d(f y/ A -h an

Quant à la fonction U qui doit accompagner cette valeur de 6, on peut la déduire aussi de la fonction U qui accompagnait notre ancienne valeur de en mettant cette dernière fonction U sous la forme

et passant à la limite , on a

^ sin' ^, /{r) +r'xW + r'n (y) r' sin' -i

4o6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Si l'on fair

la valeur de U prend la forme plus simple

On aurait pu, du reste, arriver directement aux valeurs précédentes de U et de par la méthode qui a conduit aux valeurs plus compliquées dont nous 1^ avons déduites.

Il faut maintenant appliquer les nouvelles valeurs de 6 et de U au problème des deux corps. U étant égal, dans le problème dont il

s'agit, à -5 on aura

J^ (0 = f, /vO = §''% X W) = ^>. n (y) = o,

et , par suite ,

Q= Çy vâCf^2gr-f-B - r^ v^A-Bsin'4/H- fdo yT. Formant maintenant les équations

on aura

^^ Jav/A J 28in+ V— A — Bsin'j.

rdr

(lO)

^"^^ Itï^

ou bien, en différentiant ,

sin ^(* ^— A — B sin';]^ '

V^2CrH- a^r-h B

On aurait pu aussi obtenir les formules précédentes sans passer par le calcul d'une nouvelle fonction ©. Il eût suffi pour cela d'introduire dans les formules du problème des centres mobiles les conditions

A = o, " g' = o, c = o, fJL = o, - = — sin i|;.

Le calcul 9 fait de cette manière, confirme pleinement d'ailleurs celui que nous venons de faire.

Nous pourrions faire voir dès maintenant, par les équations (12), (i3) et (i4), que le principe des aires a lieu, que la courbe est plane, et qu'elle est une section conique; mais, la question importante étant de trouver la signification des constantes A, B, C, A', B', t, nous allons nous occuper immédiatement de cette question , et celle d'interpréter les équations (12), (i 3) et (i 4) se trouvera résolue en même temps.

Pour trouver la signification des différentes constantes arbitraires, nous allons comparer nos formules aux équations connues du mouvement elliptique auquel nous voulons nous borner. On voit d'abord immédiatement ce que représente la constante C ; car puisque , d'un côté, w^m avons posé

et que, d'après la formule connue du mouvement elliptique, on a

2 o \r la]

on aura

4o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Pour trouver la signiBcation des constantes arbitraires B et i, nous comparerons à l'équation connue du mouvement elliptique,

rdr

= dt,

l'équation (i4), mise sous la forme

rdr

= dt.

On voit que Ton peut poser

d'où

c'est-à-dire qu'au facteur près — g, B représente le demi-paramètre. Quand on a remplacé B et C par leurs valeurs dans l'équation (i f), cette équation devient identique à celle du mouvement elliptique

/rdr 7=====-

Donc T peut être considéré comme représentant le temps du passage par le périhélie.

Pour obtenir la valeur de la constante A, multiplions membre à membre les équations (la) et (i4), puis divisons membre^ membre cette nouvelle équation et l'équation (i3) ; il viendra *

r* sin* if^ =z \jk\

ce qui donne le principe des aires appliqué à la projection de la trajectoire sur le plan des xjr^ et, par suite, à l'orbite elle-même, en admettant, ce qui résulte, du reste, de nos formules , que l'orbite est plane.

Le double de Taire décrite dans l'unité de temps sur le plan de

l'orbite par le rayon vecteur étant égal à \'gii{i^ e^)i nous aurons, en représentant par 7 Tangle du plan de Torbite avec le plan des xjr^

on

yjk = ylga{\ — e^) cos 7, A = ga(i — e^) cos^ 7.

Pour obtenir maintenant la valeur de B% nous allons déduire de nos équations réquation polaire de l'ellipse. En désignant par Q l'angle fisiit par le rayon vecteur avec la ligne des nœuds, nous aurons | d'après le principe des aires, l'équation

r*-r = — — 1 dt cos 7

ou bien , en mettant à la place de >/ A sa valeur précédemment trouvée

r^ sin' ^ -£'

sin* i^df = cos ydd.

Substituant maintenant pour d(p sa valeur tirée de l'équation (la), et indiquant l'intégration, on aura

' J^ ^—A — Bsin» +

puis, si l'on met dans l'équation (10) , 9. cos 7 à la place de l'intégrale

/ sin ^ d^ sj^K — B sin' + '

qu'on peut supposer prise entre les limites ^ et -, il viendra

r V2O» 4- a^r 4- B ^ga f i — tf')

J rv^2Cr'-f-a^r-f B ^5 V '

Or cette équation devient identique à l'équation polaire de l'ellipse ,