X^ -h ç^ = o , d'où ç) (X) = \/— I — X

et l'on s'assure aisément que cette valeur de 9 (X) satisfait h chacune des équations (i i).

Si donc on pose

les équations (8) se trouveront vérifiées d elles-mêmes, et l'on pourra dès lors intégrer les équations (6) qui sont linéaires et du premier

ordre chacune, si l'on y considère — dans la première, et — dans la

seconde, comme la variable principale.

Examinons d'abord la première des équations (6), et considérons

— =z X comme fonction des quantités gr et X; /? est alors une fonction

de ^ et de X définie par Téquation (la) : on a

d^u dx d\ dp^ ~" d\ dp" d^u dx d'k dx dpdq d\ dq dq

Par suite, la première des équations (6) donnera, en ayant égard à l'équation (9),

dx a — a

dq i-^p'^q' (> 4 ^ yCTTITO'

d'où en intégrant, et désignant par ^j^ une fonction arbitraire.

On considérera pareillement, dans la deuxième des équations (6), -T'^= y comme fonction des quantités ^ et X; on aura

d^u dy d\

dpdq d\ dp

d^u dy dl dy

7/^"" dïdq'^dq'

La seconde des équations (6) devient alors

dy aX — flX

d'où, en désignant par 9 ime fonction arbitraire,

Les fonctions t|^ et 9 ne sont pas toutes deux arbitraires et dépendent,

comme on va le voir. Tune de l'autre, à cause que x et y doivent

être les dérivées partielles d'one même fonction de p et q.

On a

du = xdp -^ jdqy

et, à cause de l'équation (12) ,

dp = ^\dq^ '''^^±:lr^' d\,

i66 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

d'où

et, en mettant à la place de jc et / leurs valeurs tirées des équations (i 3) et(i4),

^« = [y (X) - XHX)] ^ 4- ^ - ^^t^^S* ,|, (X) rfx

= ^, - -^^i^ rfX - {î+ (X) rfX -h [X|(X) - ç (X)l rf? }.

Les deux premiers termes de cette valeur de du sont des différentielles exactes , et pour que le troisième le soit, il faut et il suffit que l'on ait

Xf{X) = ç'(X'),

f et ^' désignant les dérivées respectives de 9 et i];; si donc F (X) désigne une fonction arbitraire, on pourra poser

,|;(X) = F(X), 9(X) = XF'{X)-F(X),

et Ton aura

et , en intégrant ,

w = — 9F (X) -h a arc tang X — f ^ ^ ^ d\.

Enfin , on déterminera z par l'équation

et, en résumé, on aura les valeurs suivantes de or, j, z:

{i5){r = , f''^. + XF(X) - F(X),

= ^ ; ■ — a arc tang X -4- y— i — X* F' (X) -h / — -^ - >

Ces équations (i5), qui renferment une fonction arbitraire F(X), constituent une solution de l'équation aux différentielles partielles proposée. Elles appartiennent à une surface réglée imaginaire , car on obtient, par l'élimination de 9, les deux suivantes :

I z = arv — I — X* — aarctangX -4- / -===:li

qui sont celles d'une ligne droite.

On peut débarrasser les formules (i5) ou (16) du signe d'intégration. Si l'on pose

F (X). = (1 + X«) yTT^^'f (X) - a v/=T3T»,

y'(X) désignant la dérivée d'une fonction arbitraire /(X) , les équations (16) deviennent

Si l'on change ar et 7- en Jc y—i et ^ y--! , les équations (17) deviennent

U = Xx4-av/i + X* -(n-X^)VW.

z = - X vV4-X^ - aX H- X (i 4- X^)/' (X) --/(X),

et les équations (18) constituent une solution réelle de l'équation aux dérivées partielles suivante:

La surface imaginaire représentée par le système des équations (i5} ou (16) ou (17) jouit donc de la propriété que le produit de ses deux rayons de courbure principaux est constant en chaque point : mais , ce qui me parait très-remarquable, c'est que ces deux rayons de courbure soient eux-mêmes constants en chaque point et égaux entre eux; autrement notre surface a, comme la sphère, la propriété que tous ses points sont des ombilics.