Tome XUl. — Octobre iS^S

33o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

négatives. L'origine des coordonnées est leur centre de gravité , propriété qu'expriment les équations (i) et (a). On sait que les rayons menés de ce point aux points inconnus divisent l'aire de l'ellipse en trois secteurs équivalents. D'après cette remarque, si nous appelons o un angle auxiliaire , nous pourrons faire :

Il = V sTT ^**^'^ cos w , >?, = y ^ SAti*/* sin «,

Ces expressions, substituées dans les équations (i), (12), (3), (4) et (5), y satisfont. Les trois autres équations (6) , (7) et (8) deviennent , toutes réductions faites,

l iSkia?Y + Skia? - Sk^b? -h ? {Skib?Y = SA, .S*, (a, -K b;')\

La dernière de ces équations n'est autre chose que la condition trouvée au n® 4, sous une forme un peu différente. Les deux autres donnent

Soit co« la plus petite valeur de gj; on aura, pour l'ensemble des solu* tions propres à faire connaître la position de l'un quelconque des points cherchés,

PURES ET APPLIQUÉES. 33i

et, pour délerminer les deux autres,

2îr 3i

&)« H- -^? G.)|4--Y9 Wi 4- x9

W4-I--V' M| -h "Y» W, 4- TT.

Indication de quelques auteurs qui se sont occupés des théorèmes

généraux de Stewart.

Pendant que Ton imprimait l'analyse qui précède, j'ai reconnu que les théorèmes de Stewart avaient été déjà l'objet de quelques recherdies. Le volume des Transactions d'Edimbourg pour r8o5 contient, sur ce sujet, un Mémoire de M. Glenie. Cet auteur ne s'est occupé que des systèmes de points et de droites qui forment des polygones réguliers. On trouve, dans le tome V des jénnales de M. Gergonne (i8i4 et î8i5), les énoncés d'un grand nombre de théorèmes sur les polygones réguliers, par M. Français; un certain nombre se confondent avec ceux de Stewart. Les démonstrations de M. Français n'ont d'ailleurs pas été données.

Le Journal de Mathématiques de Dublin et Cambridge a publié en i84i (i" série, i84i, tome II, page 271) un article de M. R. Leslie Ellis, où l'on trouve la démonstration dç ce théorème dont je me suis servi :

SiJ\(p) est unefoîiction entière du sinus et du cosinus de V angle rp , la somme

est indépendante de 9 quand le degré de lajonctiorï est inférieur à m,

jM. R. Leslie Ellis ne le fait connaître, en ce qui concerne Stewart, que conune propre à démontrer analytiquement les propositions établies par M. Glenie.

Enfin on trouve dans le même Recueil (a^ série, tome I, p^e aag), un article de M. T. S. Davies, où l'on démontre les propositions VII et VIII de Stewart.

Tableau de correspondance entre les numéros des propositions contenues dans l'ombrage de Stewart et ceux de V analyse.

siuiiMroi

wmtKO%

ndmi£ros

XCMÉR0S

des proposUionfl

correspondants

des propositions

correspondants

de Stewart.

do l'analyse.

de Stewart.

de Tanalyso.

xxxni

ibid.

ais

xxxvn

Idem,

ibid.

vin

ibid.

XLUI

ibid.

Lin

ibid.

Lvn

ibid.

Lvni

ibid.

xxvn

ibid.

Lxn

ibid.

Lxra

ibid.

En chassant le dénominateur dans l'équation (i) et mettant ces valeurs pour p et q, on trouve

^ \n-^b V^^ = ip' -f- 7' V ^^) {a, + b, v/^ )

équation qui conduit, comme on sait, à remplacer dans la recherche du plus grand commun diviseur A et A, , par A4 et

(3) Aa = (a -+- /3 s/^^) {a, + /;, v'-^).

Le module de A^, élevé au carré, est

L'équation (i) donne d'ailleurs

(5) M = (/?^ 4- q^) M, = [(/;' 4- a)^ -+- {q' ^ ^Y] M, . Il existe donc entre les produits MM| et M| M, la relation

dans laquelle tous les termes peuvent être considérés comme positifs et où p' et q' ne sauraient être nuls en même temps à cause de M > M, . Le cas le plus défavorable est celui où />' = 0, 7^ = 1, et l'on voi^que , même alors, on aura

MM, > aM.Mj.

Ainsi le produit des carrés des modules des nombres à diviser l'un par Tautre , celui de plus grand module par celui de plus petit module, devient plus de moitié moindre à chaque nouvelle opération , et la recherche prendra fin après un nombre de divisions plus petit que l'exposant diminué d'une unité de la plus haute puissance de a contenue dans MM, , ou, ce qui équivaut, plus petit que le nombre obtenu en divisant le logarithme de MM, par celui de 2 on o,3oio3, et diminuant de I le résultat; ou encore , plus petit que 3,3ai93 (/ 4- /,) — i , i et I, désignant les nombres de«chiffres de M et M,.

