XII

Nous venons de voir que le potentiel V d'un conducteur fermé <r relativement à un autre conducteur fermé 5, les deux courants qui les parcourent étant égaux à l'unité, peut être représenté par

(,) V = I S. 2. - (DxDÇ -h D/ D>ï -h D^DC).

Je Tais développer cette expression en supposant que <r soit une courbe plane et de petites dimensions comparativement à la distance r.

Soient Ç, yj , t les coordonnées du centre de gravité de Parc de la courbe c , et

celles d'un point de son contour: Ç, îq, Ç devenant des quantités constantes, on devra remplacer, dans l'équation (i), DÇ , Ihj , DÇ par Da, Dp, D7.

Menons une normafe an pîan de la courbe 9, et soit v l'angle que cette normale fait avec Taxe des Ç, ou plutôt des 7. Prenons cette normale pour Tun des axes d'un système de nouvelles coordonnées a', f, 7', par exemple pour Taxe des 7'. Soit &> l'angle que forme le plan des axes des 7 et des 7' avec l'axe des a , et plaçons à Fintersection de ce même plan et du plan de Ta courbe a Taxe des p' ; l'axe des a' sera situé dans te plan de la courbe v, et Ton aura

a r= a' sin w — p' cos v cos w H- 7' sin v cos w , p = — a' coft » — p' cos V sin « -f- 7' sin v sin &> , 7 = P' sin » -4- 7' cos V.

Rapportons la courbe a à des coordonnées polaires situées dans son plan, plaçons l'origine des rayons vecteurs p au centre (S, n, Q, et prenons l'axe des a pour origine des angles polaires ^ ; nous aurons, sur Fa courbe a ,

a' = pcosf^ p'=:psinç, 7'=o^

et ainsi, pour tous les points de cette courbe,

ia =r p (sin âj cos ^ — cos v cos » sin 7) , p =r — p (cos b> cos ff H- cos V sin aj sin f) „ 7 = p sin V sin f.

D'autre part, on a

et, en développant cette expression suivant les puissances de a, p, 7, et négligeant les termes en a% p% 7% elle devient

l ^ (j?~g)aH>(r~-i7)p-t-(»-g)7

Substituons cette valeur dans Téquâtion (i),.et remarquons qu'en intégrant dans toute Pétendue de la courbe £ , on a

3;.Da = o, 2.Dp = o, 2.D7 = o, ce qui fait disparaître le premier des deux termes provenant de la substitution : nous

PURES ET APPLIQUEES. ,5^

verrons

[(*-çr-i-(7->î)'-h(3~ç)'j^

On a cnsuile, Toiûgine des coordonnées polaires étant au centre de gravité de l'arc œ,

ï.aDarzo, 2.pr/p=o, 2.7^7 = 0,