JOURNAL DE MA.TIIÉMATIQUES
ment de poser
( (S)" "^ ^^' "^^^' + aCT, + aQ, := sr(x,), W) ! (S)' = '^^^ -^ ^' + aCT, + aQ, = + (j:,)»
BS,+ aCT3 + 2Q, = x(x,);
R,, Rj, R„ etc., étant des fonctions d'une seule variable x^, x^ ou .rj , liées entre elles par les équations
(5) R, 4- Ra 4- R, = o, S, 4- Sa H- S, = o, T, 4- Ta 4- T, = I , on aura alors
(6) e =/x/î^X^) dx, 4-/v^ (.Ta) r/Xa 4-/s/x {^3) ^^^a-
Le cas très-simple que nous venons de considérer n'a certainement rien de bien intéressant en lui-même, puisque dans le cas où la fonction des forces satisfait à la condition que nous avons indiquée, les variables sont séparées dans chacune des équations du mouvement, et que chacune d'elles peut s'intégrer séparément. Mais concevons maintenant que les variables x^^ x^^ x^ soient remplacées par d'autres variables pi, pa» Ps? telles qu'après la substitution, l'équation aux différences partielles ait une forme analogue à celle qu'elle avait d'abord , c'est-à-dire en désignant par X, X', X" certaines fonctions des notivelles variables; supposons qu'on ait
Si Pm P2> Ps formaient un nouveau système quelconque de coordonnées, l'équation (7) contiendrait les doubles produits -r- ^^5, etc. Mais
«Pi «ipj
nous supposerons que les nouvelles variables soient choisies de manière que, dans l'équation (7), les coefficients de ces doubles produits soient nuls.
Il est évident qu'on peut prendre maintenant pour U la fonction
PURES ET APPLIQUEES. 3?
beaucoup plus compliquée que tout à l'heure,
et remplacer les équations (4) , (5) et (6) par les suivantes , dans lesquelles, ainsi que dans la précédente, les signes de fonction se rapportent aux nouvelles variables
(^)'= AR, + BS, + îCr, + aQ, = z^{p,),
(9) j(g)*=AR.-f-BS,+ aCT, + aQ,= +(p,),
(^)'=AR.+ BS.+ «CT,+ aQ, = xO'»).
, V R, Rj R3 ^ Si Sj S3 T| Tj T3
(i i) e =f^zj[p,)dp, '^fyj^[p,)dp^ '^f^Xipz)dpz'
Nous avons maintenant deux espèces de conditions à remplir : i^ choisir les nouvelles variables, de manière que, dans l'équation (7),
il manque les doubles produits de la forme ^r- 3-; a<* déterminer des
fonctions R,, S,, etc., satisfaisant aux équations (10). Voyons d'abord comment la première condition sera remplie.
Si Ton remplace, dans Téquation (2), ^, ^, -? par leurs valeurs
. de dpi d& dpi de d^y de dp, de dp,
respectives t" zh -+- t^ zr ^zr TZ"^ 7r3^-^'"î t- 4^ -ï ^ et
*^ dpi dxt dpi dxi dps dx^ dp, dx^ ' dp, dx^ ''
qu'on égale à zéro les coefficients des doubles produits de la forme --- -7- 9 on tombe sur les équations :
dp, dpi *
dxi dxx dXt dx, dx^ dx^ '
^ / \ dx, dx, dx^ dXi dxy e/x, *
dx, dx, dx2 dxi dxg dx^
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Or, si l'on considère les équations
J\ \^\j ^29 ^3) = Po ^ = («^i» ^21 ^s) = P25 /a ("^n '^a j ^s) = P99
qui lient les nouvelles variables aux anciennes, comme étant les équations de surfaces variables dans lesquelles :r|, x^j x^ sont les coordonnées d'un point delà surface, p^j p^y p^ des paramètres variables, les équations (12) montrent que les surfaces variables doivent tou<» jours former un système de surfaces orthogonales.
La substitution que nous venons d'indiquer montre en même temps que Ton a
^pî^^f>; ^^p. ^^p^^-'pî^^ ^^pî^^pî^^î
dx\~^dx\"dx\ dx\^dx\^dx\ dx]"^ dx\'^dx\
Nous pouvons, d'un autre côté, remarquer que si l'on exprime
dans le nouveau système de coordonnées satisfaisant à la condition que nous venons d'énoncer, l'expression de ds^ sera de la forme Pi dp^ -h p% dp\ 4- p% dp\^ et les quantités X, X', 1" pourront être prises respectivement égales èi pt, p^^ Pz'
En efifet, si Ton remplace, dans l'expression de ds^^ dx^, dœ^^ dx^ par les différentielles totales relatives à pi, Pa» p$j dont JC|, a:,, x^ peuvent être considérées comme des fonctions , on aura
, ,, dx\ dx\ dx\ dx\ , dx\ , dx\ dx\ ^ dx\ ^ dx\
V ^^ r* dp\ dp\ dp\ ^^ dp\ dp\ dp\ ^^ dp\ dpi dpi
et, pour que les doubles produits des différentielles r/p,, dp^^ dp^ manquent dans l'expression de ds^j on devra avoir
dxi dxi dX'i dXi dXi dx^ dpi dpj dpx dpi dpi dpi
dXi dxy dXi dXi dx^ dx^
dp, dp^ dpx dpi dpx dp^
dxx rfx, dxi r/x, dxj, dx^ dp^ dp^ dp^ dp^ dp^ dp,
PURES ET APPLIQUÉES. SyS
Mais comme on peut le déduire immédiatement des équations (6) du Mémoire de M. Lamé sur les coordonnées curvilignes [*], les équations (lîi) et (i5) sont une conséquence Tune de l'autre, et les seconds membres des équations (i3) et (i4) sont égaux : le théorème est donc démontré.
