Tome XIII. — Avril

Nous avons déjà vu que, si l'état magnétique de Taimant est le résultat de forct-s extérieures expressibles par des potentiels, x pouvait se mettre sous la forme

La quantité «V est le potentiel du conducteur parcouru par le courant i et agissant sur Tunilé de fluide magnétique en Do». D'après cela, cZ.xVDca est la somme des potentiels du conducteur étendue à toutes les masses magnétiques de Taimanl , et j'appellerai cette somme le potentiel du conducteur agissant sur tout l'aimant, ou, ce qui revient au même , le potentiel de l'aimant relativement au conducteur.

D'après ces définitions^ on voit que « la force électromotrice, développée en un cir- » cuit fermé par le mouvement d'un aimant, est égale à la différence des valeurs ini- » tiale et finale du potentiel du conducteur parcouru par le courant s relativement à >> Taimant. »

Cette loi est tout à fait générale quelle que soit la grandeur ou la nature du mouvement de Taimant : « Ainsi toute circonstance qui changera la valeur de ce potentiel dé- « veloppera un courant d'induction , » et c'est ce changement de valeur qui peut être considéré comme étant la cause de l'induction. Parmi ces circonstances, on peut mentionner le changement de l'état magnétique de l'aimant. Nous avons déjà trouvé que, dans ce cas , on avait

,4;- J(''^^ = «'ï.(/ — x")VDw;

ainsi la force électromotrice développée est égale à «î . x' VDw — t'i, y" VDw, c'est-à-dire à la difféi-ence des valeurs des deux potentiels.

Nous allons appliquer les mêmes prîncipes à la recherche du courant d'induction que développent en un conducteur les variations d'intensité d'un courant situé dans son voisinage. L'induction qui se développe dans un conducteur en mouvement sous Tinriuence d'un courant fixe a pour expression [vojrez équation (6), § IIIJ ,

(i) J ==-«' r'*''s.(X,*j'-4-Y,J/-hZ,(îz)D5.

Ds est un élément du conducteur induit: ses projections sur les axes sont Dx, D>-, Da; ^x, 5/, 9z sont les déplacements de cet élément dans le temps dt-, X^ , Y, , Z, sont les composantes de l'action électrodynamique exercée par tout le courant sur l'élément Ds parcouru par un courant égal à i .

Par le circuit fermé du courant inducteur faites passer une surface courbe de forme arbitraire que vous limiterez extérieurement à la ligne courbe du circuit; décomposez cette surface ainsi limitée en éléments de surface contigus, et supposez qu'autour de chacun de ces éléments circule un courant de même sens et de même intensité que le

courant primitif. La réunion de tous ces petits circuits équivaudra évidemment au circuit initial. Soit Du un de ces éléments: le courant y qui parcourt sa périphérie agira sur réiément Dsy diaprés une loi connue d'Ampère, comme le ferait un atome magnétique situé au centre de Du, ayant pour axe la normale à la surface et pour moment magnétique jy Dfl>> , j étant l'intensité du courant général.

Soient X, Y, Z les composantes de Taction électrodjnamiquc que cet atome magnétique exerce sur l'unité de courant en Ds ; en intégrant dans les limites de la surface idéale considérée, on aura

(2 X,Df=2;.X, Y,Dj=î.Y, Z<,Dj = 2.Z.

Les formules (2) du § Y donnent faction qu'un pôle de solénoïde exerce sur un élément Df du conducteur induit parcouru par un courant égal à 1 . Pour en déduire Taction d'un solénoide infiniment court , il faut calculer la variation des seconds membres, relativement à Taxe du solénoïde : si donc dv représente la distance des deux pôles ,1 mesurée sur Taxe du solénoïde , normal à la surface en Doi , on aura

= i^ ^[(*-gD/-(/-.,)D.]D«,

= -^7. ^[(^-5,)D*-(»-i:,)Dx]Do.,

r' dv

[(r-«,)D*-(*-ç,)Dr]D«.

