
en représentant par 1 1 la différence des deux valeurs qu^acquiert -L pour
chacune des extrémités du conducteur; en opérant de même pour les termes en dM, r/N , on aura
(24) ,,=.^.'J{[f:^].,L-H[^]«/M + [i:zi],« j,
et
(25) D, = - «V j [îZli j dh -h \j-^] dJâ -H [^^] */« }•
Si le conducteur est fermé, les trois expressions j i ^ j > 1 — UlTt j se
réduisent à zéro , et cette partie de l'induction totale est nulle.
On déduit de là :
i**. Un conducteur fermé qui se meut dans le voisinage du pôle fixe d'un solenoïde ei dont le mouvement total se compose d'un mouvement de rotation autour de ce pôle et d'un mouvement de translation , éprouve la même induction que s'il n'avait été soumis qu'à ce dernier mouvement, et pour connaître celui-ci , il suffira de concevoir le pôle lié avec le conducteur, dès l'origine , et entraîné avec lui dans son mouvement.
2°. Si un conducteur fermé tourne autour d'un axe qui contient le pôle d'un solenoïde , il n'éprouve aucun phénomène d'induction de la part de ce pôle.
3". Si un conducteur fermé tourne autour de la ligne de jonction des deux pôles d'un solénoïde , il ne s'y développe aucun courant d'induction.
4''. Le courant induit qui se développe dans un arc de conducteur non fermé par la rotation de cet arc autour du pôle d'un solénoïde ne dépend pas de la forme du conducteur , mais seulement du mouvement de ses deux extrémités.
Pïommons maintenant d^ l'angle de rotation infiniment petit du conducteur, angle qui a pour valeur
d^ = sJdU -h dW -h rfN^
Soient /, //i, /i les angles que fait Taxe de rotation avec les trois axes coordonnés des j?, ^, s; on aura
dh = cos Id-^ , rfM = cos m rf^|» , f/N = cos /i ^^^ . La formule (aS) se change, par la substitution de ces valeurs, en
(26) Drf = -etVJcos/r^^1 -hcosmpl:=:^1 -k cos /i [^-=^1 j rf>P .
La quantité entre parenthèses est égale à la différence des cosinus des deux angles que fait l'axe avec chacun des rayons vecteurs menés du pôle du solénoïde à chacune des deux extrémités du conducteur.
On arriverait aux mêmes résultats en supposant le conducteur immobile, et le solénoïde tournant autour de son pôle supposé fixe.
Soient dh,^ ^M, , d^^ les composantes de ce mouvement angulaire autour de chacun des axes des coordonnées ar, , 7, , z, ; on aura entre dh , </M , </N , </L, , rfM, , «'N, , les trois relations
dL = adh, -h bdU, 4- cd^, ,
rfM = a, dL, -f- b, dM, -f- c, rfN, ,
rfN = fl?„ dL, -h b,, dM, -h c^ dV, .
Transportons ces valeurs dans l'équation (24); mettons au lieu de x,/, z les valeurs empruntées aux équations (4) ; entin remplaçons Ç, , y}, , K, par leurs valeurs en H ,
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», K tirées des équations (17); nous aurons
(28) J.= - ..'X' jj[fiZj] JL, + [TcZIi!] rfM, + 1^] dîi, j,
et, en écrivant rfL, = cos /' rf^}^ , r/M, = cos /w' ri^ , ^/N, '^ cos n'd-^ ,
(29) Drf= - «V jcos/' r^^^i + cos/«' F^^^ I -h cos /l' r^^^ I j ^^+.
La quantité entre parenthèses est la différence des cosinus des deux angles que forme Taxe de rotation du solénoide avec les rayons vecteurs qui joignent son pôle aux deux extrémités du conducteur.
