Tome XIH. - Notmbrv
valeurs respectives p*, — H-*» t' "" î» déduites des équations
A — A— p-^ft, - — — — -,
et enfin, pour Qi, Q,, Q, les valeurs indiquées tout à l'heure , nous trouverons sans difficulté
-^ s d^ VA — a n (9).
Cette formule, à un changement insignifiant près, et qu'il eût d'ailleurs été facile dléviter si cela eût présenté quelque avantage , est précisément celle que M. Liouville a obtenue par une voie indirecte , dans le tome XII du présent Recueil. Appliquons la formule au problème des centres mobiles.
En désignant par r, r% R les distances du point attiré aux deux centres mobiles et au centre fixe, on aura, par un calcul Êicile,
mais on a
r=/)-f-jx, r' = p-f-fx, et, en désignant par ar la distance des deux centres mobiles.
Donc l'expression de U devient
U = -^- H- -^ 4- Ar(p^ -4- a» ~ c*),
et, par conséquent, on peut supposer, dans l'expression de 6 donnée tout à l'heure,
n (ç) = 0, F (fi) = - ^^ (gii ^g'ix^kii'-^ kc^ li?) ,
/(p) = 9^ igp -+- g'P -^ kp* - kc^p^).
[*] Le calcul de U se trouve fait plus loin dans Texposîtion de la méthqjde d'Euler.
PURES ET APPUQUÉES. 879
Faisant ces substitutions, puis formant, suivant la règle de M. Jacobi , les équations intégrales
on trouve sans difficulté , en posant
V =(p»- c*)[2kp* - {tkc* - C) p* + a(g -t- g') |s» - Bp» ■+■ Ac'], Q = {fi»- c») [ikix* - (a kc' - C) if.* + 2 (g - g') /ul' - Bfx* 4- Ac»] ,
les trois équations suivantes :
pdf ftrfft p'dp f'^dfi I c'dp c'c/p. tùf
Gomme on le voit, les variables sont séparées , et le problème est ramené aux quadratures. Nous ne ferons pas, pour le moment, d'autres remarques, nous réservant de reprendre la discussion du problème après que nous aurons fait voir, comme nous l'avons annoncé en commençant, que les méthodes d'Euler et de Lagrange, pour la solution du problème des centres fixes, peuvent aussi s'appliquer au problème des centres mobiles.
Méthode d'Euler. — Pour appliquer cette méthode au problème des centres mobiles, je prendrai pour guide le travail de Legend re, qui a simplifié l'exposition d'Euler [*] ; j'adopterai aussi autant que possible toutes les notations du Traité des Fonctions elliptiques.
Soient ox' l'axe de rotation, ^'02' le plan' des centres mobiles, F et G ces deux centres, O le centre fixe , x, jr\ z' les coordonnées du point attiré M par rapport aux trois axesox', oj'y oz' \ ar, ^ les coordonnées du même point rapportées dans le plan méridien à l'axe du cercle et au diamètre mobile; (c, ô) (— c, — 6) les coordonnées des deux centres mobiles. Posons aussi
MF = J, MG = r, FG = 2A, MFO = a), i8o^~MGO = (p;
[*] Traité des Fonctions elliptiques, tome I, page 5 18.
38o JOURNAI. DE MATHÉMATIQUES
les équations du mouvement seront
En y joignant
desfleux dernières équations, on déduit hdh + crfc = o ,
y'dh -h z'efc = ^ (Arfô H- crfcr) = o,
et, par suite ,
rdr = (^' — i) rf;^' -h {^' — c) r/z' -4- xdx^ sck = {y -h b) dy -h {z' -h c) dz' -^ xdx y
comme si les centres d'action étaient fixes.
On aura donc, à la manière ordinaire, l'équation des forces vives
dO ~" r "^ # "^ 2A'
De la seconde et de la troisième des équations (i) on déduit facilement
j'dz'-z'dy=ndt.,
les termes - {cjr' — bz'), j^ (cf — bz') étant nuls , en vertu d« l'équation
En désignant par f « l'angle du plan méridien avec Je plan des x'^ y'^
[*J Noas supposons ^ = o, l'hypothèse de h différent de séro ne donnant lieu à aucune difficulté.
on peut aussi, comme an sait, mettre Téquatioii précédente sous la forme
Nous allons maintenant déduire la troisième intégrale de la considération des aires élémentaires da, de engendrées pendant le mouvement, dans le plan méridien par les rayons vecteurs r et s. On aura
d*(x={jr — h) d^x — xd^jTj rf>S = (j H- A) d^x - xd^y.
