XI
La valeur du courant induit dépend d'une triple intégration, Tune relative au circuit du courant inducteur, une autre au circuit du courant induit , la troisième au chemin parcouru par chacun des éléments du circuit mobile. L'introduction du potentiel des surfaces magnétiques des circuits fait disparaître cette dernière intégration, mais elle remplace la double intégrale restante , par deux doubles intégrales dépendant de ces surfaces. Je vais montrer que si Tun des deux circuits est fermé, l'intégrale triple peut être réduite à une intégrale double , et même à une simple quadrature dans le cas où le circuit fermé aurait de très-petites dimensions par rapport à la distance qui le so~ pare de l'autre circuit.
Soit s l'arc du conducteur induit qui se meut vis-à-vis du circuit inducteur fixe et d'arc <r; Teffuation (6) du § 111 donne
fi)
' (Xa ^x 4- Ya ^/ -i- 2W Sz) Ds;
i5:i JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
XaDs, Y<yDf, ZtDj sont les trois composantes de Taction électrodynamique exercée par l'arc v sur Télément Ds parcouru par un courant égal à i ; ^x, fyj ^s sont les trois projections du chemin infiniment petit Si» parcouru par cet élément. Le courant inducteur étant fermé et d'intensité j\ on a, par les formules d'Ampère,
Y.D.=iy.[(^D,-^D5)Dx-
r étant donné par l'équation
Substituons ces valeurs dans l'équation (i) et ordonnons le second membre suivant D$ , O», Dç ; nous aurons , pour le terme dépendant de Dl^ ,
-^u'jl.S.Ji
'dl dl dl
'dl dl dl
On obtiendrait de même les termes en D>i, Dç en remplaçant les deux facteurs ^j:, Dx extérieurs aux termes entre parenthèses par fy^ Dr, ou par iz^ Dz, et en changeant en même temps DÇ en Du ou en D(.
a- d- rf- d" d- d
On peut remplacer — » — ^ ^ par — —t — — » — — • Ce changement fait,
le terme ci-dessus se décompose dans les deux suivants : I Cfél dl di
. --- ^y -I- - ^i / DxDH.
PURES ET APPrjQUÉES. 153
ôr on a , en intégrant |>ar parties relativraient à l'arc * ,
et, en intégrant par parties vela tivemeo tau chemin w décrit par Télément D^,
ow» DÇ^^ -h Dn ^j' -h Dz 5z ^
Kn substituant ces valeurs dans {^expression (3) et remarquant que on aura , pour le terme dépendant de D{,
et la valeur complcle de J deviendra
Le signe I indique que Ton doit prendre la difTérence des valeurs de Tintégrale I
au^c deux extrémités de Tare j , et le signe S!^, indique que l'on doit prendre la différence des valeurs de Tintégrale S aux deux extrémités du cheinin parcouru.
Je vais examiner d*abord le cas où le circui| mobile forme une courbe fermée , et celui où le chemin parcouru est aussi fermé, le circuit revenant, à la fin de son mouvement, occuper sa position première.
Premier cas. — Si le circuit induit est fermé , on a
et, fiar conséquent,
• ' ^ ruw
Mais nous savons dcjà , d'après ce qui a été dit dans le § X , qiie l'action éleclromotrice Tome Xlll. — Mai 1848. ^q
t54 journal de mathématiques
exercée par un circuit fermé sur un autre circuit est égale à la différence des valeurs que le potentiel du courant inducteur acquiert dans les positions initiale et finale du circuit induit supposé parcouru par un courant égal à •.
Il en résulte que Ton pourra représenter ce potentiel par l'expression
|«y2.S.-(DÇDa:H-D>iDrH-DÇDz)= V.
