Tome XUl. - Aoct I
i58 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
donné à un point a:, y^ z de la partie éclairée , et par fi l'angle que forme cette droite avec la normale en ce point de l'ellipsoïde; l'intensité l de la lumière y sera ^——t p étant un coefficient constant.
En appelant ensuite a, , «a , a, les angles que forme la droite cidessus mentionnée avec les axes coordonnés^ et p,, j3,, j3, les angles, analogues pour la normale, on aura évidemment
Oi — X U2 — Y a^ — z COS a, = y cos a* = -y cos a, = »
cos/3, = ^'^
cos /3a = ^
cosjS,
€os fjL =2 COS a, COS j3| -f- cos aa cos jSj -f- cos a, cos p^
__ Ai (g, — x) X -h A>(aa —/)/ "h Aa(fl3 — g) g
«(A?x'-hA;r"-+-Ajg«)^
A, rt, X H- A,ûf,7 -f- Aaflag — I
a(AJx»4-AJ.r*-f-AJ.»V [(a,-x)»-k(û»-r)'-i-{«3-«)']^(A;x'-hA;r'-hAjz«)^
Observons : i® que pour les points dont les coordonnées vérifient l'équation (3) , on a I = o , comme oiî devait s'y attendre; a® que pour le pied de la normale abaissée du point lumineux sur l'ellipsoïde ^ cos jx étant un maximum et u en même temps un minimum, 1 est un maximum; 3° que l'équation I = 9 (o:^^, z) = c, jointe à l'équation (i), fera connaître les projections des lignes de lumière égale, ou des lignes isothermes, en supposant que du point donné émanent des rayons de chaleur.
3. La quantité de lumière qui tombe sur l'ellipsoïde étant la même que celle qui est recueillie par la partie d'une surface quelconque interceptée par le cône circonscrit à l'ellipsoïde , il en résulte qu'en
PURES ET APPUQUÉES. aSg
coupant ce cône par un plan perpendiculaire à son axe , à une distance du centre égale à l'unité de longueur, il ne s'agira que d'obtenir la quantité de lumière recueillie par la surface de cette section, laquelle sera une ellipse.
Au premier abord^ la détermination des axes de cette ellipse semble présenter quelques difficultés; mais on y parviendra facilement en considérant le cône comme asymptotique à un hyperboloïde , dont on déterminera les axes principaux à l'aide de Téquation connue entre ces axes et les coefQcients de Téquation de cette surface rapportée au centre.
En effet, prenons le point donné af , at, a, pour origine d'un second système d'axes parallèles aux premiers, l'équation (2) de la surface conique circonscrite à l'ellipsoïde devient
fA,(a:--a,)*-hAa(j----a,)"-l-A3(2— a,)*--i](A,aJ-hAaa5-hA8rr*--i)»
= [A,rt, (x— rt,)4- Aaûj,(7 -^2)-^- A,a,(2-n')-i]% ou
A, {x - a,Y {k^a\ -h AartJ - i) + A, (7 - «a)'(A|«î -h A,^, - i) 4- k^[z -a,)*(A,a?-+-Aaa5-i)-(A,aJ-4- A,aî + A,rz|- i) = aA|A,a|aa(x — ni)(/ — a,) -h aA, A,a,aa (j: — rt|)(z — a,) -^ aA,A3(j-a2)(z-a*) — i[k,a^[x — a,) -h A,«j|(/ — ^a) -h A,û,(z — /?,)],
ou , ce qui revient au même,
.A,(A,a«^^A,él^3-l)Jl*-^A,(A,aî-hA3fl^~I)J»
-h'A,{A<a*-4- AjûJ — lyz*»— aAïAjfli^jXj — aA, Aj^iiTa-rz— ik^k^a^a^jz = o,
équation qui pourra s'écrire sous la forme simplifiée
(5) Ao:* -h k'j^ H- A"s^ H- aBjz -^ a &xz -h iWxj = o. ,
L'hyperboloïde dont la surface (5) représente le cône asymptotique ayant le n>éme centre, aura évidemment pour équation
kx^ -4- Ay + k'z^ + aBjz -h uB'.rz -^ aB'Tj = H, H étant une quantité positive.
a6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
On sait, de plus, que l'équation
s* f« (A + A' + A") - s (B"» - AA' ■+- B'* - AA" + B' - A'A')
^ ' I -(AB' + A'F' + A'B"* — AA'A'-aBB'B") = o
a ses trois racines réelles, et que ces racines ont pour valeurs,
en représentant par c*,y* et g* les carrés des demi-axes de Thyperboloïde[*].
Remarquons à présent que chacun des deux plans passant par un axe réel et un axe imaginaire coupe ce cône suivant deux de ses génératrices rectilignes , et que la tangente de la moitié de l'angle compris entre ces droites aura une valeur numérique égale à la longueur d'un des demi*axes de l'ellipse qu'il s'agissait de déterminer.
Mais l'équation (6) présentera deux cas distincts par rapport aux signes de ses trois racines. Elle pourra admettre deux racines positives et une négative, ou bien deux racines négatives et une positive. En désignant toujours par /, s'' les racines affectées du même signe , on aura en tous cas pour les valeurs des deux tangentes ou des deux axes de l'ellipse.
