AU PLUS PETIT NOMBRE DE TERMES

Par m. C.G.-J. JAGOBI.

(Extrait des Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Berlin, g novembre 184B. )

II y a une infinité de manières de transformer les formes quadratiques à n variables par des substitutions linéaires au déterminant i en d'autres équivalentes. On peut se servir des coefficients de la substitution pour réduire la forme. En général , dans la réduction des fonctions , on se propose de réduire aiv plus petit nombre les arguments dont la fonction dépend. Mais pour les formes quadratiques, le problème est autre : on s'est proposé de renfermer dans des limites les coefficients de la forme, de sorte que, parmi toutes les formes équivalentes, il n'y en ait qu'une seu\e. réduite. Mais, même pour les formes quadratiques, le premier point de vue n'est pas sans importance, c'està-dire la question de déterminer le plus petit nombre des termes auxquels une forme quadratique à n variables soit réductible.

Pour les formes binaires, il est évident -qu'il n'y a pas de telles réduction^ , ou, ce qui revient au même, on ne peut faire disparaître un des trois termes de la forme. Quant aux formes quadratiques à plus de deux variables, elles sont toujours réductibles à ùii moindre nombre des termes. Le nombre des termes croit avec le nombre des variables , mais pour J^s formes quadratiques complètes comme les nombres triangulaires i, 3, 6, 10,..., et pour les formes réduites au plus petit nombre de termes, comme les nombres impairs 1, 3, 5, 7,...; de sorte que, pour 3, 4» 5,... variables, on peut faire disparaître i, 3, 5,... coefficients. On peut remplacer une forme quadratique à n

PURES ET APPUQUÉES- 4» 3

variables par une autre équivalente qui ne contient ^ outre les carrés des variables, que les produits de chaque variable par la variable immédiatement suivante. Donc, sans perdre de généralité, on pourra prendre pour une forme quadratique quelconque à n variables une expression telle que celle-ci :

aw^ -f- t^aicocoi -h ria wj -h a^ijWiWa -f- «4 w* -H 2^3(1)2 o, -H a^t^l -f-.. ..

Le moyen d'effectuer une telle réduction consiste en ce qu'on substitue à une expression linéaire donnée

a, cT, -I- a^ Xj -4- . . . -f- OLiXij

un seul termey.w,y étant le diviseur commun de a,, aj,..., a,-.

J'appellerai systèmes équivalents deux systèmes de quantités qui dépendent l'un de l'autre, de manière qu'en mettant des nombres entiers pour les quantités de l'un des systèmes, les quantités de l'autre deviennent également des nombres entiers. Pour que deux systèmes soient équivalents, il faut que les quantités de l'un soient des fonctions linéaires de l'autre, et que les coefficients de ces fonctions soient des nombres entiers au déterminant i. Étant donnée une expression linéaire de / variables X|, Xj,..., x,,

dont les coefficients a,, a,,,..., a,- soient des nombres entiers, on pourra remplacer les quantités x,, 0:2,..., Xi par un système de quantités équivalentes, telles que, u en étant une, et y étant le plus grand diviseur commun de a,, a^,..., a/, on ait Téquatiop

f.u = a, X, -h a^JTa -h.^.-H o^iXi-

J'expliquerai dans une autre occasion la méthode pour trouver les substitutions les plus simples et aux plus petite coefficients.

Soit V une forme quadratique à n variables x^, x,,..., ;r„, où r^ nsemble des termes affectés de x„ soit

x„ [a^ Xi -H- «2 -^'a -h ... -+- a,,, Xn^i) -h an x^ .

4i4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Substituons aux variables jr<, ara,...^ Jr„-< un système équivalent x\^ x'\j.,.. x' ,, de sorte qu'on ait

j\ étant le plus grand diviseur commun de a^^ «2v> ^»-m alors ii viendra

V = (In x^ -f-y; Xn x\^i-^ V, ,

V, étant une forme quadratique des variables x\, ^'jj •> ^'n-^h- Soient, dans V,, les termes multipliés par x^^^^

oo\^, (d^ x\ H- a'a X^ H-'... H- a„«a x\,^2) + ^n-i ^'„-< .

En introduisant pour x, , ^'2,— , ^n-2 un système équivalent x\^ x\,.,.y ^'.j, tel que

a, ;r', + a^ x\ +...+ d^^^x\^^ =/, ar'„a,

/a étant le plus grand diviseur commun de a'j, a'^,..., a'„2, on obtiendra

V = a^xl-^f, Xn r„, -4- <«, a:'„, -1-/2 j:'„, x'„^a + V» ,

Va étant une forme quadratique des (n — a) quantités a:% ^jv-m «^1-2. En continuant, on parviendra à la transformation

V„=a„.r„* -h rt„,x„»< -ha,^aa:„-a-^-..-H ^1 ^1

ce qui est une expression réduite du genre mentionné plus haut.

J'ajoute encore la remarque que, les coefficients des produits des variables dans la forme primitive étant des nombres pairs, il en sera de même des nombres y^ »yiv»y«-i-

PUKES ET APPLIQUÉES. 4i5