D'un autre côté , les valeurs y'^=y cos Çi , z' == j sin ç, donnent d^X' cos 9i -f- d^z' sin 9, = d^jr — 7* ^Ép},
et, en subtituant dans cette équation les valeurs de d^y' et d^z' données par les équations du mouvement, ainsi que la valeur de d(f^ déduite de Téquation
y^d(f,=^dt, on aura
rf^r H» A(r-A) B(jr-4-A)
Mettant maintenant dans les expressions de -^> -^j pour -jr» ^' leurs expressions maintenant connues , on aura
de ces deux dernières équations on déduit, par un calcul très-simple, — x= — nAhsmfdf-hik BA sin (ù aa>
aoa sin f sin' ft» ^iip + sin^siD^f «/»
ftin» (^ -4- 61)
Cette équation ne diffère de celle qui a été trouvée par Euler dans le cas des centres fixes, que par le dernier terme. Or il arrive que ce dernier terme est une différentielle exacte de deux variables, comme le terme correspondant du problème de» centres fixes.
38îi JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
En intégrant Téquation précédemment écrite, on aura
-;^ = a A/.C089 ~ aBAcosw - 4H» -;|^-p;r)
c'est la troisième intégrale cherchée. On voit facilement qu'on eût trouvé la même équation, au facteur prèa de ■ . ■ ,, ^. » si on avait supposé k dififérent de zéro.
Il faut maintenant procéder à la séparation des variables. Les calculs, à partir de ce moment, sont tout à fait les mêmes que pour le problème des centres fixes. Employons tout de suite, avec Legendre, le changement de variables qui doit conduire à la séparation cherchée , c'est-à-dire posons
tang^w=:/?<7, tang^?=^.,
d'où Ton déduira
2pq t^ — q^ . 2.pq i — p^ q^
Sine? = , V, > cosy =z ^ ^ , sin«= — . ■ , : > cosg.) = — . ^, .. »
r rr=
aA aA aA aAy
I — /?' I -h y' ^ — P^ i-hq-
On aura ensuite facilement, en fonction de p et 9, les valeurs de (Ijc^ -\- ify* ^ dr^ -h r^ df^ et de r^s^dtfdtù^ et Ton sera conduit à l'équation
en posant
N = — f- - cosçj COS w — 7- -^-Tf — 7—^^
^^ ^ ikh 2BA H»A
Les polynômes M et N étant exprimés en p et g, on aura l'équation
PURES ET APPLIQUÉES. 3-i3
dans laquelle
P*= M/i» - N (i - /?»)% Q = My» -h N (I -h q^y.
I^ résultat cherché ne devant dîffirer de celui qti'on obtient dans le problème des centres fixes que par les termes contenant H* en facteur, calculons ces termes; nous aurons
y' "" A (H- p^y (i — qY ^ «»' (f + ») *^ *(/'' + 0' (ï — 9')' *
Pour avoir le terme qui multiplie H* dans P, on multipliera les valeurs
que nous venons de trouver pour — et v -r-p y respectivement
par p* et (i — /?*)»; et, en retranchant la seconde de la première, on aura
on trouverait de même 1 ' ^^ ^t pour le multiplicateur de H* dans Q. L'équation aux irariablea séparées devient ainti
dp
cç' + l(A-B)(n-t)^Lc'(n + ,'y-^iL±JXf
Si Ton veut donner à Téquation précédente la forme qu'elle prend
lorsqu'on choisit pour variables p = , [x = ?, on trouve
en posant CA -+■ aC'A-hH*=: D,
\/p> — A» v/Cp* -h 2 (A -f- B) Ap» — DAp» 4- H'X»
V^f*»-^ A» V^Cf**— 2(A — B)A|A^— DApi»+ H' Â^'
ce qui est la formule de la première méthode, dans laquelle on aurait fait A- = o.
On trouverait ensuite dt et dcp^ sans difficulté.
Méthode de Lagrange \*\ — Prenons pour origine le point autour duquel la rotation a lieu , et» pour axe des z, Taxe de rotation. Soient {a^ b)j {— a^ — À) les coordonnées des deux centres mobiles qui sont dans le plan des or, jr leur distance; i^, p les distances du point attiré aux deux centres. Les équations du mouvement seront
^î:?-* — 3 ^ ^ * = o, ') SlF^ — 7^ — "^ — ? — -°'
rfVs A* B« auxquelles il Ëiut joindre les équations
De ces équations on déduit, comme nous l'avons vu pour la méthode d*Euler, l'équation des forces vives
, . dx'-^dr^-^di' 2A 2B , ,^
^ de^ u v ^
Multipliant les équations (i) respectivement par x — a, jr — bj Zj et ajoutant, il viendra
(x — a) d^x -^(y^b) d^x -^zd'z A j. U'^^'—/'
On trouve aussi sans difficulté, en différentiant deux fois Téquation,
M* ={pc-ay-h[j- bf -h z%
et divisant par £ft*,
d^u} dx' -\- dr^ -^ dz' , .d^x , ..d^y
^^^ * d^z dadx-\-dhdy
[* ] Anciens Mémoires de V Académie de Turin, tome V.
