V ■XV

a» A cotang 61 coséc wrfw

I — TZm ^^**"6 ** 1/ * "^ ^~â — cotang* co

^ == = constante.

I — ^^__ cotang* w' i/ I 4- i--T — cotang» «'

Cette relation peut être regardée comme une généralisation du théorème I ci-dessus.

On a aussi le théorème suivant :

Si l'on tire des deux points P, Q pris sur la même ligne de courbure deux paires de tangentes géodésiques PT, PT', QR , QR', à une autre ligne de courbure de la même espèce TT'RR' (T, T', R, R' sont les points de contact), et que l'intersection des lignes PT et QR' décrive une ligne de courbure de même espèce que la première , l'intersection des lignes PT' et QR décrira aussi une autre ligne de même espèce.

I a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

SUR UN THÉORÈME RELATIF AUX NOMBRES ENTIERS; Par m. J.-A. SERRET.

En cherchant une démonstration élémentaire de ce théorème connu : Tout nombre premier £^k -h i est la somme de deux carrés, je suis parvenu aux propositions suivantes qui me semblent dignes d'être signalées.

Théorième I. Si — I est résidu quadratique par rapport à p, en sorte qu'on ait

q^^ — i (mod. p) ,

q étant pris inférieur à p^ et que Von réduise en fraction continue la

fraction -» en s[arrangeant de manière que le nombre des quotients

soit pair, ce qui est toujours possible, puisque^ si ce nombre est impair, on peut diminuer le dernier quotient d'une unité et prendre un quotient de plus égal à i^ les termes également distants des extrêmes dans la suite des quotients seront égaux entre eux.

En effet, si Ton désigne par qo le quotient de ^^ + i par /i, on aura

pqo-'qq=i, d'où il suit que ^ est la fraction convergente qui précède -: par conséquent , en développant —en fraction continue, on trouvera les quotients

de-j sauf le dernier. Mais, d'un autre côté, des relations connues entre les dénominateurs des diverses fractions convergentes on déduit que les quotients de ^y réduite en fraction continue, sont les mêmes

PURES ET APPLIQUÉES. i3

que ceux de -» sauf le premier, mais en ordre inverse; d'où il suit évidemment que, dans la suite des quotients de -> les termes également distants des extrêmes sont égaux.

Corollaire. Tout nombre premier 4A: -h i, ou plus généralement , tout nombre qui dwise une somme de deux carrés, est lui-même la somme de deux carrés.

Si p divise une somme de deux carrés , — i est résidu quadratique par rapport à /i; et en posant

^^^ — I (mod. /?),

avec ç < /i, la suite des quotients dans le développement de - sera , d'après le théorème précédent, disposée comme il suit :

a, ^,..., /x, w, w, fx,..., ]3, a.

Soient — la fraction convergente qui comprend les quotients de la

/Wi 1 / / 1 . .1 . * . 1 . w

première moitié de la suite, — la précédente, il est évident que —

sera la valeur de la fraction continue ayant pour quotients ceux de la seconde moitié de la suite. D'ailleurs, la fraction convergente qui suit

— a pour valeur ^ — ^ > et en y remplaçant tù par — » on aura la

valeur de -» savoir,

/w mn -\- m^fif

n hi.

Donc

p = m^ -h ml a Q. F. D.

Théorème II. Si Von a

9* ^ 1 (mod. p) ,

q étant pris inférieur à p, et que Von réduise en fraction continue la fraction ^» en s'arrangeant de manière que le nombre des quotients soit

impair^ ce qui est toujours possible, les termes également distants des extrêmes dans la suite des quotients seront égaux entre eux.

La déuionstration est identique à celle du théorème L

Legendre a donné dans sa Théorie des nombres une démonstration du corollaire de notre théorème I , qui est fondée sur la considération du développement en fraction continue de la racine carrée d'un nombre entier. Cette démonstration présente quelque analogie avec la nôtre , analogie qui résulte de ce que les quotients d'une période dans le développement de la racine d'un nombre entier sont précisément disposés comme ceux des fractions ordinaires que nous considérons dans les théorèmes I et IL

J'énoncerai , à ce sujet , une dernière proposition dont la démonstration ne présente aucune difficulté.

Si l'on développe en fraction continue la racine carrée d'un nombre entier A, et que a soit la racine du plus grand carré contenu dans A, le dernier quotient de chaque période sera, comme on sait, art; et les autres formeront une suite telle que

composée d'un nombre pair ou impair de termes, et dans laquelle les termes également distants des extrêmes sont égaux. Appelons, pour

abréger, fraction correspondante au nombre A la fraction ordinaire -

qui donnerait lieu aux quotients a, /3,.., j3, a; on peut trouver trèsaisément tous les nombres entiers ayant la même fraction correspondante -> problème qui ne pourra être impossible que si p est un

nombre pair.

Cela posé, on a le théorème suivant :

Théorème III. Lorsqu'une suite symétrique, telle que

ne donne pas lieu à une fraction correspondante, en supprimant le terme du milieu s'il y en a un, ou en en mettant un quelconque s'il n'y eu a pas, on obtiendra une nouvelle suite de quotients donnant lieu à une fraction correspondante.

PURES ET APPLIQUÉES. i5

Note de M. Hbrmite.

Depuis longtemps j'avais trouvé de mon côté la démonstration élémentaire suivante du théorème relatif aux nombres premiers kk -h I.

Supposant

a* -h I =^o (mod. />),

convertissons - en fraction continue jusqu'à ce qu'on obtienne deux

réduites consécutives — > —75 telles que n soit < \p et «' > sip\ on aura , comme on sait ,

p n nn'

où £ est < I . De là on tire

P na — mp = £ • ~:

donc

(jia — mp)' < p.

Ajoutant membre à membre avec

il vient

(/la — mp)^ -h n^ < '^p.

Or le premier membre de cette inégalité est un multiple entier de p d après la condition

a* -h 1^0 (mod. p) ;

il faut donc qu'on ait précisément

[na — mpY -h n^ = p.

i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

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