Tome XllI. — Octobre

numérateur décroît de 2€, quantité plus grande que la diminution a £ — €' subie par le dénominateur ; on peut affirmer que le nombre fractionnaire augmente encore. |3 ne peut d'ailleurs être négatif dans ce cas, parce qu'il en résulterait

;; = />'+ a = 0-4- a< j et ^ = ç'-4-|3 = i-+-]3<i,

ce qui entraînerait l'inégalité M < M, contraire à l'hypothèse. On peut donc affirmer qu'avec ;;' = o, 9' = i on a toujours K > 5, si ce n'est

lorsque a = ±: - et ]3 = -> ce qui donne K = 5. />' = o et (jf' = o ne

peut se supposer, puisque cela donnerait ^^ -h ^" < i ; comme /?' = o, q^=i et ^ négatif. Si, maintenant, nous faisons croître 9', le binôme 9'-4- j3 croîtra, hormis le cas où q' augmentant de i, /3 passerait de -h - à 1 et alors même ç'-t- ^ ne diminuerait point; on

peut en dire autant pour p' 4- a. Ainsi K est constamment plus grand que 5 , si ce n'est pour

q'=î, a = di-t /3 = -, q' = a, a = ±-, i3 = ---,

,'=,, a = -i, ^= i, p' = I avec <

et les hypothèses réciproques, cas dans lesquels on a

Lorsque K' = 5, K est plus grand que 5, puisque I equation [6) donne

et , par suite ,

De ces principes on déduit facilement la limite cherchée : soient ,

iiiTTiTrc iT'T' A iinr i/^riiÎTc

34o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

puissance de v^S, contenue dans le carré du plus petit module; ce qui se démontrerait de même en partant de M, au lieu de M. Cet exposant n'est d'ailleurs autre chose que le quotient obtenu en divisant le logarithme du module carré par le logarithme de \/5 = o,3494^5, et Ton peut substituer à cette division , quand on ne tient pas à une limite très-approchée, le produit du nombre des chifFres du carré, par a,86i4, et, à fortiori, par 3.

Les valeurs des M sont d'ailleurs nécessairement toutes comprises dans la formule x^ + ^" où x ^X. y sont des entiers incomplexes , et même on ne peut avoir M;, = i qu'autant que les deux nombres proposés sont premiers entre eux. Alors M„t peut être a; M„«a ne peut être 5, à moins que M„«2 ne soit M; car a X 5 = lo = 3* -4- 1* donnerait pour a ou /3 la valeur ±: g> numériquement plus grande que —

M„< étant pair, M|,«2 ne peut être 8, car i -f- V— i serait diviseur commun, et M^ serait > i. Ainsi, en remontant la série des M, on voit que, après i et a, on arrive à 9 au moins. En continuant cette discussion, calculant a et ^ à l'avance au moyen de l'équation (3), et s'aidant, pour abréger, de l'équation (a), où les seules indéterminées sont p' et g', qui représentent des nombres entiers, on voit que M^, est au moins 3a, et M;,.4 au moins lai : les M croissent donc beau* coup plus rapidement encore que ne l'indique la limite trouvée plus haut; en conséquence, elle pourrait être plus approchée. Elle ne jouit pas de la propriété de ne pouvoir être remplacée par une meilleure , comme cela a lieci pour la plupart des diverses limites que j'ai données , au sujet du plus grand commun diviseur en arithmétique élémentaire , lorsqu'on ne les simplifie pas en remplaçant le logarithme du plus petit des nombres proposés par le nombre de ses chiffres.

TROISIÈME SECTIOir.

Nous avons vu précédemmment comment on peut, dans la recherche du plus grand commun diviseur, remplacer les deux nombres proposés par d'autres dont les modules sont de plus en plus petits à mesure que l'on avance dans la série des opérations. On peut aussi se proposer de trouver deux nombres ayant le même plus grand commun

diviseur que les nombres proposés et présentant certaines particularités; tels, par exemple, que Tun d'eux soit incompiexe.

