PO'O
tang
FO'O tang— —
= constante.
V. Si l'on joint un point P d'une ligne de courbure aux deux ombilics O, O' par deux lignes géodésiques qui rencontrent de nouveau
f*] Tous ces angles sont formés sur la surface par les lignes géodésiques.
la ligne de courbui'e respectivement aux points F, P", le lieu dti point d'intersection Q des lignes géodésiqiaes OP", O'P' sera aussi une ligne de courbure de la même espèce.
VI. Si l'on tire d'un point P deux lignes géodésiques qui passent par les ombilics O , O', et qui rencontrent une ligne de courbure donnée respectivement aux point3 ,Q, Q', R, R'; si, en outre, P se meut sur une ligne de courbure de la même espèce que la première, l'intersection S des ligaes OR, O'Q, et celle S' des lignes OR', O'Q', décriront deux lignes de courbure de la même espèce.
Il suit de là que si nous joignons un point P, pris sur une ligne de courbure, aux deux ombilics O et O', par deux lignes géodésiques qui rencontrent la courbe une seconde fois aux points Q, Q', et que nous tirions ensuite les lignes géodésiques O'Q, OQ' qui rencontrent une seconde fois la ligne de courbure respectivement aux points R , R', les intersectiops de OQ', O'Q et de OR, O'R' décriront deux lignes de courbure de même espèce que la première. Et comme cette construction peut se continuer ad infinitum en prolongeant encore OR, O'R' jusqu'en S et S' sur la ligne de courbure primitive, puis joignant OS', O'S, etc., nous pouvons faire dériver d'une ligne de courbure donnée une suite infinie de lignes de même espèce. Si nous désignons par jui, fji', fx",... , fx^''^..., les constantes de ces lignes, nous obtiendrons facilement
ce qui fournit une construction géométrique pour ia multiplication , par un nombre impair, de l'intégrale
[*] Ce théorème, appliqué au cas des coniques planes, donne une traduction géométrique de quelques résultats dans la théorie des fonctions elliptiques. Par exemple, ayant fait dériver d'une ellipse donnée une suite d'ellipses homofocales par la construction indiquée dans le texte , cherchons le produit des excentricités de toutes ces ellipses.
Pour cela , soit tang - tang — = /ti pour la première courbe; les quantités analogues
PURES ET APPUQUÉES. 7
Nos formules conduisent à une fonction qui doit remplacer la fonction sinus , pour un arc géodésique OP = p issu de l'ombilic O et terminé à un point (fi, v). Cette fonction , que nous désignerons par P, sera définie par l'équation
qui peut être considérée comme une formule pour la rectification des courbes tracées sur la surCace de l'ellipsoïde, et qui sont déterminées par une relation entre le rayon vecteur géodésique p et l'angle w. Si la courbe est une des lignes de courbure dont l'équation est
fjL = constante ,
on a, par les expressions connues,
et 9 par l'équation (a) ,
(h ./ a^^y* r / a*^b* dm * ^
de là nous tirons , pour P*, l'expression suivante ,
qui détermine p. ^ ' »
pour les autres seront m\ m\ m\. . ., et en désignant par •, t', t*fk . . les excenincités des courbes qui forment la suite, on aura
