Tome XllL-' Octodee i8j

culaire CV sur ]a ligne Tm de la résultante, on a , par le triangle TGV,

CV=Rsin/3j et, dans le triangle CmV ,

CV = rsina.

11 suit de là que légalité (a) se trouve en etfet vérifiée indépendamment de toute considération mécanique, et quelle donne, en même temps, /S en valeurs de r, R, aouf. Cela posé, on pourra, par conséquent, négliger la considération de Téquation (a), en tenant compte de celle des équations (4) et (a) , qui fait connaître j3 d'une manière purement géométrique; mais puisque a, ]3 se trouvent déterminées par les équations (3) et (a), et que, par l'équation {t\)j la force F est une fonction connue de a, ]3 , P -4- />, il faut qu'en substituant dans l'équation (i) cette valeur de F, on obtienne im résultat qui subsiste entre quantités connues. Cette substitution donne

W) " ^^^ [*^"S ^ '^^i ^^''S /3 sin (a ^ /3) -/^ cos (a - ^)].

Mais en remplaçant /par ^î^, et ^ par ??^) on obtient, par une réduction facile, le second facteur du second membre égal à

tangjS — tang]3 = o;

de sorte que l'on a ainsi

De là il faut conclure que, quand deux surfaces sont parfaitement planes et dépourvues de toutes aspérités, le frottement de roulement est absolument nul entre elles, quelle que soit la pression ; et la force de traction F a, par conséquent, la valeur fournie par l'égalité (4), après qu'on y aura mis la valeur de tang /3 en / r, R ; d'où résulte

Ainsi les équations (3) , (a) et {b) font connaître les valeurs des trois

PURES ET APPUQUÉES. 34?

inconnues a , ]3 , F , et notre question se trouve résolue complètement. De plus, cette solution, comme celle de quelques questions analogues, mène à Tidée d'attribuer la résistance du roulement aux aspérités des surfaces frotrantes, laquelle est due ainsi à ce que la chaire se soulève en effet d'une petite quantité autour de chaque petit obstacle; car, pour le démontrer, proposons- nous de déterminer la valeur de la force 9 capable de vaincre et d'équilibrer toutes les résistances dans le cas de la question précédente, mais dans la supposition que, la surface du plateau restant très- unie, la roue soit munie d'une petite saillie de hauteur h dans le sens du rayon et en contact avec le dessous du plateau, en un point a, Jig, a, en arrière du point T.

Soit X la force verticale ascendante qui, dans l'état de repos, serait capable d'équilibrer le poids P autour du point a; on aura donc

^ab= P^.

Le point a supporte donc une pression verticale F = P — P(-tj;

l'autre partie P ( ^ ) fera incliner le plateau si la force X n'existe

pas, ou bien elle sera détruite par le dos du moteur, produisant la force de traction horizontale. La pression en a occasionnera un frot-

tement de glissement yi P -^ ou^j P' pour abréger, et c'est par l'effet

de cette force passive que le plateau devient comme adhérent à la saillie de la roue à l'instant même où celle-ci vient toucher et frapper le dessous du plateau en a. Mais la force 9, qui est maintenant requise pour l'équilibre, doit surpasser la force F, calculée plus haut; car non^seulement elle doit vaincre la résistance entre l'œil et l'essieu, il faut encore qu'elle soulève un peu, pendant chaque moment, la charge P autour du centre C. De plus, cette force 9 sera variable avec la distance aX; mais il suffit de la calculer dans sa valeur initiale; car, en y changeant ensuite la valeur initiale en une valeur comprise entre zéro et celle-là , on attrait au besoin la valeur de la force motrice variable.

348 JOURNAL DE MAITÏÉMATIQUES

Nommons toujours a Tangle de la résultante N' des forces y et (?'-+-/>) avec la droite moC^ tirée par le point de contact m aux centres o, C; /3' l'angle de W avec la verticale. Remarquons ausai que le point d'inrersection des deux forces cp et V -h p n'est pas en a, mais entre a et T, et très- voisin de a ^ ^ est censé très-petit par rapport à P; soit a' ce point d'intersection. Dans le mouvement utile, la résul* tante N' agira donc de a' vers m , ce qui donne toujours en m , suivant mC, une force normale N' cos a, partant un frottementyiK'cosa. Mais il se présente maintenant deux questions à résoudre : celle du mouvement initial singulier et celle de la supposition d'un point de contact permanent.

