Tome XIII. - A»hl

Je nommerai Q le potentiel de Taimant par rapport à un pôle magnétique situé au

point (x, j, z\ On sait que les cocfiicienU différentiels de Q, V^j -^ ? -r» sont les

^ dx dy dz

composantes de Taction de l'aimant sur ce pôle. M. Gauss a montré que, si ce pôle est extérieur à Taimant , ce potentiel peut être remplacé par le potentiel de la surface de Taimant, cette surface étant supposée magnétique et offrant une distribution convenable des fluides magnétiques. Si donc on nomme x l'épaisseur de la couche de fluide magnétique boréal en un élément Dft> de cette surface idéale, x devenant négatif là où le fluide est austral , on a

(lO) Q=r2.

X est une certaine fonction des coordonnées de Télément Dca, et I représente une intégrale étendue à toute la surface de l'aimant.

Poisson a démontré que, si la distribution des fluides magnétiques dans l'aimant a été déterminée , à l'origine , par des forces électrodynamiques susceptibles d'être représentées par un potentiel , les moments magnétiques a', p', 7' du point $„ »,> ^, situé dans l'intérieur de l'aimant sont les trois coefficients différentiels d'une certaine fonction «p de ces coordonnées ; de sorte que l'on a

d\, "^ A, de,,

et la fonction 7 satisfait alors ù l'équation / N «'"T *^'f ^'?

Alors, si Ton fait varier f , en se transportant du point de la surface correspondant à l'élément Du , à un point intérieur situé sur une normale à la surface , à une distance ^N de cette surface, en intégrant par parties l'équation (6), en tenant compte de l'équation (11), et faisant intervenir les angles que fait la normale dl^ avec les axes [ * ] , on trouve / N ^ dfù dtii

de sorte que, dans ce cas, on a

Si l'on tire de l'équation (lo) la vaienr de Q pour la substituer dans les équations (8) et (9) , on obtient

/.M-, ( [{jr-«,)D.-(s-gDr]«£ri (i3) JC)=-m'2.xD<» / 's.^j + [(»Ç,)Dx — («— Ç,)D»]rfrj.

*• ( + [(*- Ç,) Dr - (r- «,) D*] dz )

[*] Il suffit (le traiter cette équation de la mémo manière que sera traitée ci-dessous Péquation(io)du S VIU. A. B.

C'est là la forme la plus simple sous laquelle puisse être mise la valeur du courant d'induction que développe un aimant fixe dans un conducteur en mouvement.

On obtient la même expression si, dans Téquation (i) du § V, on substitue les valeurs de X^Dsy YffDf , Z7D5, tirées des équations (2) du même paragraphe, si ensuite on y change x' en — xDu, et si Ton étend Tintégrale à toute la surfaœ de l'aimant.

En supprimant le signe 1 dans l'équation (i3), elle donne la valeur du courant induit dû au seul élément D&>, et l'on verrait, comme ci-dessus, en substituant le mouvement de l'aimant à celui du conducteur, que ce courant se décompose en deux , l'un dû à la translation de Du el que je nommerai J^'"), l'autre à la rotation de Du et que je nommerai JJ;"\

Alors, en donnant à j:,,^',, z,» S, 3t, ^, li, fi, v, </i|/ la même signification que possèdent ces lettres dans le § V, on aura

(i4) j(«) = jM + j^t)^

(i5) J^"'^ =- tt'2.xD« / S.^^ j -H [(x, -^ Ç) D» — {z, - Ç) t>x] dfiL

. ,6) Ji;"J = 4- le'S.xDw r "^^ //+ ir^^-^l cos> -h p^^-^^l cosp H- f^^-^l c^s v|,

Si Ton veut passer du cas d'un aimant en repos agissant sur un conducteur mobile , au cas de l'aimant en mouvement agissant sur un conducteur en repos, il suffira de donner au système un mouvement commun qui ramène Paimant au repos. On tombe alors de l'équation (i 3) sur le système des équations (i4) > (i5) et (16).

Les théorèmes suivants sont des conséquences de ce qui précède :

I. Lorsqu'un circuit fermé ou non fermé, mais de forme invariable, obéit à un mouvement de translation en présence d'un aimant , on peut remplacer cette translation par le mouvement inverse de l'aimant, et la force électromotrice du courant induit momentané est toujoui's exprimée par la vitesse de ce mouvement multipliée par l»coni- {Misante efficace de l'action électrodynamique que l'aimant exerce sur le conducteur supposé en repos , et parcouru par le courant d'iritensité i .

