SUR LES

NORMALES INFINIMENT VOISINES D'UNE SURFACE COURBE; Par m. JOAGHIMSTHAL (de Berlin).

En désignant par y et g deux points infiniment proches, mais d'ailleurs quelconques d'une surface, par F et G les normales à la surface en ces points , je vais déterminer :

1°. La plus courte distance entre F et G;

a^. Le point o où cette distance rencontre la normale F;

3^. La distance of.

Je nommerai o le pôle et q/' la distance polaire de l'élément ^g^; pour un élément tangent à une ligne de courbure, le pôle et la distance polaire deviendront le centre et le rayon de courbure de la section principale qui passe psLV Jg et Ja normale F.

Soient d'abord y et g deux points dans deux plans quelconques A et B, et F et G les perpendiculaires sur ces plans en ces points; la plus courte distance X entre ces droites sera donnée par la fonruih^

X =/g.cos(X,7sJ. •

Mais la plus courte distance X étant parallèle aux plans A et B sera de même parallèle à leur intersection, et l'angle (X, /g). sera égal à l'angle entre cette droite d'intersection et Jg,

Soient A et B deux plans tangents à une surface en deux points infiniment proches /et g; l'intersection de A et B sera la tangente conjuguée à l'élément Jg , et la plus courte distance X entre deux normales infiniment voisines l'une de l'autre s'exprimera par

(l) - 1 = cos (ùdSy

4i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

ck) étant l'angle entre l'élément ds déterminé par les pieds des normales et sa direction conjuguée.

D'après les beaux théorèmes de M. Dupin , les directions des tangentes conjuguées au point/ d'une surface courbe coïncident avec les directions des diamètres conjugués de la conique

P et Q étant les rayons de courbure de la surface en J\ et ayant pris les tangentes aux lignes de courbure pour les axes de Ç et yj.

Donc , l'angle de l'élément ds et de Tune des lignes de courbure étant égal à a, on aura, par les formules connues sur les diamètres conjugués ,

cos M = ±: cos a sin a ( :^ — ^ 1

(cos* a sin» a \ *

\ . /cos' a ^ sin* a \ i

' ^ ^ ' /cos'a sin'aX'

d'où vient

(3i X = ^ cos a sill a I - — jr\ ^•

Pour les lignes de courbure, l'angle a est ou égal à zéro, ou égal à un angle droit ; donc on aura X = o , c'est-à-dire les normales aux extrémités d'un élément d'une ligne de courbure se rencontrent.

Pour obtenir les valeurs maxima de X, il faut diflFérentier X par rapport à a^ et on obtient

/ o -as /cos' a sin* a\ , . , / i i \

o = (cos* a - sm» a) [--^ -h -^j - cos à" sni à" ( ^, - p J '

ou , en réduisant,

CCS* a sm* a *» = - pT qT-

ce qui revient à la formule

(4) tang'fl=|'.

Si on suppose les rayons P et Q de même signe , on en conclut

(5) tangua =5,

donc

cos' a sin' a i

(6) sin* a = 2^ ? cos* a =