Ainsi , lorsque deux circuits fermés parcourus par des courants égaux à Tunité agissent Tun sur l'autre, « le potentiel du premier relativement au second est le même que celui du second relativement au premier , » et la valeur commune de ces potentiels a j)our expression
Si donc Ton nomme (Dd, Ds) l'angle formé par les éléments Dd, D* entre eux, on aura, pour le potentiel , ^ 2.S.- cos(D(t, Ds) D^Dj; c'est-à-dire « qu'il sera égal à la demisomme des produits quatre à quatre des deux éléments D(r, Dj,'du cosinus de leur inclinaison relative cl de la raison inverse de leur distance r. »
Deuxième cas. — Si la route suivie par le conducteur induit est rentrante sur ellemême, on a
c'est-à-dire que J est égal à la différence des deux valeurs que prend l'expression
lorsqu'on y considère 8x , âfj Sz comme sç rapportant successivement: i° au chemin parcouru par l'une des deux extrémités du conducteur induit ; 2® au chemin parcouru par l'autre extrémité.
Considérons chacun de ces deux chemins comme étant des conducteurs matériels fermés et susceptibles d'induction , ce qui permettra de remplacer pour le moment Sx,
$y, ^sparDx, Dj, Dz, et / par S. Alors, en nous reportant au cas précédent, nous
verrons que la force électromotrice développée dans ce cas idéal sera égale à la différence des valeurs du potentiel du circuit inducteur sur le circuit fermé décrit par l'une des extrémités et sur le circuit fermé décrit par l'autre , chacun de ces deux derniers circuits étant supposé parcouru par le courant €.
Ainsi , dans ce cas , la force élèctromotrice ne dépend que du chemin décrit par chacune des deux extrémités de l'arc , et nullement de la forme du conducteur induit.
PURES ET APPLIQUEES. i55
Si, dans ce cas, le condacteur venait à se fermer sur }ui-inème, la force électromotrice, développée pendant une révolution complète, serait égale à zéro.
Troisième cas. — Je reprends maintenant le cas général où un circuit non fermé a parcouru un chemin qui ne le ramone pas à sa position première. Alors, en matérialisant par la pensée les deux arcs décrits par chacune des deux extrémités, ou obtient un quatrilatère courbe formé: i° par les deux courbes /, s" avec lesquelles vient successivement coïncider l'arc s au commencement et ù la fin du mouvement, et tP par les deux courbes ^, e" dont l'une a été décrite par Tune des extrémités de l'arc Sy et l'autre par Fautre extrémité du même arc. Comme la formule (4) se décompose naturellement en quatre termes dont les deux premiers [vojrez le deuxième cas) sont» après suppression du facteur %'^ les valeurs du ^tentiel du circuit inducteur par rapport aux courbes e'y e" parcourues par le courant «, et dont les deux derniers (voyez le premier cas) sont, après suppression de c', les valeurs du même potentiel relativement aux courbes /, /' parcourues par ce même courant, on voit que Ton peut énoncer la loi suivante :
« La force électromotrice d'induction développée dans l'arc s par un déplacement de cet arc tel , qu'il décrive une surface limitée par un quadrilatère courbe s'cs"e'\ est égale au potentiel du circuit inducteur sur le circuit fermé et quadrilatère de cette surface supposé parcouru par un courant continu et égal à c. »
Il résulte de la continuité du quadrilatère, qu'en e' le courant s est de direction contraire à celle du courant en c", et qu'il en est de même pour s' et 5".
Cette loi générale comprend , comme cas particaliers , les deux cas examinés en premier lieu ; les lois qui s'y rapportent s'en déduisent comme de simples corollaire^.
La même loi subsiste encore si l'on remplace le courant inducteur fixe par un système de plusieurs courants inducteurs fixes, et, par conséquent , par un solénoïde, ou même par un aimant.
Cette loi pourra aussi être appliquée, quel que soit celui des deux circuits qui soit fermé ; car la force électromotrice développée par le circuit A en B est toujours la même que celle développée par B en A, pourvu que l'intensité du courant reste la même dans le circuit qui induit : sous cette condition , il est permis d'échanger entre eux les circuits induit et inducteur. On sait aussi que l'on peut substituer au mouvement d'un des circuits le mouvement inverse de l'autre : ainsi la règle sera toujours applicable pourvu que l'un des deux circuits soit fermé.
