SUR L'INTÉGRATION DE L'ÉQUATION

dx^ -h dy^ -h r/z' = ds^ ;

Par m. J.-A. SERRET.

La question que je me suis proposé de résoudre est la suivante :

x^ jTj Zj S étant quatre fonctions d'une variable indépendante 6, assujetties à vérifier l'équation

(i) dx^'^dj^-hdz'=ds\

exprimer sous forme finie ^ et sans aucun signe d' intégration ^ les valeurs générales de ces fonctions.

Il est évident qu'on satisfait à Téquation précédente en prenant pour X, jr^ z eX. s les coordonnées rectangulaires et l'arc d'une courbe quelconque , d'où il suit que les valeurs générales de Xj j-, z et ^ doivent contenir dans leur expression deux fonctions arbitraires de la variable indépendante.

Considérons une courbe quelconque ; la surface développable, lieu géométrique de ses tangentes, pourra être représentée par l'ensemble des deux équations

z = px -^- qy ^ u^

o = xdp -hjrdq ^ du,

où py q et u sont des fonctions d'un paramètre ô, ayant respective- ' ment pour différentielles dp, dq, du; et la courbe elle-même, qui est l'arête de rebfoussement de la surface, sera représentée par l'ensemble