SUR UNE ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Par m. J.-A. SERRET.

On sait, d'après le beau théorème de M. Gauss, que si l'on fait éprouver à une surface une déformation quelconque, le produit des rayons de courbure principaux conserve en chaque point sa valeur; d'où il suit en particulier que les surfaces développables sur la sphère jouissent de la propriété, que le produit de leurs rayons de courbure principaux a en chaque point la même valeur.

Les travaux récents de MM. Liouville et Bertrand sur le théorème de M. Gauss ont attiré mon attention sur ce sujet, et j'ai entrepris d'étudier l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de courbure principaux ont un produit constant. Jusqu'ici mes recherches ne m'ont conduit à aucun résultat satisfaisant au point de vue de la géométrie ; mais j'ai trouvé une solution de l'équation aux dérivées partielles dont je viens de parler, solution qui contient une fonction arbitraire et qui ne représente que des surfaces imaginaires. Cette solution est assez remarquable en ce sens qu'elle se présente comme une sorte de solution singulière de l'équation aux dérivées partielles; je pense faire une chose qui sera agréable aux géomètres en publiant ici ce résultat.

Conformément à l'usage adopté, nous désignerons par x^ jr^ z les coordonnées rectangulaires de la surface, par p ^^ f] les dérivées du premier ordre ^, ^, par r, s, t celles du second ^, ^^, — -, l'équation que nous allons considérer sera alors, comme chacun sait, (i) a'(^rt-s^)=-i,x + p^ + q-f

a désignant une constante réelle ou imaginaire.