Ç)6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

et ces équations ne peuvent être résolues qu'à la condition de vérifier l'identité

m + fit + /SJ = + (13? + 13» + ^l) (p. + p,+ ^ ' - (p.p, + p,/3, + /S,p,) (/S? -4-/5^ + p*) + p,/5,/3,(p, + /3,+ tV,

laquelle se réduit à

fA + r>J + ^*3 = - (;^. fi. + 13»|3, + P,i3,) (i3? + |3» + p?), en vertu de la relation

Or celle-ci donne

/3, r^, + r^« /53 + P, /3. = - ^ f /s? + |3« + p^) , d'où

c'est-à-dire

telle est l'équation de condition d'où dépend la possibilité de trouver un système de droites jouissant de la propriété contraire. Or cette équation ne se vérifie pas d'elle-même. Soient, par exemple,

6,=-+-9., fta — -1-4? i3 = "-5, i^— -f-6, ^5=— 7 et m =5^

les coefficients A,- étant égaux à l'imité; avec ces données, on a

SA"/ bi = o.

Le premier membre est alors égal à — ^ — ? et le second à ^'^ »

Ija proposition générale que nous examinons n'est donc vraie pour n =2 1 que d ms des cas particuliers.

15. En assignant à n des valeurs plus grandes , on parviendrait sans difficulté, par la méthode inverse des fonctions symétriques, à construire les équations de conditions relatives à chaque cas, et l'on verrait qu'elles ne se réduisent pas à des identités.

Un cas assez remarquable où ces conditions se vérifient toutes, est

celui où les m droites données passent par les sommets d'un polygone régulier de m côtés. Si Ton circonscrit à ce polygone une circonférence, et que dans celle-ci on inscrive un polygone régulier de w h- 1 côtés, les n + 1 droites menées par les sommets parallèlement aux premières satisferont à la relation indiquée au n"" 9, pourvu que les deux polygones soient orientés convenablement. On suppose A:, = i .

Soient R le rayon de la circonférence, /?, f les angles que font avec Taxe des x les rayons menés du centre aux sommets A,, A'^ ; on a d'abord, pour tous les exposants t moindres que 7t + i,

[sin'9 + sin*(9 + ;j^) "1

+ sin' (^ + 3 .^) +...+ sin' (^ + „ -il- ) J

[8in'p-(-sin'(/> + ^) "I

En multipliant les deux membres de cette égalité par R', et remarquant que l'on a

*: = R'sin' [p + (I - .) ^], ^1 = R'sin' [? + (i - i) ^], on voit que les équations

sont satisfaites tant que l'exposant i demeure inférieur à « -h i . Quand il atteint et dépasse cette limite , la quantité

[sin'y + sin'(9 + ^-iJ^) 1

+ sin' (?+ a^^) +...+ sin'(? + n^)\