A partir du repos et jusqu'à ce que le point de contact m, pour lequel on a toujours

tanga=/,

soit atteint , la force motrice , qui est censée croître par degrés insensibles d'abord, finira par avoir une valeur ij^, suffisante pour faire rouler l'œil de la roulette sur l'essieu fixe. Rapportons ce mouvement de roulement au centre fixe o de l'essieu, et admettons que l'angle de rotation soit déjà £; le centime G de l'œil et tous les points de la roulette ont donc tourné autour de o, en roulant sur l'essieu d'un angle s. Le centre C s'est donc dievé d'un arc (r — p) £, qui vaut en projection verticale (r— p)(i —cos s), et en projection horizontale, (r — p) sin É. Le poids V -h p s'est donc élevé d'une quantité verticale égale à cette première projection , et le moment virtuel du poids pour l'instant suivant sera

(P'H-/;)(r— p)sin ide.

Maifi la roulette ayant roulé de n en m sur l'essieu , le point de contact T de la force motrice ^ a décrit l'arc TT'= (R — r-f- p)6, et pendant Tinstant qui suit, il décrira, par conséquent, le chemin (R— r-h p) di ou T'T"; et cet élément faisant avec la ligne primitive de \^ un angle s, on obtient, pour le moment virtuel contemporain

de la force ij^,

cj; (R — r -h p) de cos c.

On voit donc que pour faire rouler un cercle, percé d'un œil sur un axe fixe, la charge P' 4- p, on a besoin d'une force motrice ^ , donnée par Téquation

•|(R — r-h |!?)cos£ = (P'-f- p)\v — /5)sin£;

et c'est cet effort que l'on peut nommer ici le frottement de roulement du cercle mobile sur le cercle fixe. On déduit de là

^ = (P' + ;))("-^P)tang£,

ce qui fait ^ proportionnel à la charge P' -4- /?, et en raison inverse du rayon de la roue.

Si l'on a r = |9, alors ^J^ = o, et le fi'ottement de glissement se substitue dès l'instant même qu'on voudra produire le mouvement.

Mais le mouvement initial singulier cessera dès qu'une fois la résultante des forces 9 passe par w, et que sa composante tangentielle devient strictement égale et contraire au frottement de glissement en ce point. Cette résultante N', correspondante à la nouvelle force de traction ^ , passera, non pas par le point a même, mais par un point voisin, compris entre a et T, , Jig-^'i; car la force verticale est non pas P', mais P' -f- />: en outre, N' fera avec la ligne moC un angle a, et avec la verticale un angle /3'. Il s'agit donc de déterminer les quantités a, /3', ç; or on a immédiatement

tanga=/, et ensuite

Eu égard à la condition

N'cos a = (P' + p) COS (a — /3') - ç sin (a - /3') ,

on obtient, par le principe des moments effectifs,

\<p (R H- A) sinX = F(R + h) cosX +/(?'+/>) cos (a - ^')r

^^^ J -/<psin(a-|3')r.

35o ' JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

On désigne par X Tangle de la saillie ab placée suivant le rayon C'/>> prolongé, avec l'horizontale du centre C En nommant encore h la hauteur de cette saillie, on a

al, = (R 4- A) cosX = VaRÂ -f- h^ et

sinX = R:(R4- A).

Ainsi X est connu et déterminé dès que la hauteur h est donnée ; il n y a donc que deux inconnues distinctes /3', y, et les équations (i) ©t (a) suffisent pour les déterminer.

Nommons a' le point d'application de la force P' H- /? entre a et T,; on aura

ûT. '^V'-\-p' '•*"8P — a*g ~~ R — rcos(a — P') '

ou , en mettant pour a'T, sa valeur,

De cette équation on pourra déduire la valeur de /3% quoiqu'elle ne soit pas encore résolue par rapport à l'inconnue. Mais en substituant, dans l'équation (a), la valeur

? = (P' + /^)tang^',

on en déduit encore, pour |3',

./:^ tanff & - -^ i?-±-^0-?eiL,- + fr cos (.^p^)

^^ wiig p — p,^ ^^ j^ ^^^ ^.^ (a p/) ^ R -|./r sin (a - P')

Il faut donc que ces deux équations s'accordent à donner pour ^' la même valeur, et qu'elles offrent, par conséquent, ime vérification de nos raisonnements et des résultats établis. Pour opérer cette vérification et pour obtenir à la fois une équation plus simple, posons

F(F-+-p) = fji. et a — /3'=w.

