TIQUES

Par m. p. BRETON (de Champ),

Ingénieur des Ponts et Chaussées.

La plupart des théorèmes de géométrie énoncés par Stewart dans l'ouvrage auquel il a donné ce titre [*], peuvent être considérés comme des corollaires de trois propositions principales. Quelquesuns s'y rattachent par l'analogie; enfin, un certain nombre sont simplement des théorèmes particuliers. On sait que l'auteur n'en a démontré que cinq. J'ignore si les autres ont été l'objet de quelques recherches; cependant ceux que M. Chasles a cités, dans son Aperçu historique^ ont dû intéresser les géomètres et provoquer des efforts de leur part. S'il n'a rien été publié sur ce sujet, cela tient, sans doute, à ce que Ton a regardé comme vrais plusieurs énoncés qui ne le sont pas, c'est-à-dire ne se vérifient que sous certaines conditions, non indiquées par le géomètre anglais. Cette circonstance , que son grand renom ne permettait guère de soupçonner, va ressortir de l'analyse qui suit.

PRKMIER THÉORISME GKNÉRAL.

I. Soient O un point quelconque, A,, A2,..., A,„, m points donnés.

[*] Some general theorems of considerable use in the higher parts of Mathematics , by Mattew Stewart. Edinburgh, 174^.

J'ai annoncé à TAcadénaie des Sciences, le 8 juin 1846, que plusieurs des propositions contenues dans cet ouvrage sont fausses, c'est-à-dire ne se véritient que dans des cas particuliers. La grande estime dont jouit le nom de Stewart en Angleterre m'a fait penser qu'il convenait de rendre publiques les preuves de cette assertion. Tome XrU . — Septembre i84«. ^^

a8a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

*i5 ^av> f^m autant de coefficients également donnés, et A'j, Aj,.-m A'.+, , /i -h I points inconnus. La proposition XLIV revient à dire qu'on peut déterminer ces derniers, n étant moindre que /n, de manière que la relation

- sn in — >-t/i 3n — 2ii a»

k, G A, -h ^, OAj -»- . . -h X« 0A« OA', -h OA', + . . . 4- OA;^,

se vérifie quel que soit le point O. En supposant les coefficients A, j ^2v> ^m égaux à l'unité et /* < w — i, on a l'énoncé de la proposition XLIIL

Je regarderai la somme A, -f- À", -f-...-f- /:,„ comme positive; car si elle ne l'était pas, il suffirait, pour la rendre telle, de changer les signes de tous les termes dans le premier membre, ce qui est permis.

Celte somme ne saurait être nulle, car le premier membre deviendrait infini ou indéterminé, ce qui n'offrirait aucun sens.

I-.es points donnés étant rapportés à deux axes rectangulaires, cette relation peut s'écrire sous la forme

en appelant ^,-, hi les coordonnées du point A,-; Ç,-, >j, celles de A- , et ^, jr celles de O.

Si Ton développe les deux membres, on trouve une équation en »r , 7", laquelle se réduit au degré 2 n — i . Comme elle doit être satisfaite quelque valeur qu'on attribue à chacune de ces variables, il faut que les coefficients de tous ses termes soient nuls [*]. En les égalant à

[ *] On peut donner de ce principe la démonstration que voici : Soit F=ro une équation entre les variables x, x» qu'on suppose vérifiées quelles que soient lés valeurs qui leur sont assignées. Écrivons

tii étant Tensemble des termes de degré 1 qui se trouvent dans F. Si Ton fait y = otfxy en désignant par cl' un coefficient arbitraire , il vient

A;^x- 4- A;, jt"-' 4- A'^^,!?*-» 4- . . .4- A', «' 4- A', x 4- «• = o,

A^' étant une fonction de <x! qui s'élève au degré 1. Si l'on fait maintenant varier x, sans que a change de valeur, comme cette équation

a84 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Donc les deux extrémités de chaque diamètre du cercle qui a pour

rayon l/gT- SA/ [a? -f h^) jouissent de la propriété énoncée ci-dessus.

On pouvait s'attendre à cette indétermination; car, en tirant des droites du point O à l'origine et aux deux points trouvés, la somme des carrés de ces dernières est égale au carré de la première, plus deux fois le carré du rayon , d'après un théorème bien connu de géométrie élémentaire.

En faisant yf, = i, on a la proposition XI.

5. La proposition X, ki étant quelconque, et la proposition IX, A"/ étant égal à l'unité, s'énoncent en disant qu'on peut trouver un point A, tel que Ton ait

kiÔÂ] -h AjOAa -f- A-jOÂa -+-... -f- k,nÔA^ = A:, AA, -I- A2AAa4-*3AA3-h...-hA:,;jAA;„-f^ {kt -h k^-h,..-h k,^)OA. .

Ce point n'est autre chose que le centre des forces parallèles k^ appliquées aux points A,.