On a, en effet, > ==Dft> et ouly = i . Les quantités entre les crochets [ ] dépendent dn signe d du numérateur voisin.

La comparaison des équations (i), (2), (3) de ce paragraphe avec les équations (i) et (2) du § y fait voir qu'elles n'en diffièrent que par la substitution de f yi>M à )/, par l'introduction du signe 1 relatif k la surface dont Du est l'élément , enfin par ce que les fonctions entre deux crochets sont ici remplacées par leurs dérivées par rapport à V. On pourra donc effectuer ici les mêmes transformations déjà effectuées dans le $ Vy et décomposer la valeur de J en deux parties J^ et Jj^ Tune dépendant de la translation et l'autre de la rotation du conducteur. On aura ainsi

J = J, -i- Jrf, d ■'•*■

:— i «72. D« -^ / ' (X,JÇ 4- Yf9n ■+■ Z,*;),

i48 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

^X, = S.l[(jr,-.n)Dz,-(.,-Ç)Dr,],

(5) /Y^ = S.^[(«,-ç)D;r,-(x,^Ç)D^J, Z/» = S.l[(*,~Ç)Dr,-(r,-«)IXr,]>

(6) J^=-|«f7l.D«^ rfcos/'^i^ + cosm'-?^^^

Ces expressions supposent que le conducteur induit est en repos : c*est le courant inducteur qui se meut , entraînant avec lui la sur&ce auxiliaire dont Du est un des éléments.

Si le conducteur induit est une courbe fermée , on a

Les quantités X^, Y^, Z^, qui représentent les composantes de Taction du conducteur fixe sur Tunité de fluide magnétique condensée au point (S, «ly Q, peuvent toujours être considérées , d'après la loi déjà souvent citée d'Ampère , comme étant les dérivées par rapport à (, n, ( d'une certaine fonction Y^ de ces coordonnées. Ainsi Y^ représentera le potentiel du conducteur relatif à Tunité de fluide en Ç, n^ (. On aura donc

^p- ^ç' ^^-'d^' ^'- dK

En substituant ces valeurs dans l'équation (4) j intégrant diepuis l'origine du mouvement jusqu'à la fin , et nommant V^ et Y^ les valeurs initiale et finale de ce potentiel , on aura

dV La quantité 7 f/2.D»r~^ est, d'après notre c^finition dti potentiel, le potentiel du

eonducteur induit relatif au circuit inducteur. Ainsi « la force électromotrice développée dans un circuit induit par le mouvement relatif d^un inducteur est égale à la différence des deux valeurs que prend le potentiel , au commencement et à la fin du mouvement. »

Les formules (4) et (6) supposent que le circuit inducteur est fermé. Si le conducteur induit est aussi un circuit fermé , on peut opérer sur ce circuit comme nous avons opéré sur le circuit inducteur, et le transformer en une multitude de petits circuits d'aire Do dont la réunion forme une surface qui s'appuie ]sur ce conducteur.

Alors, soh Dff rélément du coarant inducteur supposé mobile; soient X^, Ti, Z^ les composantes de Taction électrodynamique du courant induit supposé égal à 1 sur rélément Dv ; soient ^^ ^n, ^ les déplacemento de Dv; on aura, d'après la formule (7) du§IV,

J = — tt'2. f"^' (X,^Ç -H Y,h 4- Z,^) DfT.

Transformons les composantes X«, Y«, Z, comme nous avons transformé Xa, Y,^, Z^, et nommons dn une petite longueur dirigée suivant la normale à l'élément de surface Do ; nous aurons

' X, Dff = - lys ~ [( ^, ~ Ç , Dt, - (r, - «) DÇ] Do ,.

