SUR LE FROTTEMENT DE ROULEMENT

Par m. STEIGHEN,

Professeur à TEcoIe luililairc de Bruxelle*.

Il semble résulter des observations faites par Ck>uloinb et d'autres physiciens, que la résistance au roulement est, du moins dans certaines circonstances, proportionnelle à la charge du rouleau ou de la roulette, et en raison renversée du rayon; tandis que, d'après les observations de M. Dupuit, cette résistance parait plutôt se rapprocher de la loi de la raison inverse de la racine carrée du rayon. Il y a des cas particuliers où cette loi de Dupuit se trouve pleinement confirmée par les principes de la théorie. Pour justifier notre assertion, nous résoudrons le problème de la roulette à axe fixe, déjà traité et profondément éclairci, comme tant d'autres questions intéressantes, par M. Poncelet dans son Cours de Machines â l'École de Metz.

Soit,^g. I, PL /, une roulette à axe fixe, portant une charge F, posée sur le plateau AB, et soit p le poids de la roulette elle-même, celui du plateau se trouvant compris dans P ; il est évident que la force de traction horizontale F n'a d'autre résistance à vaincre que le frottement de glissement sur l'axe fixe o, et celui du roulement de la roue sous le plateau. Nommons m le point de contact du cercle de l'œil de la roulette avec l'essieu circulaire fixe dans l'état de mouvement permanent; a l'angle de la résultante N des forces (P-+- /?) et F, avec la ligne droite moC qui joint m aux centres o et C de l'axe et de l'œil ; /3 l'angle de N avec la verticale de P -f- /> ou du centre : on obtiendra, par le principe des moments virtuels effectifs et par celui

PDRES ET APPLIQUÉES. 345

des moments de rotation des forces autour du point m,

(i) F [i -h/~ sin (a - /3)] =J^ (P + p) cos (a - /3)

KR)

équation dans laquelle /exprime le coefficient du frottement de glissement sur Taxe fixe, R le rayon de la roulette, r celui de son œil , A' le coefficient de la résistance au roulement, entre la roulette et le

plateau, tandis que -^ exprime la loi inconnue de cette résistance

en fonction du rayon R, les surfaces roulantes étant censées complètement dépourvues d'aspérités; car, dans l'hypothèse contraire, il faudrait ajouter au second membre de l'équation (i) un terme correspondant au degré d'élévation du fardeau que nécessiterait la présence de telles aspérités.

Mais puisque l'œil de la roulette peut rouler autour du point m, il faut qu'on ait encore, par les moments de rotation,

W F [i^ ^cos(a - i3)] = (P + /;)^ sin(a - /S),

équation qui exprime aussi que la résidtante M passe par le point de contact m. On obtient ensuite, et évidemment, par la décomposition de N en une force tangentielle et en une force normale ,

(3) tanga=/

Mais comme les deux forces F et (P + ^) sont, dans le cas actuel, rectangulaires entre elles, on obtient immédiatement cette quatrième équation de condition

(4). (P-+-/>)tang/3 = F;

et néanmoins, il n'y a tout au plus que trois inconnues distinctes, a, /3 , F ; or, en égalant entre elles les valeurs de F : (P -+- /?), tirées des égalités (a) et (4) » on obtient , par une simple réduction , l'équation de condition suivante :

(a) R sin /3 — r sin a = o.

Mais si l'on abaisse du centre C de l'œil de la roulette une perpendi-