Ajoutons maintenant membre à membre les équations (a), (3), (4)^, il viendra
On trouverait d'une manière semblable
On voit que la mobilité des centres introduit dans les équations (5) et (6) 9 auxquelles Lagrange ramène principalement le problème des
centres fixes, une seule quantité nouvelle — — — — ^. Or je dis que
cette quantité peut s'exprimer par une fonction très-simple de u et de i'.
En effet y on a d'abord
• dadx + dbclj= '^'^^'^-'^^\ comme on le voit en se servant des équations *
jz=z ^Xj ada 4- bdb = o*
D'un autre côté, en différentiant l'équation
on trouve facilement
S désignant la distance de l'origine à la projection du point attiré sur le plan des ar, j. Donc
dadx + dbdf = I <^^ ; "^^^' = { ^^'^ - "^-^^ ■
Mais en multipliant la première des équations (i) par^, la deuxième par Xj et retranchant, on a
yd^x xd^r ^.
TomeXUI.^DtfciiiBRii848. 49 *
intégrant
substituant la valeur àQjdx^xdjTj dans Texpression de dadx— dbdj^
d adx 4- dbdf /H^ 4/* H»
df' ~ 2 ^ "~ {v^-^u^Y'
ç étant facilement trouvé égal à — ^• Les équations (5) et (6) deviennent donc
En faisant H = o, on a les équations de Lagrange pour le problème des centres fixes.
La question de déterminer les deux équations finies entre Uj v et t est ramenée à l'intégration des équations (7) et (8). Nous connaissons déjà une intégrale du premier ordre de ces deux equations : c'est Téquation des forces vives dans laquelle il serait très-facile de tout ramener aux variables u et (^. Mais il sera plus élégant de chercher, avec Lagrange, les intégrales des équations (7) et (8), en déduisant de ces équations, par des combinaisons diverses, d'autres équations telles, que les premiers membres soient des différentielles exactes, et telles aussi que, dans les seconds membres, les multiplicateurs de A, B, etc., soient des différentielles exactes de deux variables. Or,* comme il arrive que les multiplicateurs de H^, dans les équations dont nous venons de parler, sont des différentielles exactes de deux variables, la marche de Lagrange peut être appliquée sans aucune modification ; et même il' n'y a de calcul nouveau que celui des intégrations des fonctions différentielles de deux variables qui multiplient H^ dans les diverses équations intégrables.
Nous représenterons, pour abréger, dans les calculs qui vont suivre, par P, Q, R, etc., l'ensemble des termes indépendants de H*,
PURES ET appliquées: 387
et qui sont les mêmes lorsque les centres sont fixes ou lorsqu'ils sont mobiles.
Multiplions les équations (7) et (8) respectivement par d.v^ et d.u^, ajoutons membre à membre, puis intégrons; il viendra
Multiplions maintenant les équations (7) et (8) respectivement par ^si^d.u^ et aM*rf. i'*, l'équation (9) par d.u^ -f- rf.p'; retranchons de la somme des deux premières ainsi formées la troisième, puis intégrons les deux membres de l'équation résultant de cette combinaison ^ nous aurons
\^^) ^dt' — V^-^-V ^ (a» — V»)»
Si l'on ajoute à c^tte équation ou qu'on en retranche l'équation (9) multipliée par nus^, on obtient
R et S étant respectivement des fonctions de ei + (^ et £/ — (^. En posant u -h V =z p^ {u —- v) = q y les deux équations précédentes deviennent
d'où l'on déduit
(tO
dp dg
■'- c-^-yp
ou bien
Enfin, on aura Tangle f du plan méridien avec le plan fixe des xr par l'équation
dt """' qui résulte, comme on sait, de l'équation démontrée
jrdx — xdjr z= Udt.