II. Si le circuit est fermé, cette force est égale à la somme des produits de la vitesse relative des éléments de la surface magnétique idéale de l'aimant par les composantes efficaces des actions quUls exercent sur le conducteur parcouru par le courant i

m. Si le conducteur n'est pas fermé et sMl obéit à un double mouvement de translation et de rotation, la rotation engendrera une deuxième force électromotrice qui dépendra de la situation des extrémités de ]*arc du conducteur.

IV. Si un aimant se meut parallèlement à lui-même vis-à-vis d^1n conducteur fixe , la force électromotrice du courant induit sera égale, au signe près, â la vitesse du

i4o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

mouvement multipliée par la composante efficace de Taction électrodynamique de Taimant sur le conducteur parcouru par le courant i .

V. Si un aimant obéit à un double mouvement de translation et de rotation , son action électromotrice sur un conducteur fermé sera égale à la somme des produits de la vitesse des éléments de la surface magnétique par les composantes efficaces des actions exercées par chaque élément sur le conducteur parcouru par le courant c.

VI. Si le circuit n'est pas fermé , il se développera une seconde force électromotrice dépendant de la position des deux extrémités de Tare du conducteur.

§ vni.

Je vais m'occuper maintenant des courants d^induction produits par Taimantation et la désaimantation, en considérant ces phénomènes comme dus à la séparation ou à la réunion des deux fluides de nom comtraire. Dans le paragraphe suivant , j'envisagerai ce même sujet sous un autre point de vue, au moyen d^un principe nouveau qui dérive des résultats précédents généralisés, et permet de déterminer facilement les courants d'induction engendrés par un ehangement d'intensité du courant inducteur.

Je suppose donc que la désaimantation consiste en ce que les deux fluides distribués d'une certaine manière à la surface d*un atome magnétique viennent se neutraliser en se réunissant en un. ou plusieurs points centraux. Soient toujours Ç, », Ç les coordonnées du milieu de l'atome magnétique; S + Ç09 1 +>it9 1^ + (#9 celles de Télément Db» de la surface de cet atome; l-h a^m-i- b^ C+c, celles du point intérieur où la neutralisation s'opère. Soit xDw la quantité de fluide répandue sur l'élément Du, x étant une fonction de $«, m^^ (•• L'expression l.xDu, intégrée relativement à toute la surface, doit être égale à zéro. Soit x'D<k» la quantité qui se ment du point ($«, ir,, ^) vers le point intérieur (a, 6, c] ; x' est une fonction de Ç», «it, (•, et satisfait à l'équation

Soient ^Ç«, h^^ ^^ les trois projections de l'élément de la^ route que parcourt le fluide x'Db» dans ce mouvement. Nous sommes ici dans les conditions de translation d'un pôle magnétique y en présence d'un conducteur immobile ; ainsi nous aurons à appliquer la formule (i5) du paragraphe précédent. Toutefois, à cause de la petitesse de rélément magnétique, les composantes de l'action électrodynamique peuvent être legardées comme constantes pendant tout le mouvement des fluides; et en représentant ces composantes par Ax'Du, Bx'Doi, Cx'Do», on aura

;A = s.^[K-ç)Dr-(r,-»)D.],

(1) /B = S.l[(*,-.5)Ds-(3,-.i;)Dx],

[c = S.;i[(r,-«)Da:-(x,-Ç)Dr], equations qui se déduisent facilement des équations (2) du § Y.

PURES ET APPLIQUÉES. i4i

Alors , en nommant J le courant d^inducdon , on aura

1 1 bh) J = — u'2 . Tr/Dw (A^l, -+- BJn, 4- C^^.

Si Ton efîfectue l'intégration relativement à la route parcourue , on fera disparaître le signe / , et Ton aura

J = ff'2.x'D«[A(Ç.-û) -hB(i,o- b) -H C(i;o - c)\

Intégrant par décomposition relativement à Z , remarquant que a, b^ c sont constants*, et que Z . x' Du = o , on trouve

(2) J = fe'[A2.x'Ç.Dw-h Bl.r/n«D« -H Cl.x'i;oD«].