Les deux valeurs de tang |3' obtenues ci-dessus, étant égalées entre elles, donnent l'équation de condition suivante :

,. . / I I \ /rcoscv rsintr

fX (W -h fl) COS A \^R:;:y^si„„. — H - rcos cJ "^ R-^/rsiiûi' "^ R-rcoSfv

Si l'on réduit cette dernière d'après la condition de /'= — ^? on

^ '^ cos a

obtient Téquation suivante pour |3' :

(5) sin /3' — fx — g— cos X cos /3' — j— cos a = o.

Mais telle est précisément la forme à laquelle on peut ramener l'équation (3) par le développement de sin (a — ]3'), cos (a — /3'). Ainsi la combinaison des égalités (3) et (4) doime pour /3' la même valeur que l'équation (3), considérée isolément; de sorte qu'elles sont équivalentes l'une à l'autre. Cette vérification étant faite, il en résulte qu'il est permis de négliger l'égalité (3), et de tenir seulement compte des égalités (i) et (a), auxquelles on est conduit immédiatement et qui suffisent pour avoir ç) et P'.

Si l'on veut se borner à une approximation , l'égalité (a) suffira seule; en observant que

(R + A)sinX = R, on en déduit

'^ — *^ R -f-/rsin (a - p') '^ J ^"^ "^ "^ la ^/r sin (a-- ^')

En négligeant d'abord /> sin (a — j3') par rapport R, et prenant

cos (a — ]3') = I ,

on obtient une première approximation

On voit par là que si la surface de la roue est seulement couverte de très-petites aspérités, chacune de celles-ci exigera un effort extraordi-

noire 1^-7=' directement proportionnel à la racine carrée de la hauteur de chaque saillie, et en raison réciproque de la racine carrée du rayon de la roue ou roulette.

Or, comme ces saillies se succèdent incessamment, il faut un effort continu soumis à cette loi. C'est dans cet effort ainsi requis qu'il faut faire consister la résistance au roulement ^ du moins dans le cas actuel

et les analogues , puisquMl est déjà démontré que, les surfaces étant parfaitement unies, cette résistance n'existe pas ou qu'elle est nulle. La loi de Coulomb, qui peut être plus ou moins exacte, selon la nature des surfaces frottantes, ne parait donc pas admissible pour le cas spécial où ces surfaces seraient très-unies en apparence, très-rigides, mais, en réalité, pourvues d'aspérités plus ou moins sensibles.

Ayant une fois une valeur cp' de ç , on obtient immédiatement une valeur correspondante de |3' par l'égalité (i), après avoir remplacé 9 par o'; on pourra ensuite pousser l'approximation aussi loin qu'on voudra, en employant les égalités (i) et (2) alternativement.

Quant à la plus grande limite de l'angle de roulement ou de e, sur l'essieu , elle sera €| = a — /3', et l'arc correspondant sur l'essieu aura la valeur p (a — /3'); c'est la longueur de l'arc nm.

Pour savoir si le point de contact m sera toujours en avant de la verticale passant par le centre de l'essieu, il faut développer tang (a — ]S'); ce qui donne, en vertu de l'égalité (i),

tang(«-|3') = (/-p4^)(.+/p4rj-

Et, en vertu de la valeur de ç en fonction de P', /?, A, i^, cette valeur sera généralement positive; mais si la hauteur h devenait fort sensible ou fort grande, le contraire pourrait avoir lieu.

Remarque. La résistance au roulement doit être soumise à une loi plus ou moins compliquée à laquelle on ne pourra parvenir qu'en établissant les équations d'équilibre, eu égard aux forces de toute espèce qui agissent au point de contact. En introduisant dans la formule qui exprimerait cette loi d'une manière exacte, de certaines hypothèses particulières, concernant 1 élasticité, la compressibilité des surfaces de contact, on doit retrouver des résultats simplifiés qui reproduisent tantôt la loi de Coulomb, tantôt celle de Dnpuit, d'une manière au moins approchée.

^OriohvjAi^J.