On aura
di (tf» — „a)» ^»çî
mettant dans cette équation , pour dt , la valeur tirée de l'équation (12), on aura
(i3) rf, = - * '^ -
4,ya^.91 4,-vA^
En remettant dans les équations (11), (la) et (i3), pour R et S, leurs valeurs
R = Cp* -+- (A H- B) p* -h Dp^ - (A ^- B)y V -^ E ,
S = Cç* -h (A ~ B)9» ^ Dç» - (A - B)J^q -h E,
et observant qu'eu vertu d'une relation facile à trouver entre les trois constantes arbitraires C, D, £ et les quantités connues, les polynômes Rp* -H y* H*, Sq^-hf^B^ sont respectivement divisibles par p^ ^f^ et 9* — y^*, on retombe précisément sur les formules trouvées par les autres méthodes.
Discussion. — Nous avons trouvé précédemment , en posant
P = (p» - c») [ikp* - (aAc» - Q ^* 4- (g + g') />• - Bp» -H kc% Q = (jm» - c») [a*/!* - (aArc» - C) fi* + (g - g*) fi» - Bjti» + Ac»|,
les trois équations suivantes :
, , fdf (id(i p'</p f'^/p j^ *'''(» c^df. rff
dans lesquelles les variables sont séparées. Comme on le voit, les valeurs des inconnues dépendront , en général , des fonctions abéliennes, même quand il n'y aurait aucune force appliquée au centre fixe, ef que Tune des forces appliquées aux centres mobiles serait nulle. Si l'on excepte le cas où chacune des équations P = o, Q = o aurait des racines égales, les intégrales des équations (i) ne pourront pas se réduire aux fonctions elliptiques.
Pour déterminer les constantes d'intégration A, B, C, il suffira de diviser par dt les deux membres de chacune des équations (i) , et de
remplacer dans ces équations P^ l^f 9^ ^^ -y-^ ^ par leurs valeurs
initiales supposées connues. On aura ainsi trois équations qui ne contiendront pas d'autres inconnues que A, B, C. On pourrait aussi, en se donnant la vitesse initiale, déterminer la constante C par l'équation des forces vives, et les deux autres A et B par deux des équations (i), ou deux équations résultant de leur combinaison.
A part le cas des racines égales dont nous avons parlé tout à l'heure, pour que les quadratures des équations (i) dépendent des fonctions elliptiques, il est nécessaire et suffisant que les puissances impaires de p et II disparaissent sous les radicaux, et que l'on ait
g-hg'=o, gr-g'=o,
c'est-à-dire que les deux centres mobiles ne soient pas des centres d'action. Le problème que l'on résout alors n'est plus, à proprement parler, le problème des centres mobiles. Nous nous arrêterons cepen-
daiit un moment sur sa solution , parce qu'elle nous fournira la démonstration d'un théorème fondamental d'analyse.
En effet, g et g' étant égaux à zéro, le point matériel n'est plus soumis qu'à une seule force proportionnelle à la distance émanant d'un centre fixe, et la courbe décrite par le point mobile est, d'après un théorème connu , une section conique dont le centre se confond avec le centre d'action. La courbe décrite dans le plan mobile sera , en général, différente d'une section conique, et il sera facile d'en trouver l'équation en résolvant ce problème très-simple de géométrie analytique : Trouver le lieu des points qui sont les tiaces successives laissées par une section conique fixe sur un plan mobile autour d'un axe passant par le centre de la section, et situé hors de son plan. L'équation de'la courbe étant obtenue en coordonnées polaires, par "exemple, on pourra toujours, par une transformation de coordonnées, l'obtenir en coordonnées p et ft. Mais, d'un autre côté, la première des équations (i), si Ton y fait
g = o, §"=0, p" = X, fx^ = v, peut être mise sous la forme
d\ dy
)/V -h DV -f- E>' H- FX H- G v/v*-f-Dv»-f-Ev«-f-Fv-+-G •
donc cette dernière équation est susceptible d^une intégrale algébrique.
On est ainsi conduit à la démonstration générale du théorème d'Euler, sans qu'il soit besoin de connaître aucune des transformations que l'on peut faire subir aux polynômes du quatrième degré contenus sous les radicaux.
Dans le cas où l'on a /t = o, le point matériel se meut en ligne droite , et la courbe dans le plan mobile est une hyperbole , puisqu'elle peut être considérée comme l'intersection d'un hyperboloïde de révolution par un plan qui passe par l'axe de révolution. Cette remarque conduirait encore au théorème d'Euler.
