Tome XI II. - Novembre

Syo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

niier donné l'énoncé, ainsi qu'il suit: Trouver le mouvement d'un point matériel attiré suivant la loi de l'inverse du carré des distances par deux centres mobiles sur une circonférence de cercle et toujours placés aux extrémités d'un même diamètre. On suppose d'ailleurs que le mouvement des deux centres d'action soit tel , que le point attiré se trouve toujours dans le plan déterminé par l'axe du cercle et le diamètre mobile. On peut aussi, sans rendre plus difficile la solution du problème, compliquer un peu l'énoncé en ajoutant une troisième force proportionnelle à la distance, émanant du centre même du cercle. L'analogie est alors tout à fait complète entre l'énoncé du nouveau problème et l'énoncé du problème des centres fixes, tel que Lagrange l'a résolu.

Je me propose, dans cette Thèse , de développer la solution du problème des centres mobiles, en faisant principalement usage de la méthode fondée sur la connaissance d'une solution complète d'une certaine équation aux différences partielles, du premier ordre et non linéaire. M. Liouville a fait connaître une solution complète de cette équation dans un cas très-général, puis il en a déduit, comme cas particulier, une formule beaucoup plus simple qui lui a donné immédiatement l'énoncé et la solution de son nouveau problème [*]. J'ai pensé qu'il ne serait pas sans intérêt d'arriver directement à la formule simple qui suffit à la résolution du problème des centres mobiles.

Il m'a aussi paru curieux de chercher si les anciennes méthodes d'Euler et de Lagrange pour la solution du problème des deux centres fixes, pouvaient, avec quelques modifications, s'appliquer au problème des centres mobiles qui paraît plus compliqué. J'ai trouvé et je ferai voir ici que les deux méthodes s'appliquent de la manière la plus heureuse au problème de M. Liouville.

M. Jacobi a démontré que toutes les fois que le principe des forces vives avait lieu, le problème de l'intégration des équations différentielles ordinaires de la mécanique appliquées au mouvement d'un ou de

[*] Journal de Mathématiques, tome XII, page 44^'

d^x^ rfU

d'x, dV

dv

- dxr

dt^ "" dx^ '

dr "" dx^

plusieurs points libres, ou soumis à des liaisons quelconques , pouvait se ramener à la détermination d'une solution complète d'une équation aux différences partielles du premier ordre. En nous bornant au cas du mouvement d'un seul point libre , si l'équation des forces vives est

nous savons, d'après le théorème de M. Jacobi , que pour intégrer les trois équations du mouvement,

il suffit de trouver une fonction © de a:, , a:, , x^ contenant trois constantes arbitraires différentes de celle qu'on peut toujours introduire dans par simple addition, et satisfaisant identiquement à l'équation aux différences partielles ,

Cette fonction étant connue, et A, B, C étant les constantes de la fonction^ les intégrales cherchées du mouvement seront

^^^ rfl-^' ■^-^' TC^^'

A', B', C étant de nouvelles constantes arbitraires qui, avec A, B, C, complètent le nombre de constantes arbitraires que doit donner l'intégration des équations proposées. Toute la difficulté du problème est donc ramenée à déterminer une solution complète de l'équation (a).

Il est un cas où cette solution complète se détermine directement et pour ainsi dire à la simple inspection de l'équation (a) ; c'est celui où U est la somme de trois quantités Q^, Q^, Q, respectivement fonctions de J?|, x^y ^3.

En effet, pour satisfaire à la double condition que l'équation (a) soit vérifiée identiquement, quelle que soit la constante C, et que la fonction contienne les trois constantes arbitraires, il suffira évidem-