î=(-?)- 'l-i-rï-
Évaluons maintenant la quantité de lumière recueillie par la surface de cette ellipse, dont nous nommerons le grand axe aa, et le petit axe nb.
Soient AGB un quart d'ellipse, f le point lumineux, l'intensité de la lumière au point P, dont les coordonnées rectangulaires sont x
et jr^ ayant pour valeur p ^"!— / = =^,5 la quantité de lumière recueillie par Télément P/'i Rfn = dxdjr s'exprimera par ^—^^ - En
[*] Lkeot, § 287.
En posant
on aura
ft
é7 étant < I ; ou , en suivant les notations adoptées dans la théorie des fonctions elliptiques,
Soient encore
A = tang€9 ô=cot6,
le résultat précédent deviendra et pourra s'écrire sous la forme
d'où l'on déduit^ à l'aide de la formule '
^(^ n» (cot«Ô, c) = ^ + tangÔA(C,0)F«(c) + F(c)F(C,Ô) -E«(c)F(c',Ô)-F«(c)E(c',Ô) n,
[*] VsaKULSTy Traité élémentaire des Fonctions elliptiques, §56.
TITTD17C OT A "DTir TrWTTlS'irC ^H'i
a(M JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
SUR LA GÉNÉRALISATION D'UN THÉORÈME DE M. JELLETl', QUI SE RAPPORTE AUX ATTRACnONSi
Pab m. a. gayley.
Les formules qu'a données M. Jellett pour exprimer les attractions d'un ellipsoïde au moyen de l'expression de la surface de l'ellipsoïde réciproque (tome XI de ce Journal, page 9a) peuvent s'étendre au cas d'un nombre quelconque de variables.
Pour démontrer cela, je pars de cette formule
K..;;(,l,)»:..^..3i.^. (limites ^-.^ ■-,. = .)
\ r(|/i-i-^)J, v/(*+/')(* + ^»)...' dans laquelle n est le nombre des variables x, /*,..., et où
fl» h^ «»
fl» *' u"
formule due à M. Boole qui Ta démontrée sous une forme un peu différente {Irish Transactions, tome XXI}. La modification que j'y ai introduite se trouve démontrée dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal, tome II, page 2a3 [*].
On déduit de là, en écrivant yàr, gT",... au lieu dex,^,..., en réduisant à zéro les quantités a, 6,..., u (ce qui donne aussi y? = o), et en
[* J Cette formule peut d'ailleurs se déduire comme cas particulier de la formule trèsgénérale de M. Boole que M. Gayley a démontrée dans le cahier précédent. (J. L.)
PURES ET APPLIQUÉES. a65
donnant une forme convenable à la fonction f ,
f î^rZ-w-r/*^ O-rt" /^» .yî'*"'^</j
V/(*+/')(* + ff').
a66 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
g ft
ou, en écrivant ^ — i, etc., au lieu de ^ y, » etc.,
et de là aussi
— a/-t / -JL^ . , etc.
Donc enfin
Jo \ '+/'"') ^{s+/') [s + g')...
[ ]~7' V+7^ "^ T^T?'^"') y^+7vn^g%-
c est à-dire
En particularisant d'une manière convenable la formule (i), on obtient, pour le cas de ^ 4- —• • > i , cette formule connue
y f dxdf...
i l'équation des limites étant, comme auparavant, yi "*" Ji +•••= * I'
PURES ET APPLIQUÉES, aô;
Et de là, vu ia formule (la), résulte
ce qui serait, en effet, exact si la formule
j"-' ds Tm Tn
subsistait pour les valeurs négatives de m. Cela nous apprend qile les intégrales de la forme
s'i-' ds
J/»oo
ne sont pas à rejeter au cas des valeurs positives de f ; il est même facile , en répétant continuellement le procédé de réduction que nous venons d employer, de présenter ces intégrales sous une forme où il n'y ait plus de terme infini. En m'aidant de l'analogie de quelques formules qui se trouvent dans mon Mémoire Sur quelques formules du calcul intégral ( tome XI de ce Journal , page a3i), je crois même pouvoir avancer que cette intégrale doit se remplacer par
(ao) -^;:i- r i^-^sQ-^^ds
OÙ, comme à l'ordinaire, /=v/— i et où k dénote une quantité quelconque dont la partie réelle ne s'évanouit pas. Mais je renvoie cette discussion à une autre occasion.
goo œ
et écrivons
xV, V, xS', V a . a! .
h a h al
a:»V, xV, V, ar»V', xS' , V
, etc.
(ce qui suffit pour faire voir la loi de ces fonctions successives F,, Fj ,...). Il résulte des propriétés élémentaires des déterminants que ces fonctions sont des ordres n — i,/i — a, n — 3, etc. respectivement, par rapport à la variable x. En effet , dans F, le coefficient de a^ se ré- , savoir, à zéro ; de même, dans F„ les coefficients de x"
duit à
a, al a a'
et jc"~' se réduisent chacun à zéro ; et ainsi de suite. Soient encore
fl, . . a'.
c bad
df
, etc., ^3 =
a, al
a, . al .
, etc. ,
