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J'arrive maintenant à l'induction développée par des aimants. D'après les idées d'Ampère, un aimant est un assemblage d'un nombre infiniment grand de solénoides infiniment petits. A ce point de vue, un solénoïde infiniment petit est synonyme d'un atome magnétique*

Je cherche d'abord l'expression du courant d'induction que développe dans un conducteur un solénoïde d'infiniment petites dimensions.

Le solénoïde étant censé fixe, soient toujours s l'arc du conducteur, Dx un élément de cet arc, jt, /, z les coordonnées du milieu de cet élément; soient w l'arc de la courbe qu'il décrit, dw l'élément de cette courbe, etdx^ dy ^ dz\e^ projections de cet élément sur les axes. Soient S,, yi,, C; les coordonnées du pôle sud du solénoïde [*J ; soient Ç, 4- a , ïj, -H p, Ç, + 7 celles du pôle nord : a , p , y sont de très-petites quantités, dont les puissances supérieures peuvent se négliger devant Ç,, 19, , Ç^. L'intensité de l'un des pôles sera t! ; celle de l'autre — x'. Si le solénoïde est remplacé par un atome magné-

[*J J^appolle ainsi celui qui «e dirigerait vera le sud , si le 8oléiioid« était libre.

PURES ET APPLIQUÉES. i35

tique , les coordonnées des pôles de Tatonie magnétique seront les mêmes que cdles des pôles du solénoide : x' représentera la quantité de fluide boréal accumulée au pôle sud ; — r! celle de fluide austral tocumulée à Tautre pôle; % sera donc la quantité absolue de fluide magnétique libre.

D'après la formule (i) du § V, le courant induit par le pôle sud (Ç,, rifj ^,) sera représenté par la formule

= — ff' f"*^* S.Df(X^d:r4-Yarfr-+-Z<T^2),

X«Df , YfDf, Z^Df étant les trois composantes parallèles aux Xy y^ s de Taction électrodjnamique exercée par le pôle ($,, n,, ^"' l'élément D.f parcouru par un courant égal à i . Les valeurs de ces composantes sont données par les équations (a) du § V. Remplaçons-y 6,, ïî, , Ç, par Ç, -+- a, u, + p, Ç, -f- 7 , et changeons le signe ; nous aurons le courant développé par le second pôle. La somme des actions de ces deux courants y en tenant compte des signes, sera désignée par J''), et représentera Tintensité du courant d'induction engendré par l'atome magnétique.

£n développant par le théorème de Taylor, et rejetant toutes les puissances supérieures de a, p, 7, on trouve

Dans celte formule , on a a = x'a, A = x'p, c = «'7 : ce sont les moments magnétiques de l'atome, suivant la terminologie de M. Gauss : -7—*' ? 'ZT' ^"' ""^P^'^^^^^®"* ^^

coefficients différentiels. Le facteur -7 doit disparaître de la formule (2) développée, at>

tendu que le facteur %' est implicitement contenu en X?, T^, Z,.

Je considère maintenant y tout autour du pôle Ç,, >},, ^,, un petit espace Ac^, assez grand pour enfermer un grand nombre d'atomes magnétiques, et je nomme J^'^ la somme des courants d'induction développés par tous les éléments contenus dans cet espace; je désigne par a', i% i/ la moyenne arithmétique des valeurs de a, by c appartenant aux divers éléments contenus dans l'espace âiP ; enfin je représente par n^v le nombre de ces solénoîdes.

On pourra, dans la formule (2) , changer Jg en J«, pourvu que l'on substitue aux lettres a y 6, c les lettres a', b\ d y et que l'on multiplie le second membre par n^v. Ceci fait, remplaçons na' y nVy né y par «', p', 7'; le courant d'induction produit

par l'espace Ac sera

./„ «' r*'o ) //''Y, „,rfT, ,rfZ,\ . [^

Les quantités a', p', 7' sont les trois moments magnétiques que posséderait Tunité de volume d'un espace magnétique à distribution uniforme , où les atomes , aussi abondants que dans Ap, auraient chacun pour moment magnétique la valeur moyenne des moments des atomes de l'espace Ap.

En faisant la somme de cette expression par rapport à ^p, et l'étendant à tout le volume de Taimant sur lequel on opère, on obtiendra le courant total d'induction que Taimant doit développer dans le conducteur. Les moments magnétiques a.\ P', 7' sont fonctions des coordonnées S, , y?^ 9 K, de l'élément Ap , et à cause de la petitesse de Ap , la somme de tous les termes correspondant aux différents volumes élémentaires Ap peut être considérée comme une intégrale triple ; nous la désignerons par 1. Je vais faire voir qu'on peut toujours remplacer cette triple intégrale par une intégrale double , prise relativement aux éléments à deux dimensions de la surface de l'aimant.

Je tire des équations (2) du $ V les valeurs de X9 , Ta , Z^ et je les mets sous la forme suivante :

rfi di

X,D* = x' i — ^ Dr — — ^ Da

( «5, dn,

dl rfi

(^^ W,D* = x'j-f D.--^Dxi,

\dl dl \

Z,\is = x' j-I Dx - -j^ Dr (,

formules où r est donné par l'équation

Je substitue ces valeurs dans l'équation (3), et j'écris, pour abréger,

dl dl dl

l'équation (3) devient

JC^' \ / ^P rfP\ I

' S./ -+. (rf« D* - dxDz) -j^ \ Ai',

Ceci pose y écrivons

(6} Ac.= DÇ,I>«,Di;„

et

Q = 2,PD?,D*,,DÇ,.

Intégrons dans toute l'étendue de l'aimant, et remplaçons les coefficients différentiels

riP dV dP . . . , dP dP dP ^

dT^ d"* dF P*** "^ equivalents — — ^ — ^> — ;t- ; *lors en tenant compte de

Téquation (6), nous avons pour l'action totale de l'aimant ,

(dyD^^dzDx)^

il)

J") = — «t'f ' S.)-^ {dzl^x — dxl^z)^Y

(d:rDr-rfrDx)^î

En nommant XmD^, YmDj, Z«iDf les trois composantes de Taction électrodynamique que l'aimant exerce sur l'élément Df parcouru par un courant égal à i ^ on a le système d'équations

^ dx dz

donc

(9) J« = — tf' Z"^* S.Dj (X„/ir 4- Y«fl[r -♦- Imdz),