Tome XUl. — Septbmbrs
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Multiplions tous leQ termes par jo^" et observons que
/0sinf, josin (ç -h -^) VM psinp^ psin fp -h — j v,
ne sont autre chose que les perpendiculaires OP'^ , OF^v-t OPi > OPa,.- ; il vient
——an — .i^sn 2i> an jn ji»
OF. ^-OP'.H- .H-OP;^, OP. +OPa H-..^4-0P^ /?-f-I ^
Le système de /i 4- 1 droites disposées autour d'un point de manière à former des angles égaux entre eux, ayant pour amplitude commune
— ^ > est donc propre à résoudre la question.
Dans sa proposition XLV, Stewart dit que Ton a
et, comme nous avons trouvé ci-dessus
il s'ensuit qu'on doit avoir
Cette égalité se vérifie pour n = 1 , n = a , cas particuliers qui forment l'objet des propositions XIV et XXXIV. Elle a lieu, quelle que soit la valeur de n ; car je vais montrer que si elle est vraie pour n — i , elle l'est aussi pour n. Supposons, en effet, que l'on ait
Multiplions le premier membre par le facteur ^^^"~"v , et le second par le facteur égal 5 il vient
Ce qu'il fallait trouver.
19. La proposition XXXI établit une relation entre les distances d'un point quelconque à des points donnés ou inconnus et les perpen-
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On ne peut pas supposer y^= o, car il en résulterait
c'est-à-dire une condition particulière. On posera donc
OU
(a, -4- «a) (i -h a, aa) = o.
En égalant à zéro le second iisicteur i-f-a, aj, on trouve la condition particulière SkiU? = Sk^b, . Par suite, je me bornei^i à faire a, = — ai ; cette valeur étant substituée dans la deuxième équation et dans les suivantes, on a
7^(^.-i3.)=s^SAr,«,(a.? + 6?),
TT^T i^l -^ ^î) + 8^* = sî- ^*' (''' ^ ^''^'-
On tire de ces équations, en ajoutant et divisant membre à membre les deux premières ,
"** "~ ^ V S^,K -4- 3^?)' "^^ - V S k,{aj -h 3^/)'
Au moyen de ces valeurs , on déduit de la troisième équation et de la quatrième celles de ^a"- ^t c* de jS, -4- jS, , et , par suite , de /Sj et de ]S, . Enfin, la dernière équation fait connaître g*, et la question est complètement résolue.
PURES ET APPLIQUÉES. Sog
TROISIÈME THÉORÈME GÉNÉRA.L.
20. Soient L<, La,.--> L^ ^ droites quelconques données, et A, , Aj,..., k^ autant de coefficients également donnés; on peut trouver «-h I autres droites L', , L'^, L^^.,, telles qu'il y ait, entre les perpendiculaires OP,, OPa,.-* OPm abaissées d'un point O, pris arbitrairement, sur les premières, et les perpendiculaires OP',, OP.,,..., OPl^., abaissées du même point sur les droites trouvées, la relation
^,opi4-^,op!4-...H-^«opl ôp\-hôp;-+-...-hôpL
Stewart donne des énoncés séparés pour le cas où n est pair, et pour celui où w est impair; les premiers sont ceux de la proposition XLIX et de la proposition XLVIII, les coefficients ki étant supposés dans celle-ci égaux à l'unité et /i < m -— i . Les autres sont d'abord celui de la proposition LI, où l'on considère seulement les points renfermés dans l'intérieur d'un polygone; puis celui de la proposition LUI, où les points sont pris partout où l'on veut, pourvu que l'on ne passe jamais d'un côté à Vautre de l'une quelconque des droites données. La proposition L et la proposition LII sont sujettes aux mêmes restrictions, et Ion suppose les coefficients ki égaux à l'unité et w < w — I . Ces distinctions tiennent évidemment au changement de signe qu'éprouve la perpendiculaire abaissée sur une droite, quand on passe d'un côté à l'autre. Il n'y a donc point lieu de s'en préoccuper.
Afin d'éviter les radicaux qui se présentent dans l'expression de la perpendiculaire, je la mettrai sous la forme
ti ■— X cos p, — j sin s^i , eu
0/ — X cos fi — y sin ^,-,
suivant qu'il s'agira de droites connues ou inconnues, ti^ 6, sont les longueurs des perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées sur les droites, et r„ y, les angles que font ces perpendiculaires avec Taxe des x.
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