JOURNAL DE MA IHÉMATIQUES

Eu effet, en différentiant par rapport à a: et^ l'équation

p-h\q= V-i-X», et ayant égard aux équations (i5) et (i6), on a

d'où

d'ailleurs l'équation entre p^ q ell peut se mettre sous la forme

(ao) (i H- q^) X* -H i^pql -H (i 4- p^) = o.

Éliminant X entre les équations (19) et (20), on trouve

[(i -4- 9*) r - ^pqs 4- (1+ />») «f - 4 (ï -+- />* -t- ?') {rt ^s^) = o, ou, en désignant par R et R' les deux rayons de courbure ^

11 est assez curieux que cette surface imaginaire , qu'on pourrait considérer comme connue, puisque Monge a donné l'intégrale complète de l'équation

se soit présentée comme une véritable solution singulière de l'équation

RR' = constante.

Sur le mouvement d'un point matériel attiré en raison iiwerse du carré des distances par deux centres mobiles;

Par m. A.-H. DESBOYES.

(Thèse de Mécanique présentée à la Faculté des Sciences de Paris, le 3 avril 1848. ]

Le problème de la détermination du mouvement d'un point matériel attiré en raison inverse du carré des distances par deux centres fixes s'est naturellement présenté aux géomètres successeurs de Newton. Euler et Lagrange ont montré, par des méthodes différentes, comment ce problème pouvait se ramener aux quadratures; mais leurs méthodes, remarquables par d'ingénieux artifices de calcul, n'avaient pas un caractère de généralité assez grand pour leur faire découvrir une classe étendue de problèmes susceptibles d^étre ramenés aux quadratures, comme le problème particulier qu'ils avaient résolu. (Vest dans ces derniers temps que M. Liouville, prenant son point de départ dans les travaux de Lagrange et de M. Jacobi, a montré par deux méthodes dilïérentes, que toutes les fois que le principe des forces vives a lieu dans le mouvement d\m point matériel, et que la fonction des forces a une certaine forme générale qu'il fait connaître, le problème est ramené aux quadratures. Ainsi , à la simple inspection (le la fonction des forces exprimée dans un système de coordonnées que donne la méthode elle-même, on voit immédiatement qu'il est possible de résoudre le problème des centres fixes. Mais, ce qui est surtout remarquable, on voit de la même manière, et avec la même facilité , qu'on peut ramener aux quadratures \xn problème nouveau d'un sens mécanique suffisamment clair, dont M. Liouville a le pre-