Tome XllI. - Dïcihmii

4ou- JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Or nous avons vu que les intégrales des équations (i) sont les

suivantes :

rfe ^ . de ^ de

— Pu Xl — Pa»-"'

da, ^" rfa, ^"•••' rfC "^ ' •'

et Ton sait, d'ailleurs, qu'on a les intégrales premières

de mdx de mdy

dx dt df dt

Si Ton fait dans ces équations ^ = o» on devra remplacer x^ j^ z^ -^» *^'"*' P®** leurs valeurs initiales a,, ^a,..., a^,, — ^o — ^av -i

— ft„; deviendra alors une fonction de £ïi, a,,..., a,, a,,.--> «;,-,, C, et Ton aura les équations

r/e , de / de i

c'est-à-dire précisément les équations (6).

Le théorème est donc démontré.

Nous allons maintenant faire l'application du théorème de M. Jacobi au problème des perturbations planétaires.

La règle que nous avons donnée plus haut pour obtenir les constantes «1 , j3| , a^, jSa, a,, jS, est la suivante :

Déterminez une fonction 6 de or, ^, z qui contienne, outre la constante qu'on peut toujours lui ajouter, les trois constantes A, B, G, et qui satis&sse identiquement à l'équation aux différences partielles

puis formez les équations

A, B, C, A', B'y T seront les six constantes demandées.

PURES ET APPLIQUÉES. 4o3

Supposons que, dans Féquation précédente, Xj jj z soient rem« placées par d'autres variables tellement choisies, que Téquation aux différences partielles ait une forme analogue à celle qu'elle avait d'abord, c'est-à-dire qu'elle soit de la forme

Si Ton obtient une fonction 6 de pf, p,, p, et des constantes arbi« traires A , B , C satisfaisant identiquement à l'équation précédente , il est clair que si, dans l'expression de 6, on met à la place de /s,, p^^ p, leurs valeurs en x^jr^ z, on aura une solution convenable de l'équation différentielle proposée. Mais, au lieu de remplacer d'abord dans 6 Po pa>-»> P^ï* leurs valeurs en x, ^, «, il est évident qu'on peut prendre immédiatement les différentielles par rapport à A, Bi, C, sauf à imaginer qu'ensuite , dans

(9,, pa, pa soient remplacées par leurs valeurs en »r,^, z. Le dernier changement de variables que nous venons d'indiquer n'est point d'ailleurs nécessaire; nous n'en avons parlé que pour la clarté de l'exposition. Ce qui importe seulement, c'est de bien savoir quelle est la signification des constantes A, B, C, k\ B', r: c'est une question sur laquelle nous reviendrons bientôt.

Il nous faut maintenant choisir notre système de coordonnées. Celui qui se présente naturellement à l'esprit est le système des coordonnées polaires dans l'espace qui satisfait à cette condition, que l'équation aux différences partielles ait une forme analogue à celle qu'elle avait d'abord.

M. Liouville, dans un cas très-général de la fonction des forces, a fait connaître une solution 6 exprimée au moyen des coordonnées polaires dans l'espace. Dans son Mémoire, cette solution 6 est déduite d'une autre beaucoup plus complexe, qui est exprimée en coordon^ nées elliptiques. Mais comme , dans ma Thèse sur le mouvement d'un point matériel attiré par deux centres mobiles, j'ai obtenu, pour une certaine expression de la fonction des forces, une solution exprimée

4o4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

en fonction des coordonnées elliptiques dans un plan et de l'angle de ce plan avec un plan fixe , il m'a paru convenable de déduire la fonction 6 , dans le cas des coordonnées polaires , de celle que j'avais déjà trouvée, et que je vais rappeler.

La fonction 6 dont il s'agit est la suivante :

Pour introduire dans 6 les coordonnées polaires , savoir, le rayon vecteur /•, l'angle if du rayon vecteur avec l'âxe de s, l'angle 9 de l'axe des x et de la projection sur le plan des xjr du rayon vecteur , il y a principalement à considérer le terme

• Ag» — BfjL» — gCpL< ^ 2 F (f*)

sur lequel porte toute la difficulté.

En effet, pour passer du système de coordonnées dans lequel est exprimée la fonction 6 précédente au système des coordonnées polaires, il suffit de supposer que l'un des centres fixes auxquels se rap-

portent les quantités p = — ^ — > /x = — ^ (r et r' étant les distances

du point attiré aux deux centres) vienne se confondre avec l'autre : c'est ce qu'on exprime en faisant p = r, fJL = o, c = o.

Le premier terme de devient alors, en y faisant c = o, /9 = /•,

dr

'.yJ^Qr' ^^r^^^J\r),

et le dernier terme reste tel qu'il était. Pour calculer le second terme, écrivons-le sous la forme

et cherchons la valeur limite de ^ pour /x = o, c = o. Pour trouver

PURES ET APPLIQUÉES. 4o5

cette limite, calculons la valeur de r' dans le triangle ayant pour côtés r, r', a c et 90 — cj^ pour angle compris entre les côtés r et 2 c ; nous aurons

r' = v^r* -h 4^* — 4^^ sin ^^ puis

et enfin 9 limite de - = — sin c|;, et, par suit%, •

-dt

Introduisons ces valeurs dans le second terme mis sous la forme que nous venons de lui donner, nous aurons, pour ce second terme

-/^ \/^=^^Bsin^+4.a^;

la valeur complète de 6 devient alors , comme M. Liouville l'a trouvé d'une autre manière ,

e ^/pVBr» H- ^Cr* + a/(r) -/^^ V- A - Bsin^+ -h -^y^^)