Stewart a démontré ce théorème dans deux cas très-particuliers, savoir: i^ quand les points donnés sont les sommets d'une portion de polygone régulier; 2° quand ce polygone est complet. Cela form'e l'objet des propositions VII et IV. Alors, en appelant p la distance de A au centre de la circonférence sur laquelle se trouvent les sommets, et R le rayon, la quantité constante qui figure dans le second membre de l'équation ci-dessus est égale à m (R^ — p^). Elle se réduit à mR^ pour un polygone complet. On suppose Ar/ = i.

4. Soit maintenant /i = 2. Il s'agit de trouver trois points A',, A'^, A'3, tels que 1 on ait

quel que soit le point O. Stewart annonce, dans sa proposition XXXIII, que cela est toujours possible. Je vais montrer que, sur ce point, il est tombé dans l'erreur.

Pour simplifier les calculs, j'admettrai que les axes des coordonnées

sont choisis de manière à satisfaire aux trois équations Sk^ai = G, Ski hi = o, SAr/r//A/ = o.

a86 JOURNAL DE MATOÉMATIQUES

Des équations (a) , (3) et (5) je tire

d'un autre côté, les équations (i) et (4) donnent

(Ç, - W + (I. - ?.)' + (?. - §.)* = 3— Skia? ;

par conséquent, on a et il vient

??-^*'î = rs-7-sM.^-^(.-|||)?î.

On trouverait de même et

ǔ-^Ȕ = ln7"'*''+('-s^)ǔ-

Au moyen de ces expresssions, l'équation (8) devient , toutes réductions faites ,

Or on a identiquement

?î + lî + I* = II, + I, + 2,) ^lî + I» + I») - (ç. I, + ?,?, + ?,l.) (lî + ?^ + V,) -+- £. I. ?, (I, H- 1, + I.).

a88 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

II, ?», I» et Y),, rji, Yit. Car, d'abord, les sommes |, -t-?s H- |,, lî -•- ?s + Is fo"t partie des données du problème; ensuite, l'équation (6) devient, par l'élimination dey;,, y^j, >}»,

^S^.û.(fl.^-f-^?)

D'ailleurs on a identiquement

g. g '[■ (lî+l| + ll)-(l. + l«+l«)(lî+l** + ?3)l,

ou simplement, en vertu de la relation |i -f- la H- |» = o,

l.lïlj = 3 (!?-»- lî + 13)= 3 '■ sM?

Si l'on se rappelle enfin qu'on a trouvé ci-dessus ,

lilii+lal. -»-|»li = - îsi;^^''''*' il vient, pour l'équation cherchée,

' S /t, û,^ On obtiendrait de même pour l'équation dont les racines sont >j|,

1 3 ^AsM,(«/+^0

6. Dans le cas particulier où les points donnés A|, Aa,..., A,„ sont les sommets d'un polygone régulier, et les coefficients A, égaux à l'unité, l'équation de condition est toujours satisfaite. Nommons, en effet, R le rayon du cercle circonscrit au polygone; on trouve

sls«'^ = !^^'' à^^-=l^'' 3^SK + 6.'r=3RS

icjo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

n = /\y la différence est encore plus grande, et au delà elle croît trèsrapidement. On est donc autorisé à penser que le théorème énoncé par Stewart comme ayant lieu lorsque l'exposant n est quelconque , n'est généralement vrai que dans le cas où cet exposant se réduit à l'unité.

Je signalerai en passant une curieuse relation qui existe entre les distances mutuelles des deux groupes de m points et de « H- i points, pour lesquels la relation dont il s'agit se vérifie, les coefficients /r, étant égaux à Tunité.

Faisons coïncider le point O successivement avec A,, Aj,..., A,„. puis avec A'j, A'g,..., A'^.».,; on trouve que la somme des puissances aw de ces distances dans le premier groupe est à la somme des puissances in des distances analogues dans le second groupe, comme m^ est à

8. Le théorème du n^ 1 se vérifie toujours lorsque, les coefficients A, étant égaux à l'unité, les points A,, Aj,..., A;„ sont les sommets d'un polygone régulier. Soient toujours R le rayon du cercle circonscrit et p la distance de son centre au point O. Nommons, de plus, f l'angle compris entre cette droite et OAj; nous aurons

OA, = R^ -f- p^ — aRjO cosy,

OAa = R* H- p^ — iRp COS (cp -h — j y

ÔÂa^iR'» -hp^- CtRp COS U -H •2—)'

Oa1=z R2 4 p2- 9.Rpcosr(p-4- (m- i)^l'

Élevons les deux membres de chacune de ces égalités à la puissance n , et faisons la somme des résultats obtenus , en remarquant que l'on a pour des valeurs de 2 / -h i moindres que m ,

cos^'^^y + cos^'-^* (î^^ï) -f- cos^'^* U -h 2-^) -+-...+ cos^'** L -K (m - i)^] = o;

PURES ET APPLIQUÉES. ^c^\

et , pour des valeurs de 2/ moindres que m,

cos^' (p 4- cos'*' ((p -+- — j

de sorte qu*on aurait

c'est ce qui a lieu eff«'Ctivement, car le carré de la distance du point O à l'un des sommets du polygone se décompose en deux facteurs imaginaires R — pa, R — pa', qu'on obtient en faisant

a = cos (t + — ) -H V- i.sm (^y 4- — j et

, / a/irX , . / 2/7r\

a = cos ^9 + — j - V - " . sm ^9 + — j .

