Tome \IU. — Décembre 1848. 5o

Les équations du mouvement (a) et (3) peuvent se mettre sous la forme

a' et S^ étant des valeurs de (i^j que l'on obtient en posant M = aC/Ji* - (H*M- aCc» 4- 4g)fx*H- H«c* = o.

(On trouve facilement d'ailleurs que c est compris entre les deux valeurs a et S. )

Les équations précédentes (6) et (7) s'appliqueront au mouvement du point mobile sur la ligne des centres d'action, que ce point soit ou ne soit pas entre les deux centres , pourvu que l'on suppose que la force attractive appliquée au centre le plus proche du mobile devienne répulsive lorsque le mobile se trouve sur le prolongement de la ligne des centres : c'est ce que nous supposerons dans tout ce qui va suivre.

Il y aura trois cas à considérer dans la discussion , suivant que C sera positif, négatif ou nul ; c'est-à-dire en désignant par V© et [Iq les valeurs initiales de V et de fx, suivant que l'on aura

V»>-ilî,, V2<^,, on V» = -iiL.

C» — fx; " c^ — ptj ** c» — pj

L'équation (6) montre que , depuis la valeur [1 = a jusqu'à ij^ = Cy on aura des valeurs réelles pour l'angle 9 ; que , pour fx = a ^ la courbe est perpendiculaire au rayon vecteur; et que, pour fx = c , elle est tangente au rayon vecteur. On aura ainsi une branche de courbe qui commencera à une distance de l'origine fi = a, et qui se terminera au cercle a = c.

Si l'on suppose maintenant que le mobile se trouve sur le prolongement de la ligne des centres sur lequel il a été primitivement placé 9

PURES ET APPLIQUÉES. SgS

on verra sans difficulté que ia courbe décrite par le mobile , extérieure au cercle |x = c , commence par être perpendiculaire au rayon vecteur, à une distance de l'origine fx =:^ j3, et finit par devenir tangente au rayon vecteur lorsque celui-ci est infini.

Ce second cas se discuterait comme le précédent. On trouverait d'abord, dans Tintérieur du cercle fx = c, une branche de courbe passant par le centre du cercle, et terminée au rayon vecteur fi = a, auquel elle est perpendiculaire; puis, hors du cercle, une seconde branche partant perpendiculairement de la circonférence, pour se terminer à la distance fx = ë , perpendiculairement au rayon vecteur.

3« cas. \l = ^.

C étant égal à zéro, il est facile de voir qu'en posant . = a ,

Téquation différentielle de la courbe peut s'écrire

SJc'^—lû

La partie de la courbe située hors du cercle n'existe plus maintenant, et Ton a dans l'intérieur de ce cercle une branche de courbe analogue à celle qui a été trouvée dans le premier cas. Mais ce qui est remarquable, c'est que cette branche de courbe est la moitié de l'.irc d'une épicycloîde compris entre deux points de rebroussement successifs. Cette épicycloîde , comme il est facile de le voir d'ailleurs , est engendrée par un point de la circonférence d'un cercle de rayon ^^^ roulant intérieurement sur le cercle (x = c.

Dans le dernier cas que nous venons d^examiner, l'équation différentielle de la courbe était intégrable; on peut se demander s'il existe d'autres cas d'intégration.

Il est évident que les seconds membres des équations (a) et (3), dans lesquelles M a la valeur que nous avons donnée plus haut, ne pourraient devenir des différentielles exactes que dans deux cas : si \l\i? — c^

So-

396 JOURNAL DE MATHÉMAllQUES

était facteur commun au numérateur et au dénominateur des seconds membres, ou bien si M était un carré parfait. Or il est facile de voir d'abord que le dernier cas ne peut jamais se présenter; car, en exprimant la condition pour que M = o ait deux racines égales, on trouve une équation impossible entre H et C. Quant au premier cas , si l'on met Téquation différentielle de la courbe sous la forme

d<p = „__Hfclf^^P

ftV/(Cf*^-H')(c'~fxM-+-4^c

on voit que y/c^ — l^* ne pourrait être facteur commun que si gc = o. Or les cas de g^ = o, c = o sont évidemment à exclure ; et d'ailleurs si Ton faisait l'intégration, on trouverait l'équation polaire d'une ligne droite, comme cela doit être évidemment.