Soient m, /i, m', it! des indéterminées entières incomplexes, et posons

A' = m (a -h A V— i)--f- n (a, -i- ft, V— i )

= {rna -h na^ 4- {mh -4- nh^ \/— i ^

A', = m' (/ï -+- ft V^^) -f- «' (<2f H- ft« >f^\ ) = (//î'rt -h /l'a,) + (m'ft -f- n'ft,) y— i;

le plus grand commun diviseur entre A et A, divisera évidemment A' et A', . Posons , en outre ,

LA' + L'A't = A , HA' H- H' A', = A„ c'est-à-dire

( [(L/^î -+- L'/?i') ri -h (Ln + Uri) a,\ ^ ^ (4- [(Lm -+- Um') h + (L« + LVi') ft,] f^\ = a^h v~"i ,

j [(Hm+ H'//2')a 4- (H/i -+-HV) a,] ^^^ ( + [(H/n-h H'/7i') ft + (Haï + H' 7*') ft,] y -"V = ri, -^ ft, y^IT.

L, L', H, H' désignant encore des entiers incomplexes: on pourra affirmer que le plus grand commun diviseur entre A' et A', divise A et A,, et, par suite, qu'il est le même que le plus grand commun diviseur cherché. Mais il faudra vérifier les équations (8) et (9) pour des valeurs quelconques de a, ft, a,, ft«, ce qui exige

(ro) Lw-h L'm'= i,

(la) H/n4-H'm'=o,

L'équation (i3) montre que n et /i' sont des quantités premières entre elles; et, cela étant, l'équation (ii) prouve que L est un multiple de /i', L= /i'<, et L' un multiple de /i, L'= — /?<; ce qui change l'équation (10) en

et fait voir que / n'admet que les valeurs 4-1 et — i, et que m, n, m% n' doivent vérifier l'équation

(i4 mn' — m'n =±11.

A cause de la symétrie des calculs, l'équation (12) n'amène pas d'autre condition, m et n peuvent donc être pris arbitrairement parmi les quantités premières entre elles , pourvu qu'on déduise ensuite m' et n' de l'équation (i4). Veut-on, par exemple, que A' soit incomplexe et égal à ina -h na^; on posera

mb -f- nbi = o = mB -h nB< ,

B et B, étant les quotients de h et h^ par leur plus grand commun diviseur, et on prendra m = B^, n = — B: de la sorte, m et n seront des quantités premières entre elles, et on aura

A' = aB^ — a,B, A\ = {m'a -h n'a,) ± D yf^,

D étant le plus grand commun diviseur de h et b,; m' et /i' étant deux des valeurs que fournit l'équation

B^nf -+■ Bm'= zh i.

A| et A'j, comparés à A et A,, offrent certains avantages : le plus grand commun diviseur de A' et du carré M'^ du module de A\ est le carré du module du plus grand commun diviseur cherché, ce que l'on ne peut affirmer pour A et A'. Cela permet de s'assurer plus promptement si les nombres sont premiers entre eux.

Soient, par exemple,

A, = i4i -f- io6v— i et A= i54 — i53 y/— i , M<=:3iii7 et M = 47ïî»5,

b et i, étant évidemment premiers entre eux; on a pour valeur de A', abstraction faite du signe ,

A'= iZji X i53 -+- to6 X i54 = 37897.

On peut en avoir facilement une moindre. 11 suflSt, pour que A' soit une différence arithmétique au lieu d'une somme, de multiplier A

par V— ï > et de prendre

A, = i4i -f- io6 \/— I et A= i53 ~h i54 V— I ; alors

B,= 53, 8 = 77, D = a, et

I/éqnation (i3) devient

elle donne ^i'= 1 1, ;/î'= — i6 avec le signe inférieur, et, par suite, on a

A\ = 573 -+- 2 v/- I, M', = 3îi8333,

en changeant le signe de A', , ce qui est permis. M', et A' n'ont pas de commun diviseur, et l'on est assuré que les nombres proposés sont premiers entre eux. M et M, ont, au contraire, pour plus grand commun diviseur, 29, ce qui laisse la question indécise.

On peut aussi profiter des indéterminées pour se procurer deux nombres dont l'im ait un module beaucoup plus petit que M<, ce qui abrège la recherche. Dans l'exemple précédent, m = n = i = w' et /n'= o conduisent à remplacer A et Aj par A, et la -+- 48 v^— r, dont le module a448 est plus petit que 3i 1 17.