La réciproque étant également vraie, on voit que la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les nouvelles variables pour que l'équation (7) ait lieu, c'est que ds^ dans le nouveau système de coordonnées ait la forme indiquée plus haut.
Il reste maintenant à déterminer les fonctions R|, S4 , etc., satisfaisant aux équations (10).
Un cas très-simple où ces fonctions se déterminent immédiatement avec la plus grande facilité, c'est celui où X = X' = X*; en efifet, les équations de condition sont alors
Ri -+- Ra -+- R, = o, S, H- Sj -h S, = o, T, 4- Ta H- T, = X.
On pourra satisfaire à ces équations très-simplement, en prenant, par exemple,
Ri = S< = I , Rj = S, = — I , R, = Ss = T3 = o ,
d'où résultera
La valeur de 6 prend alors une forme très-simple , qu'il ne paraît pas utile de rapporter ici. Remarquons seulement que si l'on se bornait au cas de deux variables, c'est-à-dire si X* = o, on trouverait que le système des coordonnées elliptiques ordinaires dans un plan satisfait aux deux conditions X = X', X = T| + Tj , et même il y a plus , que ce système, comme Ta fait voir M. Liouville [**], est le seul pour lequel les deux conditions précédentes soient remplies. En formant l'expression de U correspondante à ce cas, on en déduira, en particulier, la solution du problème des deux centres fixes, lorsque la courbe est plane.
[*] Journal de Mathématiques^ tome V, page 820. [**] Journal de Mathématiques, tome Xïl , page 36o.
Il existe un autre cas où il est très-facile de trouver des valeurs de Rf9 B29 Rs? etc. y satisfaisant aux équations (10): c'est lorsqu'on a X = X', X" étant différent de X et X'.
En effet, si l'on met les équations (10) sous la forme
R, + R,-f-R,p = o, S, 4-S,4-Sa^; = o, T, + T, + T,p=X, on voit que l'on pourra prendre
R3=ï, S< = ï, Sa = — I, S3 = O, T3=:0,
et l'on aura alors
Je vais faire voir tout à l'heure que le cas qui nous occupe en ce moment conduit à la solution du problème des centres mobiles : il est donc essentiel de développer tous les calculs qui s'y rapportent. Il y aurait ici à résoudre une question analytique analogue à celle dont nous parlions tout à l'heure. Cette question serait de déterminer les systèmes de coordonnées pour lesquels les conditions
sont remplies; mais elle paraît présenter d'assez grandes difficultés analytiques, et d'ailleurs sa solution ne nous est pas indispensable. En effet, si nous adoptons le système de coordonnées qui se présente le plus naturellement à l'esprit quand on veut résoudre le problème des centres mobiles , c'est-à-dire le système de coordonnées composé de l'angle ç que fait le plan méridien mobile avec un plan fixe passant par l'axe de rotation, et des coordonnées elliptiques p et fJL rapportées dans le plan mobile aux deux centres mobiles d'attraction, nous trouverons sans difficulté, pour valeur de ds^j
On voit que les coefficients de r/p^^ diJ?^ do^. aux facteurs près p^ — t^,
c* — /x', satisfont aux conditions exigées; mais ces facteurs, comme nous allons le voir, n'empêchent pas d'appliquer cette méthode. En effet , si Ton pose
d'où l'on déduit
p* = V{(t), /x«=X(S), l'expression de ds^ devient
rf^» == [H^ (a) - X (g)] €/a« -h [ V (a) -- X (g)] rfê» + ;Î^^^^
et l'on voit que, dans le nouveau système de .coordonnées a, Sf 9* les coefficients de i/a*, dé*, dy^ satisfont bien aux conditions voulue». Maintenant, pour calculer l'expression de 6, il suffira de remplacer dans les équations (9) les variables p*} ptj Pz on leurs équivalentes p, lif f par a 9 S, 9, de sorte que Rm S|, etc., représentent des fonctions d'une seule variable a, S ou 9; mais si l'on veut que R|, S|, etc., restent des fonctions de /9, /x, 9 dans l'expression de 6, on pourra supposer que l'on remette dans ces fonctions, pour a, S, leurs valeurs en /9 et fji : ce qui revient évidemment à supposer que, dans les équations (9) , (10) et (i i) , B|, S|, etc., restent des fonctions de /9, fx et 9. Si maintenant on remplace dans les équations (9) , modifiées comme il
vient d'être dit, ^» — par leurs valeurs j- \//9* — c*, -j-slc^ — fx', on trouvera
Quant à la valeur de U , si l'on représente les fonctions Q, , Qj , Q,
on expression sera
par^^j -^ et II (9), son expression sera
Mettons maintenant dans cr(p), ({; (jx) et x(9), pour S|, S,, S,, R, et T3 les valeurs données plus haut; pour T|, T,, R4, R, leurs
