Tome XllI. — Août

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nous désignons sa masse par M, la résultante des actions de la pesanteur sera une force verticale Mg appliquée au point C; d'un autre côté, la résistance du plan sera une force verticale N, dirigée en sens contraire. Si donc nous appelons S, >3, Ç les trois coordonnées du centre de gravité , nous aurons

Soient Cûo'y C^', Cs' les trois axes principaux du corps ; nommons py </, r les vitesses de rotation à Tépoque t autour de chacun d'eux, A, B, C les moments principaux d'inertie. Désignons par qp et i|^ les angles que fait avec Ox et Cz' la trace du plan Ca/j^ sur le plan Ox/^ et par Q l'angle des deux axes Cz', Oz. Soient a", b'% c" les cosinus des angles que Gr', Cjr\ Cz' font avec Oz, et enfin appelons a, 6, 7 les coordonnées du point K par rapport aux axes Cx', C7*', Cz'.

On aura les équations connues :

(7) a" = siïii^sinO^ 6"= cos ij/ sin 6, c"=cos6;

Ipdt = d(p sin ij; sin 6 -h dO cos ij^, qrft = d(p cos t|» sin 6 — dd sin ij;, rdt =z d\^ -h d<p cos ;

IAdp 4- (G - JB) qrdt = N {Se" - 76") dt, Bdq -h (A - C)prdt — N [-^a" - ac") dt, Cdr -f- (B - A)pqdt=Ti{ab" - Sa') dt.

Comme on a, pour le point K, z = o, il en résulte, en vertu des formules de transformation des coordonnées,

(5) Ç4-a"a-i-6^ê-hc"7 = o.

Soit L = l'équation entre a, S, 7 qui représente la surface du corps rapportée aux axes principaux ; les cosinus des angles que la normale

au point K fait avec ces axes sont proportionnels à 3-' -jg ' ^' ^^ comme cette normale est parallèle à Oz, on en conclut

,^. \ dh I rfL i d\u

^^^ ;?"'"5â ■" p "Ss ■" 7 rfv'

TkTTT>ï7ri "nT* A f^TlT T/^TT"l&f?0

25a JOyRN.\L DE MATHÉMATIQUES

nous avons donc enfin

fv ff 'Y

kpdp 4- ^qdq H- Crr/r -f- Mgr/Ç H- M —^ = o, d'où, en intégrant,

(8) Ap^ -h Bq^ + Cr^ + 2 MgÇ -h M (§)' = A,

// étant une constante.

Ajoutons encore les équations (4), après les avoir multipliées respectivement par a", b"y c"\ il viendra

A {d'dp -h p [rb" - qc") dt] 4- B [b"dq -f- ç (/?c" - ra") dt]

-f- C[c"r/r + r(7rt" - /;*") r//] = o,

ou bien , en vertu des formules (7) >

A {a" dp 4- pda") + B {b"dq -h qdb")-^C (c"dr 4- rr/c'') =r o.

Cette équation s'intègre immédiatement et nous donne

A/?a''+B76"-l-Crc"=:/, / étant une constante, ou bien

(9) kp sin ij; sin 9 -h B^ cos i|; sin 9 H- Cr cos d = l.

(Ces deux intégrales (8) et (9) sont données par Poisson dans son Cours de Mécanique j tome II , a® édition.)

Considérons maintenant en particulier le cas d'un solide de révolution homogène; l'un des axes principaux , Cz' par exemple, coïncidera avec Taxe de figure, et Ton aura B = A. De plus, L sera une fonction de a* -h ê* et de 7, de sorte qu'on aura

I dL i^dL

de cette équation , jointe aux relations (6) , on conclut

ai" - Sa" = o,

ce qu'on pouvait trouver encore en observant que la force N normale à la surface du corps rencontre l'axe de figure Cz', et qu'ainsi son moment par rapport à cet axe est zéro.

PURES ET APPLIQUÉES. à 53

La troisième équation (4) se réduit donc à

•T- = o , d OU r=ny n étant une constante. Les équations (8) et (9) deviennent alors

(10) A [p^ 4- 7^) 4- aMgÇ -+. M (^y= h - Oi" == A,

(1 1) A(/?sinij;-f-7Cosi)^)sin9-i-C/î(cos9 — cos9o)=^—C«cos9o = X,

Qq désignant la valeur de pour ^ = o, A: et X des constantes. Si l'on y remplace /^ et ç par leurs valeurs tirées des formules (3) , il vient

A ^ sin* 9 -f- C/ï (cos - cosôo) = X; d'où , en éliminant -y- »

Avant de conclure de cette équation le théorème à démontrer, il y a quelques remarques à faire. Représentons par 90, ^^^ p^y^ etc., les valeurs initiales des variables y, tj;, /?, etc. : je dis qu'on peut se donner

arbitrairement (po> 4'o> ^o> Po? 7o> '0 o^^ ^^ "^^is qu'alors Ço ^M;r)

sont déterminés. En effet, les quantités ^o» +0? ^0 fixent la position du corps autour de son centre de gravité ; mais il faut qu'il soit tangent au plan xj : celte condition détermine Ço» «^ même il est aisé de voir que Ço ne dépend que de Ôq. Ensuite, les valeurs de/?©, 701 ^j jointes à celles de 909 ^oj ^oy déterminent le mouvement du corps autour de son centre de gravité pendant le premier instant dt ; et pendant ce même instant le déplacement de ce centre dans le sens vertical devra être tel , qu'à l'époque dt le corps soit encore tangent au plan xjr: cette condition détermine la valeur de f-j-) • 11 faut même observer que (-^ ) ne dépendra pas de 71; car, le corps étant de révolution, la grandeur de sa

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rotation autour de l'axe de figure n'aura aucune influence sur sa position k la fin de l'instant dt.

Ainsi on peut prendre pour six des constantes arbitraires les quantités fo? +0' ^09 Poy 7o> ^> ®^ alors Ço et [-ji) deviennent des fonctions des cinq premières y mais sont indépendantes de n. Il est clair d'ailleurs qu'on peut encore se donner à volonté ?o> >3o» (^) ' (^) » ce qui complète le nombre des dix constantes arbitraires que comporte la question.

On devra donc pouvoir exprimer au moyen de ces dix quantités toute autre constante introduite par l'intégration et, en particulier, celles désignées ci-dessus par A* et X; mais ce qu'il importe de remarquer, c'est que les expressions de A et de X ne contiendront que ^ o? ^of ^oj Poj ^0 9 et, par conséquent, ne dépendront pas de w. Pour nous en assurer, faisons / = o dans les équations (lo) et (i i); il viendra

X = A (/?o sin îj/o -^ ?o cos ^/J sin Ôoy

Cela établi, l'équation (la), dont le premier membre est essentiellement positif, nous montre qu'on aura pendant tout le mouvement

A: - aMgÇ « j^ [X - Oi(cos6 - cosfio)]* > o,

ou bien

[X - C« (cosô - cos 6o)Y < A (A - aM^Ç) sin» 6 ,

ou encore