Démonstration de deux théorèmes de M. Jagobi. — Application au problème des j?erturbations planétaires;

Pab m. a.-h. desboves.

(Thèse d'Astronomie présentée à la Faculté des Sciences de Paris, le 3 avril 184B.)

Lorsque le principe des forces vives a lieu, les équations du mouvement d'un ou de plusieurs points libres peuvent se mettre sous la forme , , d'x dU d^x dV

(0 ■dF = '^li: ■5F = '^*57' ^'^-

Supposons qu'on ait obtenu les intégrales de ces équations avec le nombre làn de constantes arbitraires double du nombre des variables indépendantes 9 et qu'on veuille avoir les intégrales des équations du mouvement troublé

d*x rfU dû.

-dr'="'d^-^d^'

d'y dV da

D'après la théorie de la variation des constantes arbitraires, on peut supposer que, dans le mouvement primitif et dans le mouvement troublé, les coordonnées Xy y^ a,.--» ^t les vitesses—» -—^ ^v sont exprimées de la même manière, au moyen des éléments ^1, 64, a,, 62 9—9 a„, hn\ mais, dans le cas du mouvement troublé, on a à résoudre la question de trouver les variations de ces dernières quantités pour une époque quelconque du mouvement. Lagrange a donné une forme

eUii da dt "" dF,'

dot da

Tt — "5^,'*"'

da^ da

dt ~ dbn

db, da

dt ''da,'

db-, da dt "" da^' '

dbn da

dt dan

398 JOURNAL DE MAITIÉMATIQUES

très-élégante aux équations qui servent à déterminer la variation des constantes arbitraires dans le cas qui nous occupe. Il a remarqué , en particulier, que si les éléments a^, b^^ a^^ ^2V9 <^nj ^n sont les valeurs initiales des coordonnées et des vitesses , les équations du problème prennent la forme extrêmement simple

Mais, en se fondant sur les travaux de M. Hamilton , M. Jacobi a donné un autre système de constantes dont les variations sont données par des équations de la forme des équations (3) , et qui sont plus avantageuses dans le problème des perturbations planétaires. Voici comment sont données les constantes arbitraires de M. Jacobi :

6 étant une fonction de :tjjry z,..., a^ o^,... qui satisfait à l'équation aux différences partielles

et les intégrales des équations (i) étant, comme on sait, les suivantes:

<^) di = ^'^ â;;=^--' dc = '-^'^

les 2n constantes arbitraires ai , a,,..., C, x jouissent de la même propriété que les valeurs initiales des coordonnées et des vitesses, c'est-à-dire qu'on aura

Le théorème que je viens de reproduire d'après M. Jacobi se trouve énoncé sans démonstration dans le cinquième volume des Comptes rendus de V Académie des Sciences. Je me propose de le démontrer ici, en me servant comme lemme d'une autre proposition donnée aussi sans démonstration par M. Jacobi, à la suite de celle que je

1 doL, da

doL^ da dt ^ ^ d^y '

dC da

' 'dt'^Tr'

\ dt "" doL,'

r/6, da

-7- = — -7- V dt doii

dx da ' li'^ " dô

viens d'énoncer. Je démontrerai d abord cette proposition , dont voici l'énoncé :

Soit donné le système

Irffl, ^ rfH dfl, __ dR da^ __ dR

'dt "^ db,' W ~ ^ Ibl'"' lit '~ ^ dh,'

db^ d¥L dbt dn '{^ — !{!?

di rf(fl,' dt <to,' ' dt //fl„'

H étant une fonction quelconque de t et des variables a^y h^j a^^ h^y,.,,

Soient a^ jSf, a^, jSa,.**» ^/i> ^n ^^ nouvelles variables , et <{/ une fonction quelconque des variables ai, a,,.--) o^ai ^o ^9)—) ^n seulement ; supposons de plus les nouvelles variables liées aux anciennes par les équations suivantes :

Si Ton exprime, au moyen des équations précédentes, la fonction H par t et les nouvelles variables a, , a,,..., a^^ jS^, /S,,..., /3j,, on aura entre ces dernières des équations différentielles précisément de la même forme que les proposées, savoir :

r/a. dE ^^ ^ ^/g, dH

'dt '^ '^ dp,' "STT^rfp/'"' dt "^ dp„'

<fa. — P"'

rfp. rfH

rfr "" doL, '

dt "" ^,'* ''

Démonstration. Si l'on ne suppose aucune forme particulière aux équations qui lient entre elles les nouvelles et les anciennes variables, on aura, en général, pour déterminer la variation des nouveaux éléments, les équations connues

da, dl

dp,

(8) { S-^= - [«" /3«]^« + [^«' «»]^» -^ [Pi.iS.]''^.