Le seul cas qui puisse échapper à cette limite est celui où deux M

consécutifs sont tîgaux ; c'est ce qui arrive, par exemple, quand

on trouve

-'^ "'-" "-65' '---es

A2 = 8 -+- V -— M de sorte que Ton a

M, = Ma = 65.

Alors la série des opérations devient infinie et les valeurs de A, et A2 se reproduisent successivement.

Pour obvier à cet inconvénient, avant de continuer, on divise A^ ou A2 par I 4- v'— I en ayant soin de tenir compte de ce facteur s'il

est commun. Le quotient est ^î-^' -h ^^-^ V --^, et l'on voit que le

caractère de divisibilité consiste eu ce que a, et b^ doivent être tous deux pairs ou tous deux impairs. Si A, et A^ n'admettent cela ni l'un ni l'autre, a^ et ô, sont l'un pair et l'autre impair; il en est de même de a, et ôj, et, de plus, si a^ est le plus grand de ces quatre nombres, b, est nécessairement le plus petit. En multipliant, au besoin , par di i . ±: V— r, on peut toujours amener A, et Aj aux formes

a^±b,\/-'i et n^±.b^s/'- i,

où Ut est le plus grand des 4 nombres, 6, le plus petit, et où les signes sont mis en évidence , les signes supérieurs ayant toujours lieu ensemble, ainsi que les inférieurs. On forme alors un nombre

dans lequel figurent les différences arithmétiques a, — a^ et b^—b^y évidemment toutes deux paires ou toutes impaires; cela fait, on divise ce nouveau nombre par i -h \/-- 1, et on l'emploie à la place de k^ : il a un module moindre. En effet, l'équation

donne ^

«2= fftjj— b^)

et, comme a>> b^ et a, > /?2, on en conclut a^— a^Kb^— bi<ib^\ le carré du module de A< — A^ est donc moindre que ^b\j et celui du nonibre à employer moindre que b\ , à fortiori, moindre que a\ -f- b\.

Avec cette simple préparation, dans le cas très-rare où elle est nécessaire, rien ne peut entraver la marche des opérations ni diminuer la généralité de ce qui précède. Dans l'exemple numérique cité plus haut, on est conduit de la sorte à poursuivre la recherche en remplaçant Aa par Aj = 2 -^ \/— 1 et Ma = 65 par M 2 = 5. A'j, se trouve être une quantité première et le plus grand commun diviseur cherché, car il divise A^ et donne pour quotient exact a + 3 v'— i-

Les quantités désignées par a et jS |>euvent être mises sous la forme

— î — 5 K et K' étant entiers; en substituant ces valeurs dans l'équation (4), on arrive à la relation

qui prouve que le produit de deux M consécutifs est decomposable en deux carrés parfaits, dont les racines sont les numérateurs de a et j3.

DEUXiiîME SECTION.

Dans le Compte rendu de la séance de l'Académie des Sciences du i5 mars 1847, ^- Wantzel (page 43ï) prend pour p' et q' les nombres entiers les plus voisins de /? et 7; de la sorte, a et ]3, au lieu

d'être constamment moindres que i , sont toujours moindres que -•

Comme on l'a vu dans la première section, cela n'est pas nécessaire pour que les modules décroissent; mais, en opérant ainsi, on peut assigner au nombre des divisions à faire une limite plus restreinte. M. Wantzel fait voir que le nombre des opérations ne saurait surpasser le degré de la plus grande puissance de a contenue dans le carré du module le plus petit. Cette limite repose sur ce que o? -f- /3* est

une quantité inférieure à -» parce que a et j3 sont, chacun en particulier, inférieurs à —

On peut aisément la remplacer par une limite plus restreinte, en considérant que s'il est possiî>le, dans un cas déterminé, d'avoir

a = /3 = ±: -) cela ne saurait arriver dans plusieurs divisions consécutives. En effet, les équations (4) et (5) donnent

et, semblablement ,

En ajoutant un accent à chaque lettre dans l'équation (5) et combinant cette équation avec l'équation (4), on trouve encore

(5) (/,"+«')»+ (ry''+P7=^,;

de là il résulte A: ~ 5, ce qui ne peut même avoir Heu deux fois consécutivement, de sorte que si K'= 5, on a nécessairement K > 5.

Pour prouver ces deux points, remarquons d'abord qu'il est permis de changer les signes des binômes />'-+- a et 9' 4- ]3 dont les carrés entrent seuls dans K; ainsi on atteindra toutes les valeurs possibles de cette dernière quantité en donnant à p' et q' toutes les valeurs entières positives , et à a et j3 toutes les valeurs positives et négatives

numériquement inférieures à -> ou égales à cette limite. De plus,

K étant composé en p' et a comme en 9' et jS, on peut se dispenser de considérer les hypothèses réciproques; par exemple, après /?'= o, ^' = I, il est inutile de faire p'= j, r/'= o. Cela posé, partons du cas

particulier où p'= o, 9'= i, a = j3 = -? dans lequel

Si l'on fait décroître a, K augmente; si c'est ^ qui diminue de £, le