Tome XUl. - DtaHBRC 1S
coïncide avec rélétsent ds. En résumant ce que nous venons de démontrer, nous aurons le théorème suivant :
Théorème. Étant décrite sur une surface autour d'un point J et avec le rayon infiniment petit B, la circonférence de cercle gg'g"— » « en tous ces points on mène lès normales à la surface F, G, G', G",... et leà plus courtes distances entre F et G, G', G%..., que je désignerai par ly l'j /%....
i^. Une quelconque des distances / sera égale au rayon B multiplié par le cosinus de Tangle entre fg (le rayon) et la direction conjuguée ;
2^. Les rayons principauic de la surface étant de même signe P et Q , les valeurs ms^ima des distances / correspondront aux directions suivant lesquelles le rayon de la section normale est égal k
I (P -f- Q), et la valeur maxima sera égale à ±: B ^ ^ ;
3**. Les rayons 'principaux étant de signe contraire , les valeurs maxima de / correspondront aux directions suivant lesquelles le rayon de la section normale est infini , et la plus courte distance coïncidera avec le rayon.
Je vais maintenant déterminer le pôle d'un élément iis.
Soient
les équations de deux droites quelconques; l'équation d'un plan parallèle à ces droites sera
(i i) {bd - cb') X -h [ca - rtc') Y -h («*' - fta') Z = G,
et l'équation du plan perpendiculaire au plan (i i) et qui passe par la seconde droite (lo), sera
(la) L (X - / - /') + M (Y - m - m') -h N (Z - n - n') = o,
les rapports L, M^ N étant donnés par les équatioBs
Il en résulte
/L =a {af' -h b'^ -h (/' -h aa' -h bb' ^ ce")
— a'ifl:' -HÔ^ -i-c^ -^-aa'-^bb'-^cd), /M = b {a'^ -h ft'^V c'^ -¥- aa'^bb'-^-cc^
.-yio" -hé» -hc* -^-aa'^bb^^cd); /N =c{a!^-\-b^^^d^-^aa!'hbly^c(f)
— c'(a* H- 6» ^ c* + «a' -K Ai' -h ce'),
y étant un facteur indétenniné.
Le plan (la) et la plus courte distance des droites (10) couperont la première de ces droites au même point, dont je désignerai les coordonnées par X, Y, Z. On aura évidemment
iX= / -h aoj Y = m-hb7y a = (aL -h 6M -h cN) = /'L -h /n'M -K n'N, Z = /i -f- ca ,
ou bien , en faisant
aa'-h W'-f- c&= ij dXhk-- I») = (aZ' H- 6m' -h en' ) {i-^k)
Supposons que les deux droites soient deux normales voisines de la surface représentées par l'équation différentielle
(16) dz=s pdx -h qdjr;
il faut mettre
a = py b = q, e = — I, /=JC, m=jr, n = z\ a'= dp^ 6^= dqj c'= o, Z'= dx, m'= r^, yi'= dz.
Par ces valeurs ., on obtient
^ ^ idpiùC'^dgdx){i'hp''¥q') {dpdx-^dq dy) (i +/>' + y»)
dq^-hdp^-^- {pdg — qdpy "^ (^i ^p^^dq^^^pqdpdq -^ {i-hq^)dp*^
et, en mettant
r3^|> = rrfx -h sdjTj
dq = sda:-¥' tdjr^ on aura
^ ^ ~ ('^P "^9 ) (x -I- p») rfy> — -xpqdpdq -+- (i -H ^») rfp* '
Telles sont les coordonnées du pôle d'un élément de la surface.
Pour déterminer la distance polaire A ou la distance du pôle (X, Y, Z) au point de la surface (x, y^ z) , je ferai coïncider les axes des coordonnées z, x, ^ respectivement avec les normales et les deux tangentes des sections principales ; on a , par cette supposition ,
X = O, ^ = O, JZ = O, /> = O, y = O, vV = o ,
et
Z = A= — (7, ou bien
rrfx' 4- r<f/*
r'rfr*-hr»^' ^,^,,/^\
Soient P et Q les rayons principaux de la surface , et a l'angle entre l'élément de la surface et l'axe des x ; on aura
r=\. ^=i, g=tanga, par conséquent
cos' a sin* a
COS' a sin' a
En gardant les mêmes désignations que ci-dessus , on a , par les formules (a) et (7) ,
(19) à = p sin* w.
Soient A, , p^ les quantités analogues pour un élément de la surface perpendiculaire au premier ^ et A', f ' pour l'élément conjugué au premier ; on aura
p COS' a sin' a
donc
I cos* a sin' a
et, par conséquent,
Ap"*" A,p, "F'"*" Q'
Pour Télément conjugué, on aura
d'où vient
A' = p' sin* &) ,
c'est-à-dire que, pour deux éléments conjugués ^ les distances polaires sont entre elles comme les rayons des sections normales.
Comme p et p' sont égaux aux carrés des demi-diamètres conjugués de la conique
on stiira
^ ' (/)/)' sin» w = PQ,
ou, en ayant égard à l'équation (19),
relation très-simple entre la distance polaire et le rayon de la section normale qui passe par le même élément.
