ha

l-ha

y (i-haj)' (i-ha

Ski Oi-hû^' — -Le A

Actuellement posons a, -h aa -H a, = — p, a^ a, -h aj a, -h a, a< = ^ , a, a^ a^ = ■— /•.

de sorte que

«• 4- pa^ H- ça H- r = o

soit l'équation qui a pour racines a^ a,, a,. Si Ion réduit au même dénominateur le premier membre de chacune des équations ci-dessus , les dénominateurs obtenus, ainsi que les numérateurs, sont des fonctions symétriques des inconnues ai , a, , a, , et , par conséquent , s'expriment au moyen des coefficients /?, ç, r. Voici les résultats du calcul :

{g - i)*-h (r-/?)' SAi l3 I -h<' '

[(^-ly-hir-pyy — -Le ^1

i) (> -h ^pg -h 3yr— y'r— 6r) -h jr — p) (p^g —pr-h 3pqr — pr',

— 3 g A/fl,

■"SA, 0(i-h«?)»'

On satisfait à la première de ces équations en égalant le numérateur à zéro ou le dénominateur à l'infini; mais cette dernière solution doit être écartée , car la quantité (g — i)* -f- (/• — p)* ne peut devenir infinie que si une ou plusieurs des inconnues a^, a^y a, sont elles-

PURES ET APPLIQUÉES. 3o3

mêmes infinies. Or le premier membre de l'équation

«1 aj a,

3o4 JOURNAL DE MATHEMATIQUES

les numérateurs et les dénominateurs, car il faut prouver, avant de les supprimer, qu'ils sont étrangers à la question.

Si l'on fait d'abord a = i , la vraie valeur de ^rr .^ — ^^ est infinie; supposition inadmissible, attendu que a, étant réel, i-ha? ne saurait devenir nul. ^ — i ne peut d'ailleurs être infini, car l'une au moins des inconnues a,, a,, a^ le serait; supposition que nous avons déjà écartée.

L'hypothèse i -+- . ^ .^ = o rendrait infinie la quantité ^r- ^ — S"' ce qui ne saurait avoir lieu, attendu que - '-^ n'est infini pour aucune valeur réelle de a,. On ne peut pas davantage faire 1 4- .

car il faudrait supposer ç = 00 ou a, ajaa = 00 , ce que nous avons démontré inadmissible-, ou ç = — i, r n'étant pas nul, c'est-à-dire p = Qo , ce qui est également inadmissible. Enfin r et ç -f- 1 ne pourraient être nuls ensemble, car il faudrait que l'une au moins des racines, a, par exemple, fut égale à zéro, et alors on aurait

ou (a, -h a^) (i -¥- a, «j) = o,

ce qui donnerait lieu , comme on l'a vu ci-dessus, à des conditions qui ne se vérifient pas d'elles-mêmes.

On a donc finalement

r^9+3) 3 01 Atai

De la première de ces équations, je tire

3 g Ai Ski O i-hiï?

4^' 1 SX, k3(i-f-a;;'*

SX-,

S AT, i + fl?

PURES ET APPLIQUÉES. 3o5

et , par la substitution de cette valeur dans la deuxième et dans la troisième, il n'y reste plus que le coefficient inconnu r, qu'il devient aisé d'éliminer. On obtient ainsi l'équation de condition

Montrons, par un exemple, que cette relation n'est pas une identité. Soit ki^= T , ce qui est le cas de la proposition XXXV, et II I I

et, par conséquent,

on trouve pour le premier membre o. i i3oo6îi5 au lieu de zéro. De ce qui vient d'être démontré et de ce qui Ta été au n° 12, on conclut que les propositions XXXV et XXXVI ne sont pas vraies.

18. Quand les m droites données forment des angles égaux entre eux, ayant pour amplitude — ? A:,- étant égal à l'unité, si l'on appelle p la longueur de la droite qui va du point O à l'origine, p, f les angles que font avec celle-ci les droites L|, L',, on a

^r -n-^-Hsin-(ç + ^-^) 1

"■" L-^ ^-'"{f -^ '-«-ir) ^--^ -*"(? + -;;^) J

~^[+sin-(p + ^)+...+ sin-(^ + (m-,)^)J