Ce n'est pas seulement dans le cas très-particulier que nous venons de considérer que la courbe dans le plan mobile peut être une section conique. On démontre , de la même manière que pour le pro-
bième des centres fixes, qu'en supposant les trois centres agissant k la fois suivant la loi indiquée , la courbe dans le plan mobile peut être une ellipse p z= p^^ ou une hyperbole jui = |Xo ; po satisfaisant aux équations
et /Xo aux équations*
L'ellipse et l'hyperbole sont ainsi données chacune par une solution singulière de la première des équations (i); je ne crois pas utile de donner ici la démonstration qui est tout à fait la même que pour le problème des centres fixes : il nie suffira de renvoyer à un travail récent de M. Serret. Je passe tout de suite à la partie la plus intéressante de la discussion.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que p^, Vo étaient les valeurs initiales quelconques de p et de /x ; supposons maintenant que la valeur initiale de p ou de /x soit égale à c. Nous aurons encore deux solutions singulières sous les conditions précédemment énoncées, c'est-
a-dire pourvu que , pour p = c , on ait -j- = o , et pour jx = c, ^ = o.
Mais si la somme ap des distances du point attiré aux deux centres fixes est précisément égale à la distance 2c de ces centres, le point attiré se trouve évidemment sur la ligne qui joint les centres d'action , et entre les deux. Si a jjl = c , le point attiré se trouve encore sur la ligne des centres, mais en dehors des centres. Ainsi, le cas particulier où le point attiré se trouve sur la ligne même des centres est résolu par deux solutions singulière^ de la première des équations du mouvement. .Voyons ce que deviennent en même temps les deux autres équations du mouvement. Ces deux équations, qui doivent suffire à la détermination complète du mouvement, contiennent trois constantes arbitraires; mais lune d elles peut s'exprimer en fonction des deux autres
par la relation — = o, pour p = c.
En supposant, pour plus de simplicité, /t = o, on a
P = V(p^ ~ c')i^Cp'-h^{8 -h g')p» - Bp' + Ac'];
ig^ JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Ja condition pour que le polynôme P ait deux racines égales à c est évidemment exprimée par l'équation
3tCc^ H- a (g -h- g') c — B -I- A = o , d'où l'on tire
B = A-f- aCcV-h a(g4-g')c.
Avant de faire p = c dans les équations qui donnent d(p et dt, remplaçons-y*^ par ^ -, nous aurons
Faisons maintenant p = cr, et remplaçant la constante B par la valeur que nous venons de trouver, on aura , pour la solution du problème du mouvement du point matériel entre les deux centres mobiles et sûr la ligne qui les joint , les deux équations suivantes :
En posant
VÂ=H et
M ^ aC/x* ^ 2(g - gOfx» - [H^ -4- aCc^ 4- 2 (g -H g') c]fx» 4- R'c\
IL étant évidemment la distance du point attiré à l'origine des coordonnées, l'équation (a) est l'équation de la courbe en coordonnées polaires. Quant aux constantes H et C, elles seront déterminées an moyen des équations
(5) ,x^rf(p = Hrf^
dans lesquelles on aura remplacé V, |x, ^ par leurs valeurs initiales
PURES ET APPLIQUÉES. SgS
données. L'équation (5) se déduit d'ailleurs des équations (a) et (3) par la division membre à membre de ces deux équations.
On arrivera.de la même manière aux équations du problème dans le cas de fx = c , et il est facile de voir que les équations qui conviennent à ce cas peuvent se déduire des équations correspondantes à tj, =z c par le simple changement de g' en — • g'. (Nous supposons tacitement que g' est la force appliquée au centre d'action qui est le plus près du mobile, loi^que celui-ci se trouve en dehors des centres.)
On peut vérifier d'une manière très-simple que les formules précédemment trouvées pour le cas qui nous occupe sont bien celles que nous donnerait la solution directe du problème.
En effet, dans ce cas, le point matériel peut être considéré comme soumis à l'action d'une force unique émanant d'un centre fixe, et dont
l'intensité serait — ^ ±: -^? le signe -+- ou le signe — étant choisi
selon que le mobile est ou n'est pas entre les deux centres d'action. Mais, d'après les formules données en Mécanique pour le mouvement d'un point attiré vers un centre fixe, on peut écrire immédiatement les deux équations
2dt^ c -h n c — yi '
et en faisant le calcul très-simple relatif à la séparation des variables, on retombe précisément sur les équations (2) et (3) , ou sur les équations qui s'en déduisent par le changement de g' en — g'.
Les formules (a) et (3) font, en général, dépendre la solution du problème des fonctions abéliennes; mais, dans le cas de g' = g' $i le mobile se trouve entre les deux centres d'action , et g = — g' si le point attiré se trouve en dehors des centres, la solution ne dépend plus que des fonctions elliptiques.
Nous pouvons, maintenant, donner une idée de la courbe décrite dans les deux cas particuliers que nous venons d'énoncer, et auxquels, à partir de ce moment, nous allons nous borner uniquement.
