Tome Xin - Novembee

36a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Nous emploierons la transformation connue de Legendre et nous poserons

(a) u = pX'hqjr-^z;

prenant alors ^ et ^ pour variables indépendantes , on aura

au au

(4) d'où

d'u i d^u —5 d^u r dp" rt — s^' dpdq~ rt — s'^ dq^ — rt-^s^^

d'tt d'u (d'uy I

les équations (2) et (3) feront connaître z^ jr et jo en fonction de p et qj dès que la valeur de u sera connue. Enfin, à cause de l'équation (5), l'équation proposée (i) devient

dp^*'dq^~' \dpdq) ~" "" (i -+.j9» -H^»)»'

'dp* dq^ ■"■ \dpdq i^p^^q^j \dpdq H-/?»-+-ç7 '

et résultera de l'élimination de la quantité X entre les deux suivantes :

dpdq dq* i-f-/?'-H^'

DifFérentions ces équations, la première par rapport 9, et la seconde par rapport à p ; on aura

^ d^u d^u d\ d^u 2aq

^^ "■ dpdq^ '^ d^dp^ (1-+-/?* + ^')' "" ^*

d-k a — ^ d^u d*u d\ d^u dp 2ap\

dp^dq dpdq'' d^ dpdq l-t-/?*+^' ( H- />' 4- 7*)' '

et, en retranchant,

{ \ — ^la — -- Élu ^^^ 2fl(y— /^x)

^7) d^'dp dp dpdq i^p^^q^ f^y^pi^q^y

Des équations (6) et (7) on peut tirer les valeurs des trois dérivées

■3-7' 3-3-' -j-^S savoir,

dp^ dpdq dq^ ^ '

d\ /dl -s ^\ ^ ^ najq—pl)

[d^"^ d^j dp' "" H-/?'-f-^' (H-Z^'-H^')'' fd\ d\\ (8) { /"^ > î{^\ i^ = ""Vrfy"^ dp) 2al{q^pl) ^

/d\ . cA\ d'u \dq dpi dpd(^

dpdq l-f-/?' + r/» (H-/?'-f-y?

2ay?[q—pl)

On voit que si X était connu, u le serait aussi, puisqu'on connaîtrait sa dififérentielle seconde d^u. La quantité X dépend d'une équation du deuxième ordre que nous nous dispenserons de former, et qu'on obtiendrait aisément à l'aide des équations (8); il suffirait, par exemple,

de tirer des deux premières les valeurs de -^ et ^v et d égaler en-

11 ' JL d dUi ^ d d^u

semble les valeurs de leurs dérivées 35- -rr «t ^

dq dp^ dp dpdq

Remarquons que les équations (8) deviendront illusoires, pour toute valeur de X qui satisferait à l'équation

d\ ^ d\ (9) dq-^Tp = '''

Or je dis qu'une pareille valeur de X peut correspondre à une solution de notre équation aux dérivées partielles. Ceci ne peut arriver à moins que les seconds membres des équations (8) ne soient nuls , c'està-dire à moins que Ton n*ait

Il est très- remarquable qu'on puisse satisfaire aux équations (9)

et (lo) par une même valeur de X, d'où il suit que les équations (8) seront alors vérifiées d'elles-mêmes; en effet, l'intégrale générale de l'équation (9) est

y^-hXy = (p(X),

y(X) désignant une fonction arbitraire. On en déduit

dp dtf

et, par suite, l'équation (10) devient, en remplaçant p ^^ ^ P^^ '^"^^ valeurs ,

Pour que cette équation ait lieu quel que soit ç, il faut que l'on ait à la fois

(II) i + 9*-.X9^ = o et (, + X»)'^-X9-:o.

En éliminant ^ des équations (i i), on a