W i-hiw' i-f-m

On a donc 1 >

i-h m I -h ni'* I -f- m*

en sorte que si Ton pose m = e '^ , K, K' étant les fonctions complètes à modules complémentaires^, ^', il viendra, par unç formule connue ,

[ *] rofr tome IX , page 402 , et tome XI , page 3

On voit donc que

F sm w ^ j y ^zrp

Mais cette dernière quantité exprime la distance du point (fx, v) au plan qui contient les ombilics, ou, en d'autres termes, est Yjr de ce point dans le système ordinaire des coordonnées rectangulaires [*]. Elle ne changera pas si, au lieu de l'ombilic O et de la fonction P, on considère l'ombilic O' et une fonction P' qui soit pour un arc partant de ce dernier ombilic ce que P est pour l'arc /9. On a donc

P sin o = ^ = P' sin w', ou

P^ sin»^

P' ~ sin » '

équation analogue à celles qui, dans la trigonométrie plane ou sphé-

rique, expriment que les côtés ou les sinus des côtés d'un triangle

sont entre eux comme les sinus des angles opposés.

Nous avons aussi le théorème suivant , qui pourra être utile :

Si nous menons par l'ombilic O deux lignes géodésiques infiniment

voisines, l'arc infiniment petit qui les coupe sous un angle droit a

pour expression jr -r-^, jr se rapportant à l'une quelconque des extrémités de cet arc.

Si nous voulons exprimer la fonction P par les coordonnées elliptiques , nous poserons

et nous aurons, par l'équation (i) ,

tang ^ = MN ou

[*] Foir tome XI , page 218.

d'où

p i. / (g'-- b^) (fjL»— ^»)(^»^ y») (i -i-M'N»)

La fonction P' relative à Tare qui passe par l'autre ombilic s'obtiendra en substituant » à N dans l'expression de P ; ce qui donno

^ b^) (pt^ — b^) {b^ — y») (Ml ^ ]^}»)

c^-^b^ 2MN '

Ces formules deviennent illusoires si l'arc géodésique coïncide avec la section principale qui contient les ombilics. Mais on pourrait obtenir une expression de P délivrée de toute ambiguïté, en faisant usage des fonctions H, 6 introduites dans l'analyse avec tant de succès par M. Jacobi. L'emploi de ces fonctions présentera d'ailleurs, sous plusieurs points de vue, des avantages que nous développerons dans un autre article.

Addition au Mémoire précédent.

Je me propose , dans cette Addition , de mettre l'équation intégrale d'une ligne géodésique quelconque sur un ellipsoïde sous une forme analogue à celle que j'ai donnée pour les lignes géodésiques qui passent par un ombilic. Pour fixer les idées , je supposerai qu'il s'agisse d'une ligne géodésique tangente à une des lignes de courbure représentées par l'équation

/JL = constante = v/^.

L'équation de cette ligne géodésique sera

et si nous désignons par <ù Tangle qu'elle forme avec la section prin-