Ainsi le courant J est indépendant dé la position du point de neutralisation (a, b^ c): si donc l'on désigne par x'^D»), x*Da> les quantités de fluide qui partent de Télément Du pour venir se neutraliser en un second, un troisième point, etc., on aura pour le courant total E provenant de Félément magnétique considéré, et à cause de

x'-hx"-4-x'*... = X,

E = ft'(AZ.xÇ,D» -+- BZ.xnoBu 4- CZ.xÇ,Dw).

Les quantités Z.xÇeDu, Z.xn^Du, Z.xCoDu sont précisément les moments* magnctiquesr de Tatome , quantités représentées par a^ by c dans le § Vil. On peut donc écrire , en les désignant ici par a ,. p , 7 ,

(3) E = ee'(Aa-hBp-hC7).

On obtiendrait de même le courant dd à Taimantation de Patome magnétique. Il suffit de changer le signe du second membre de la dernière équation : en nommant M le courant induit, il viendra

4) M = — «^ (Aa + Bp •+- C7).

Renfermons maintenant le point Ç, «I9 Ç dans un petit espace D», et concevons que a , p , 7 soient les moments magnétiques moyens de cet espace ; soit /rDc le nombre des< atomes contenu en D(^, et posons

jwt=:a', irp=P', «7=7'- Le courant induit M', dû à Faimantation de Tespace magnétique D(^, sera

(5) M' = — f f ' ( Aa' 4- Bp^ 4- C7' ) Dp.

Les quantités a', p', 7' sont, comme dans le ^ VU, les moments magnétiques moyens de Tunité de volume an point considéré.

Si donc Ton intègre relativement à tout le volume de Taimant , on aura , en nom^ roant J^^' le courant toul d*induction ,

(6) j(^' = — ••' 2 . (Aa' 4- Bp' 4- Oy' ) Dp. C'est une triple intégrale à étendre à tout le volume de l'aimant»

i42 JOUKN.IL DE MATHÉMATIQUES

0*après une loi d^Ampère, Taclioii dUin circuit fermé sur un pôle magnétique se laisse toujours exprimer par un potentiel ["^J. En nommant V cette fonction, on a donc

D'autre part, la distribution du magnétisme dans rintérieur de Faimant doit être considérée comme ayant été primitivement le résultat de Taction de forces électrodynamiques dont la résultante pouvait aussi s'exprimer par un certain potentiel ; car Taimantation a été produite soit par d'autres aimants , soit par des courants galvaniques , et les forces provenant de ces sources électrodynamiques s'expriment toujours par des potentiels.

Ainsi a', p\ 7' doivent pouvoir se mettre sous la forme

^^^ """^' ^-^ST' ^~5ç-'

la fonction 7 étant convenablement choisie , et satisfaisant d'ailleurs à l'équation

Posons, en outre,

Dp = DÇD>3DÇ.

L'équation (6), transformée par le moyen de ces dernières équations, deviendra

(.0) j(.)=«'..|^^^-^JL+^Jd5d,dç.

Intégrons par parties le premier des trois termes du second membre; nous aurons

Les parenthèses indiquent la différence des valeurs que prend la quantité V -— aux

deux points où la droite r=:yi, ^ = 2^, parallèle à Taxe des x, coupe la surface de l'aimant. Si Ton opère de même sur les autres membres, en tenant compte de l'équation (9) , on aura

L'intégration indiquée par le signe z ne se rapporte plus maintenant qu'aux points de la

[*] Lorsque j^annonce qu^une actioo mécanique exercée sur un poiot se laisao exprimer par un potentiel, cela veut dire qu^il existe une fonction des coordonnées (, «7, Ç de ce point, telle que ses coefflcients différentiels par rapport à I, >?} Ç sont les trois composantes de cette action pamllèlement aux axes des | , >? et Ç .

