Tome XIII. — Novembre

des trois équations

o = xdp -hjcfq — du,

o = xd^p -^jrd^q — d^u;

on déduit de là les valeurs de Xj j^ z en fonction du paramètre Q que nous prendrons pour variable indépendante; savoir,

dqd^u — dud^q

dqd^p — dpd'^q

(3) / dad-'p^dpd^u

I *^ dq d'^p — dpd'^q

Z = px -{- qy — u.

Les équations (îi), combinées avec celles qu'on en déduit par la differentiation , donnent

dz = pdx 4- qdj^

dpdx 4- dqdjr = o,

d^pdx -h d^qd/ = d^u — xd^p — fd^q^

d'où Ton tire

t d^u — xd^p — yd^q j

^^"" dqd^p-dpd^q ^'

Portant ces valeurs de rfr, dy^ dz dans Téquation proposée, et extrayant ensuite la racine carrée des deux membres , on a

Enfin, mettant à la place de or et j les valeurs fournies par les équa-

lions (3) , et faisant , pour abréger,

A d^^ )Jdq^ -\' dp"* -{- [pdq — qdpf dqd^p — dpd^q

f6) < R — — d^{dqd'p^dpd'q)sjdq^+dp'-^{pdq-^qdpy

^^ 1^— [dqd^p — dpd^qY '

p [d^qd^p -- d^p d'q) s/dq'-j- dp^ -f- [pdq — qdpf ^ "" (dqd^p-^dpd^qf '

la valeur de ds sera

en intégrant par parties chaque terme de dsj on trouve

/A ^'« JA A d'u dk du d'A Cd'X j^

et l'on aura, pour la valeur de s y

. d'u [dk „\ du (d'k dB ^\

-j i^-T?F + rf?)"^^•

Or les quantités A, B, C ne contiennent pas m, qui doit être une fonction arbitraire de ô; on pourra donc exprimer s sous forme finie, en posant

W " - ±k dJB dV

dB^ dB' ~^ de

4»' (5) désignant la dérivée d'une fonction arbitraire ^j^ (6), car on aura

r \ A ^'" /^A t>\ du [d'k dB ^\ . ...

et, en remplaçant u par sa valeur donnée par l'équation (8) , dans les équations (3) et (9), on aura les valeurs de o:,^, z et ^ exprimées sous forme finie 9 et sans aucun signe d'intégration. Ces expressions contiendront trois fonctions de 0, ^ (5), p et qf , dont deux seulement doivent être considérées comme arbitraires; car on peut évidemment, sans altérer la généralité de nos résultats , prendre pour Q Tune des deux quantités p et ^ , ou égaler, si l'on veut, Tune de ces deux quantités à telle fonction de que l'on voudra. La variable indépendante que nous avons laissée indéterminée doit être choisie de manière à avoir les formules les plus simples possibles ; c'est im détail dont nous allons nous occuper dans le paragraphe suivant: mais remarquons, en terminant, que la question que nous nous sommes posée est complètement résolue par ce qui précède , et aussi que la même méthode s'étendrait , sans aucune modification , à l'équation plus générale

contenant un nombre quelconque m de variables ^,..., ^, jz.

On substituerait, en effet, à ces m variables, m autres quantités déterminées par les m équations

z = px -H...+ qj — M,

o = xdp -^-...-hjrdg — duj

o = xd^p -{-,..+ yd^q — d^u,

et en suivant la même marche que précédemment , on exprimerait les m -4- I quantités o:,..., j*, z et j sous forme finie, à laide de m fonctions de la variable indépendante , dont m — i pourraient être considérées comme arbitraires.

La même transformation s'appliquerait encore à l'équation plus générale

dx" -h,. .4- dj" + rfz" = ds",

où n est un nombre quelconque.

Revenons à la question proposée, et occupons-nous du choix de la variable indépendante.

qetp; étant deux fonctions d'une même variable indépendante, peuvent être considérées comme les coordonnées rectilignes d'une courbe plane arbitraire; l'équation générale des tangentes de cette courbe sera

q cos Q — psinO -h (p{Q) = Oj

9 étant un paramètre variable et (p une fonction arbitraire. En outre, comme toute courbe est l'enveloppe de ses tangentes , on pourra poser

(q cos — p sin 9 + 9 = 0, ç sin 6 4- pcosQ — y'= o,

et considérer ces équations comme appartenant à la courbe : la seconde de ces équations est la dérivée de la première par rapport au paramètre Q que nous prendrons pour variable indépendante ; enfin , nous mettons simplement y au lieu de 9 (0) , et nous dénotons les dérivées à la manière de Lagrange.

Des équations (10) on déduit les valeurs suivantes de p et q , qui contiennent une fonction arbitraire y et sont , d'après ce qui précède , les plus générales qu'on puisse imaginer,

/ ç = 9' sin — 9 cos ,

\ p = cp' cos + 9 sin ; on déduit de là

idq = (9"+ 9)sinerfô, dp= {f'h(p)cosddO, pdq — qdp = (9" -+- 9) 9^/6; d'où

(i3) yjdq^ -f- dp^+ {pdq - qdpf = {f -4- 9) y/i + 9^ dQ.

On a encore

^'9 = [{f + 9') 8»n S -♦- [f -*- 9) cos Q] d6\ ^> = [{f + ?') cos 5 - (9" + 9) sin B] de\

d'où

(i 5) dqdy -dpd'q = - {f -+- fY de*.

Nous avons encore besoin des différentielles du troisième ordre ; on trouve

(6) {'^'''^ ^^^" - T) «*" ^ + =» if + 9') cos 9] de;

^' ^ \d*p = [{f" - ç)) cos 5 - a {f' + <p') sin e] de*,

et l'on déduit de l'équation (i5) , par la differentiation, (i 7) dqd*p -dpd*q^-a if" -h f) if' + ç') de*;

enfin, des équations (i4) et (i6) on tire

^ d'qd'p — d'pd*q

= [{?" ■+■ 9^ (9'' -t- y") - 2 (?" + 9'Y - if + <ef] de*.

Cela posé, en vertu des équations (i3), (i5), (17) et (i8), les valeurs de A, B, C deviennent

Differential! t la première des équations (19) et retranchant ensuite la seconde, on a

ho) ^-B=-i±±^!^I±l- ^' ■

^''°> do (f'+T)' (f'+ç)vTT7'

Différentiant l'équation (ao) et ajoutant au résultat la troisième des équations (19), on a

36o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

c'est-à-dire

(2D) -■-- — H ^- — - — j' = constante = m,

et la fonction u sera absolument arbitraire. Les équations (3) continueront de donner les valeurs de Xy jr et z, et la valeur de s le sera par l'équation (7), qui se réduit à

. dUt [dk ^\ du

On arriverait à des formules simples dans le cas de m = o. L'équation (aS) se réduit à

I + y»-Hy'»

et a pour intégrale

Ç = y'n^ COS* (ô -" 60) — I ,

n et 00 étant les deux constantes arbitraires. Je ne crois pas, toutefois, devoir insister sur ce cas particulier.