Tome XIII. — Sbptbhbri iS
peut être mise sous la forme
T -h V cos (71 -h i) ç, ou
T-f- Vsin (/iH- i)ç,
suivant que n -h i est pair ou impair. T est une fonction de /; V dépend de n et de 2, mais ne devient jamais infini. Tout cela découle d'une théorie connue, dans les détails de laquelle il n'est pas besoin d'entrer ici.
D'un autre côté, tant que l'exposant t est moindre que /w, la quantité
-h sm'[p + 2~) -H. ..4- sin' (p -h (/I, - ,) ^^ J
se réduit à t. Pour i = /n et ^ > m , elle prend la forme
T -h U cos mpj ou
T 4- U sin mp,
suivant que m est pair ou impair, U ne pouvant devenir infini. On rendra donc égales entre elles les deux quantités ci-dessus , en déterminant (f et p de manière à faire disparaître les termes contenant le sinus ou le cosinus des angles (n — 1)9, mp; ce qui n'offre aucune difficulté, puisqu'il ne s'agit que de déterminer la valeur de f pour laquelle on a cos (/n-i)y = o,/2H-i étant pair, ou sin (n 4- 1 ) (p = o, n -h I étanl impair, et cos mp = o, m étant pair, ou sin mp = o, m étant impair.
14. Considérons présentement le cas où les droites données passent toutes par im même point. U s'agit de reconnaître, comme on l'a indiqué au n^ 9, si l'on peut satisfaire à l'équation
S'='» , (r — g,'^)*" Qi = ii4-I (y — g.x^PiY'^
3oo JOUHNAL DE MATHÉMATIQUES
d'où il résulte
équation du second degré dont les deux racines sont réelles. La valeur du dernier terme montre que les deux droites qui répondent à la question sont perpendiculaires l'une à l'autre; ce que l'on pouvait d'ailleurs prévoir à priori, car la relation
ne change pas lorsqu'on y remplace a,- par ^*
16. Cela posé , faisons n=zi. On a ainsi la proposition XIX de Stewart , et la proposition XY quand les coefficients ki se réduisent à l'unité. Les équations à résoudre sont
i-haj l-+-a;
s^/OT
ki
c'est-à-dire qu'il y en trois pour deux inconnues. Mais ces équations se réduisent à deux; car, en ajoutant membre à membre la première et la troisième , on obtient une identité.
La deuxième devient, en chassant les dénominateurs,
(a, ^aa)(i-ha,aa) = o;
en égalant à zéro le facteur ai + a^, on trouve deux droites faisant avec l'axe des x des angles égaux, qui ont pour cosinus l/gr: ^ ■■ ' » - Cette solution est donc complète.
Si l'on égale à zéro le second facteur i + a^ aa , il vient la double condition
SkiOi + af Ski O I +«/ ■" ^ •
PUKES ET APPLIQUÉES. 3oi
Or, si l'on a
3oa JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Pour plus de simplicité, j'ajoute membre à membre la première et la troisième f puis la deuxième et la quatrième, de sorte que le système à traiter est celui-ci :
(I -ha
l-haj