4oo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

les symboles [ai, /3|]y [a,, a^], etc., ayant leur signification ordinaire, c'est-à-dire qu'on a, par exemple,

[Q 1 iiai dbi dbx dax da-^ db^ dbt da^

^*' P*j — s[; ^, " 'dk, dp, '^ di^.dp, " i^.ip, ^""

Nous avons maintenant à faire voir que si les douvelles variables «n l3o «ai jSîvM a«f ^n sont liées aux anciennes tfi, *,, n,, *,,.-., ^n, *« par les équations (6), les équations (8) se réduiront à la forme des équations (7) ; or, pour cela , il sufiBt évidemment de prouver que Ton a les équations suivantes :

[aM/3,]= I, [a„pa] = U [«3,^1] = I,..., [a,, a,] = o, [a, , a,] = o, [a, , /3,] = o, . . . .

Prouvons, par exemple, que Ton a [ai, /S^] = 1 .

Dans ce but, nous formerons d'abord les différentielles de ^ par rapport à a, et |3|. ^ est primitivement une fonction des variables a,, a,,..., a^, ^n ^ar;*) ^n\ ^^ HOWS supposons, en prenant les différentielles, qu'on regarde ^4, ^sv? ^n comme des fonctions de a,, ^9)* -M ^A9 /3|, j3a,..., j3|| données par les équations (6). En désignant par

|-i I la différentielle de ^ prise par rapport à la variable a^ , en tant

qu'elle entre explicitement dans la fonction, nous aurons les deux équations

dcLx \doLx) doi dax da^ da^ '" da^ </a, '

i/tp d4f dox d'^ dat ■ di^ da^

Mais, en vertu des équations (6), on a

donc les équations précédentes deviennent

5ïi = P« -*« Si; - *»5ï; — •- *-5â' rfp; - ~ ^' rfp; ~ "'rfp, ~-~ ^"rfp;

PURES E£ APPLIQUÉES. 4oi

Maintenant, si l'on différentie la première des équations précédentes par rapport à j3, , ia seconde par rapport à a^ , et qu'on égale les deux

résultats en effaçant les termes analogues à ' ,* ? ,' , ' » qui se détruisent dans les deux membres, il reste précisément [ai, /3|] = i. On prouverait de la même manière que l'on a

[aa,Pa] = i, [«3,^3]= i,....

Si, d'un autre côté, on considère les quantités [a,, aj], [/3,, jS^],.-? on voit tout de suite pourquoi , en appliquant le mode de démonstration précédent, ces quantités sont nulles ^t non pas égales à i. C'est que,

par exemple, dans les quantités ^7 ~^» qui doivent conduire à la

quantité [a,, a,], les termes |3|, jS, étant différentiés par rapport à a,,

(X2 sont nuls, et dans -^i -^^ qui doivent donner [j3,, jS^], les termes

api api

analogues à j3|, jS, ne se trouvent pas.

La proposition qui doit nous servir de lemme peut être considérée maintenant comme complètement démontrée.

Revenons au théorème, dont la démonstration est notre objet principal.

Lorsque les éléments variables sont les valeurs initiales des coor-

données a^j ^i,,..., a„, et les valeurs initiales des quantités -^9

^^v? que nous désignerons par — è,, — é2v> l^s équations qui

déterminent les variations des éléments ont, comme nous l'avons déjà remarqué, la forme simple que Lagrange leur a donnée; ce sont , par exemple, les équations (5), dans lesquelles on aurait changé les signes de 6,, 63 vy ou, ce qui revient au même, les signes des seconds membres.

Pour que le théorème que nous avons en vue soit démontré, il suffit, d'après le lemme, de faire voir que des équations semblables aux équations (6) lient les anciennes variables rii, b^, a,, ^2,..., a„j b^j aux nouvelles «i, |3|, a^, j^ay...» ccn, ^ny obtenues comme il a été dit en commençant.