PURES ET APPLIQUÉES. i45

surface, de l'aimant. Si Ton nomme Durélément de cette surface qui correspond au point (Ç, >ï, Ç); (N, Ç), (N, jj), (N, Ç), les angles que la normale à la surface au point (S 9 » 9 ^) fait avec les trois axes coordonnés , on aura

ùnDK = Dw cos (N, Ç), DÇDÇ = Dw cos (N , »j) , DÇD>3 = Dw cos (N , Ç) ,

et, par conséquent,

(il) j('')=-«'2.|v^cos(N,Ç)-hV^cos(N,«)H-V^cos(N,Ç)]l>^»-

Soit maintenant ^ é/N la variation de la fonction y, en passant d*un point de la surface à un point intérieur situé sur la normale à cette surface et à une distance r/N du premier point ; les coordonnées de ce point seront

Ç-hf/Ncos(N, Ç), '>ï-f-rfNcos(N,>]), Ç + rfN cos{N, ^ j ainsi

rfNcos(N,Ç), rfNcos(N,«), //Ncos(N,Ç) seront les trois variations de Ç, n, Ç, en passant du premier point au second, et Ton aura

-^^N = ^£fNcos(N, S) -f- ^rfNcos(N, >î) -h ^ ^N cos (N, Ç). Ainsi réquation (ii) peut être mise sous la forme

(12) J(^)=: — fe'l.V^D».

La quantité — ^ est le coefficient différentiel relatif à la variation de la fonction le long

de la normale à la surface.

Si au lieu de décomposer par rapport à (p l'équation (10), nous l'eussions décomposée par rapport à Y, nous aurions eu de même , à cause de

d'Y d'Y d'\ dl' "^ dn* ■*■ dÇ' ~"^'

(i3) J(^)=— «'2.t^Do>.

Les intégrations indiquées par les équations (12) et (i3) doivent s'étendre à toute la surface de Taimant ; les quantités ^ , ^' Tn* Jrî ^^^ ^^* fonctions des coordonnées^

de rélément D» .

En changeant le signe du second membre de ces équations , on aurait la valeur div courant induit dû à la désaimantation.

Jusqu'ici nous avons supposé que le corps passait de Tétat neutre à un certain état magnétique, ou réciproquement. S'il y ayait une simple altération de letat magnétique, il faudrait considérer la fonction ^ comme yaiiablcj par exemple comme étant égale à f' au commencement du changement d*état , et égale à ^" lorsque ce changement est efTectué ; on aurait alors les deux équations suivantes :

(.4; jm=„'2.vK?^)d«,

(l5} JA*=„^2.^(y'-y")Dw.

La triple intégration sous-entendue par Téquation (6) se laisse toujours ramener à une double intégration relative à la surface. On peut en effet, comme M. Gauss Ta démontré-, substituer à la distribution magnétique des fluides dans l'aimant une certaine distribution superficielle, produisant à Textérieur les mêmes effets ; or les composantes de Taction électrodynamique de Taimant sur un pôle magnétique extérieur à cet aimant sont représentées par les dérivées partielles de la (|uantité Q de l'équation (6) du paragraphe

précédent ; elles le sont par les dérivées de la quantité 2. dans le cas de la distribution superficielle, r étant la distance d'un élément Doi au pôle considéré. On a ainsi

aç ' a>ï ^Ç J r

£n multipliant les deux membres par la masse indéterminée m , que Ton supposera concentrée au pôle extérieur que Ton considère, on aura

im , nt j '^ 1

Considérons une série d'autres pèles placés à des distances r\ r",... de l'élément I>a> et possédant des niasses de fluide m'y m'',...; en formant pour ces pôles des équations analogues , les ajoutant ensemble , et posant

on aura

^'%^ P''-^^-^l'^^^l^lK=l.^l^l>^.

Reportons-nous maintenant à l'équation (6) de ce paragraphe: les quantités A , B, C sont les dérivées partielles d'un certain potentiel V ; en outre , ce potentiel V peut toujours être considéré comme représentant l'action qu'exerceraient certaines masses d«

PURES ET APPLIQUÉES. i45

fluides magnétiques, extérieures à PaiiDant, sur cet aimant lui-même; on en conclura qu'on peut toujours déterminer la fonction U de manière à avoir U = V, et , par conséquent , Téquation (6) devient

(i6) Jv/*) = — if'x.xVDw.

Si ToD suppose que le magnétisme supei*ficiel passe du mode de distribution indiqué par la fonction x' au mode indiqué par la nouvelle fonction x", le courant induit , résultat de ce changement, aura pour valeur

(17) J^'*î = «'2.(x' — x")VDa>.