Développant les puissances n'^'"" de ces deux facteurs, et effectuant le produit, on trouve pour le coefficient de R^^^^'p^',

la lettre V désignant des ternies où les exposants de a et de a' sont inégaux. Or le produit aaf est égal à l'unité, et Ton sait que la somme des puissances entières de a et a' est nulle, tant que ces puissances sont au-dessous du degré m. Donc le coefficient de R*''-^* p^' est bien

— ^ ^-^; — T-ii —, -^ et on a 1 identité

Quand le point O est sur la circonférence circonscrite au polygone, on a

attendu que les expressions ci-dessus de OA4, OA,,..., OA;„ rentrent alors dans la forme 4R* sin^ (- -4- ~) ^ et que la somme des puissances

a/î < /n des siuus des arcs -1 - -f- — > - h — ^V5 - -h (/n — 1) -5 est

éeale à — ^^ '(^^ - 0(^^^--^)- - (^ + .

Par l'énoncé de la proposition XLI , Stewart assigne à la somme

ÔA,'-hOÂl"-^...+ ÔÂ'J^ la forme ,« .i-Mil- •• (?."^ll) a''R»«. Son

identité avec la précédente se vérifie pour // = î , n = 2 , etc. Supposons qu'elle soit établie pour la valeur quelconque w — i . c'est-àdire qu'on ait

il vient, en multipliant les deux membres par- -^

par conséquent, cette identité a lieu quelle que soit la valeur de n.

DEUXIEME THEOREME GENERAL.

9. Soient L,, La, L3,..., h^ m droites données, parallèles entre elles ou passant par tm même point, et A:<, Aj,.. , /r^ autant de coefficients également donnés, n étant un nombre moindre que m; on peut trouver, dit Stewart dans sa proposition XLVIl , w -f i autres droites Ii\, L'2,..., L^.^ telles qu'il y ait, entre les perpendiculaires OP,, OPjv? OPm abaissées d'un point O, pris arbitrairement, sur les

premières, et les perpendiculaires OF,, OP,,..., OP^^, abaissées du même point sur les droites trouvées, la relation

En supposant tous les coefficients /:, égaux à l'unité et w < m — 1, on a la proposition XLVl. J'admettrai , comme au n*' 1 , que la somme A« -+- /tj h-.. .-h k,„ est positive et différente de zéro; les droites L,, L,' ayant pour équations

j z= mx -4- bi, j = aiX H- /3„ on a

Ôp ' = {x-^i^ + ^iY ^ ôp'' ^ (21zL?ifJiiM\ ^ I -f- fl ' ' ' I -f- «f

294 JOURNAI. DE MATHÉMATIQUES

expressions dans lesquelles x et y désignent les coordonnées du point O. Lorsque les droites L, sont parallèles entre elles, on peut prendre pour axe des x une parallèle à leur commune direction , c'est-à-dire faire r/,= o, et, par suite, écrire

wH-i

Si les droites L, passent par un même point, on peut le choisir pour origine des coordonnées, et faire A/= o. La relation ci-dessus prend alors la forme

iO. Pour satisfaire à la première de ces équations quelles que soient les valeurs des coordonnées Xj 7*, il faut nécessairement supposer a,=o; car, en faisant d'abord / = o et développant ensuite le second membre, on trouve, parmi les coefficients des diverses puissances de .r, lesquelles doivent être nuls, la quantité

qui ne devient nulle qu'en posant ai = o, aj = o,..., a„^i = o. Par conséquent, les droites cherchées L- sont nécessairement parallèles aux droites données, et les équations à résoudre pour trouver les valeurs des inconnues |3| sont les suivantes :

• pi + /3, -f-...-h /3«^. = ^ Skihn 13? -h p^ -+-...+ /3„V. = ^SA:,Af,

PURES ET APPLIQUÉES. a^S

leur nombre s'élève à 2/2, tandis qu'il n'y a que n -\- 1 inconnues. On peut donc s'attendre à trouver n — i équations de condition. Je vais faire voir que le cas où l'on a « = i est le seul qui donne lieu à une solution générale.

H. Pour plus de simplicité, je supposerai l'axe des jc choisis de manière à satisfaire à la condition SA|-ft/=o, ce qui est toujours permis. Cela posé , les équations à résoudre sont , en faisant n = i ,

j3, -+-P, = 0, elles donnent

c'est-à-dire deux droites parallèles , également distantes de l'axe des x. Cette solution est ainsi complète.

On résoudrait non moins facilement le problème qui consiste à déterminer une droite U, telle qu'on ait