^^^ ^j,Da=-iyS~[K-Ç)DÇ-(*,-Ç)D?]Do,

Z,Dcr = ^|yS~[(r,-«)DÇ-(j,,~Ç)D.]Do,

£n effectuant sur les équations (8) et (9] le g^nre d'opérations auquel vient d'être soumis^ le système des équations (i) et (3), on aura'

-'^ = -2.-[(r--«,)Dç-(z-gD„],

(.1) ^Y, = -2.i[(*-.i;,)DÇ«(x-Ç,)DÇ],

2^ = - 2 -TiK' - «.) D« - (jr- >»,) DÇ], r^ = (*-.ç,)'-h(r-«,r-h(3-g%

(12) Jrf=-i-i.7S.Do~ jfrcos/^^'4.cos.m-?l^H-cos«î^

Si rinducteur est aussi une courbe fermée , on a

Jrf = o.

^A% quantitésyX:T,yTir,yZ7r représentent les composantes de l'action de rinducteur

i5o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

sur Tunité de fluide magnétique accuaiulée au point (or, /, z) : ce seront donc les dérivées partielles relatives à j?,^, s du potentiel de cet inducteur. Si donc on représente ce potentiel pary Vn, on aura

„ ^V^ dVn dVn

Att = : î i-7t ^== --J > liTt = —: •

djc ay dz

La substitution de ces valeurs dans l'équation (lo) donne, après Tintégration effectuée relativement au chemin parcouru,

('3^ J, = i6e7S.Do^(v;-V;),

formule dans laquelle V-j et V^^ sont les valeurs initiale et finale de Vît .

La quantité -s-eyS-Do ^ est le potentiel du circuit inducteur sur l'intluit supposé

parcouru par un courant égal à i. Ainsi, dans la loi énoncée à la page 148^ on peut remplacer le potentiel du circuit induit par celui du circuit inducteur.

Ces deux expressions doivent être identiques. En effet, Vtt est le potentiel d'un courant inducteur égal à i sur Tunité de fluide magnétique en x, ^, z\ on peut considérer ce courant inducteur comme équivalent ù une surface magnétique d'élément Dq>>, comme nous l'avions supposé en premier lieu. Alors ce potentiel doit

avoir pour expression [équation (10), § VII], 2.-^-*^: or ici il existe deux sarfar^s

magnétiques concentriques qui contiennent des fluides de noms contraires ; elles sont

séparées par l'intervalle ^v: il faut donc différentier cette expression par rapport à v

et n'en conserver que la variation ; ce qui donne , pour le potentiel ,

Mais la quantité xD<)i>r/v représente le moment magnétique de l'élément Doa, lequel doit être égal à j Do) ; donc

On démontrerait de même

Dans ces formules , on a

/•' = (x — ç)* 4- Cr — «)'-f- (3 — ç)'.

La substitution de ces valeurs dans les équations (7) et (i3) mène à une équation

uniijuti

( i4) J/> = T «ys 2". Do D«

Les crochets indiquent que Ton doit prendre la dlfTérence des valeurs de la t'onrtion k l'origine et à la fin du mouvement.

Ainsi )e courant d*induction ne dépend que de la variation du potentiel. 11 en résulte que toute circonstance qui altérera la valeur du potentiel produira un courant induit; si, par exemple, le courant inducteur passe de l'intensité/ à Tintensitey", en nommant le courant induit j(^\ on aura

= {«£'(/ -y-^) S. Z. Do Do)—^.

an fl V

11 reste à savoir si ces formules sont applicables au cas d'invasion ou de cessation subite d'un courant; et c'est sur quoi l'expérience devra décider.

Toutes les formiiles démontrées jusqu'ici supposent que la rapidilé des changements <le lieu dans l'espace ou des changements d^nten^ité est beaucoup plus faible que Kn rapidité avec laquelle l'induction se développe dans le circuit induit. Elles ne sont donc rigoureusement applicables que dans le cas du développement lent des courants. En les étendant néanmoins au cas des courants qui se développent instantanément, on verrait que rindnction est la même que si le courant s'était subitement transporté d'une distance infinie au lieu de l'espace où il s'est formé.