JOU

RHAL DE 1

cela donne

, ûV, =

h na

c b ^c b na

, etc.;

d C ^d !XC 71— i^.

ou enfin , et en écrivant un autre terme de la suite , afin de mieux faire voir la loi ,

V, xV, U, T |,

b ^c b na \

Va = -

u, VU v,= -

b na

c Zd ac n — I b\ , etc-

jcV, V, a:»U, ^U, V j

c i 'id 2C na ^^ d c 4« 3d n-- \ b e d SJ t\e n — TiC

formules dans lesquelles

V = ax" 4- ÔJt""* 4- ca:"-* 4-,.., V' =

naxf-^^ H- 71 — I A^-^ +.

et où, en substituant ces valeurs, on peut commencer pour Vj avec le terme qui contient af"^^ pour V, avec le terme qui contient a"~' . et ainsi de suite , puisque les termes des ordres plus hauts s'évanouissent identiquement. Voilà, je crois, les expressions les plus simples des fonctions de M. Sturm.

Je donnerai en conclusion ces formes développées des fonctions jusqu'à V4.

Ei= iStia^dj— iSna^e^ — {i5n— Jo)a^bcJ -^ {i^n— i'à)a^bd€ -h {i6n^i6)a^c^e^ {iSn- iS) a^'cd^ -h {5 n - 5) ab'f

— [i^n — i8)a^»*ce-f-(i4« — a4)aAcV- (w - 3) riAV^

~ {l^n .-- 8) ac' -+- (3 ^^ - 3) ^^*e - (3 w - 5) A'crf -^ {n - i) h^c\

F — -— iSa^bdj -\- i6a^be^ -h ^oa^c^ — l'ja^d^ — /^Sa^cde

— Sab'^cJ -\- '] ab^de — [\abc^e — iSabcd^ -h ^ac^d

— 3A»ce-h4/>»rf^ ^b^c^d\

Il serait évidemment inutile de vouloir pousser plus loin ces calculs.

Wk^AMWA^%\'«\\«1\^^%>V«^^^VV^^A/V«V\^%\l»%\/^'V\VWV\'tA%'\%' W\'VV»W«VWW«^ W«<VVM;VW«AW'V»VMf%'\%\^*^<WV«V\%%«^^^A^\^\VVV V%>

i-jG JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

an lieu de /, m,..., /', /n%.... Ces nouveaux symboles se rapportent à de certaines fonctions y^y de a, A,... et de a', 6',... respectivement. De là ce nouveau théorème :

« Les fonctionsyjy étant assujetties aux conditions

'da'' "^ db^ "^ ^'

» on aura (entre les mêmes limites qu'auparavant), excepté pour s=s'j » et pour s = s%

Il est facile de voir que les expressions

salisfont à l'équation

, , </»tt d^u

et, de plus, qu'elles sont les fonctions entières et homogènes, des degrés ^ et / respectivement, les plus générales qui pui<^sent satisfaire à cette équation. On a donc ce théorème:

« Soient V,, W,' les fonctions entières et homogènes des degrés s » et s" respectivement, les plus générales qui satisfassent à l'éqiia- » tion (9); or aura toujours, excepté au cas de s = y,

(^10) fY.W^dxdj... = o

» (les Umites étant les mêmes qu'auparavant.) » Écrivons à présent

■nTTT>i?o -CT» A r>nT TrMTT7I?0

Téquation (12) devient 16) fq,W,da:dj... =M,w:

[où la valeur de M, est donnée par l'équation (i3)]. Les deux équations (10) et (16) contiennent la théorie des fonctions W,, Q,, lesquelles comprennent évidemment, comme cas particulier, les fonctions de Laplace.

Pour démontrer le théorème exprimé par les équations (i), (u), (3)^ (4)9 (5), je fais d'abord abstraction des équations fi), et j'écris

j z= mS,-+- m'Yi H- /?i"Ç,.., où les coefficients sont tels que l'équation

soit identiquement vraie. Cela suppose que les valeurs de /?, //, q soient respectivement Z* -h m^ -h..., /'* h- m'^ h-..., et //' -h w'm' -h..., et que les sommes de produits, tellesque W^mm^-h*,.^ VV-^m'm"-^ ... se réduisent chacune à zéro. De là

djcdjr... = yjpp' — q^ yjp" .,.d^dYid^,„y bo -h mjr -h.^ = p^-^ qr}, l'x -h my -h... = q^ -h p'r^.

En représentant par I l'intégrale au premier membre de l'équation (3), cela donne

\ = yjpp' -- q' sip\..S{p^^ qnY {q^-^ p^nf didnd^..., l'équation des limites étant

p^^ -h iq%n -h p^Yi^ -h p"^^ ^-... = I.

Cette intégrale se simplifie en écrivant

^v>-hS = ^'' \/'''-f*' = *''' V7'"Ç = Ç......

28o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Cette formule doit être intégrée depuis p == o à p = i, et depuis 6 = à = 2 7r; mais en multipliant par quatre, on peut n'étendre l'intégration par rapport à 6 que depuis 6 = o jusqu'à 6 =: \n.De là

N,^ ^'!'." r'p''""'(i -p')i"-W/p f" cos' e cos sOdd;

^ 7 ^ Jo Jo

et enfin ^ au moyen des formules connues

Je * ii^i a\« „ . j r(j-i-i)r|/i

^ ^ ^ ^ ^ 2r(|/i4-.^-hi)

Jf COS' 9 cos ^0 do = -^- , o ^

on retrouve la formule (5) , laquelle il s'agissait de démontrer. Ainsi le théorème fondamental est complètement établi.

PURES ET APPLIQUÉES. a8i