Journal de mathématiques pures et appliquées

Recherches théoriques sur V écoulement des nappes d'eau infiltrées dans le sol et sur le débit des sources;

Par m. tl. BOUSSnVESQ.

§ I. — Constatation d'un régime, en dehors des époques de pluie, dans les sources drainant les nappes d'eau d'infiltration et, par suite, dans les nappes elles-mêmes : recherche théorique de ce régime; résultats obtenus.

1. L'observation régulière, qui se fait depuis plusieurs années, de l'étal des sources alimentant d'eau potable nos grandes villes, corainence à montrer que chacune de ces sources a ses débits successifs, durant la saison d'été où ne se renouvelle pas sensiblement par l'atmosphère la nappe des eaux d'infiltration qu'elle draine (*), représentés

(*) L^ingénieur Dausse a remarqué judicieusement, il y a plus de soixante ans, que les pluies d^été ne profitent guère aux sources des terrains perméables; car

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à peu près par une seule courbe plane, où les temps figurent comme abscisses et les débits correspondants comme ordonnées. La différence existant, aux jours datés de même (au millésime près), entre les saisons estivales des diverses années, ne se manifesterait guère que par un déplacement, propre à chaque été, de l'origine des abscisses, déplacement dû à la disparité des pluies antérieures, quant à leur volume total et à sa distribution soit dans le temps, soit sur les diverses parties du bassin d'alimentation de la source. Ainsi, dès que l'observation effeclive, au commencement d'un été quelconque, ferait connaître le débit pour ce moment et, par suite, l'ordonnée spéciale dont le pied devrait être choisi comme origine des abscisses pour Pété en question, la courbe des débits fournie par l'observation des étés passés permettrait d'annoncer les débits suivants, savoir, tous ceux qui se produiraient aux divers jours de la saison débutante (*).

Ce fait tend à prouver que l'état de la source et, par suite, celui même de la nappe qui y débouche, ne tardent pas, une fois la période des pluies terminée, à se régler d'après la configuration du lit imperméable supportant la nappe aqueuse, la contexture du terrain perméable qu'elle pénètre et, enfin, d'après son volume actuel totale mais indépendamment des particularités de temps ou de lieu offertes par l'accession, à la nappe, des diverses parties de ce volume. Ainsi, comme dans tant d'autres phénomènes physiques, lorsque leurs conditions sont devenues constantes^ et, spécialement, dans tous ceux qu'offrent les cours d'eau visibles, un régime tend à s'établir, et se

l'eau qui s'y trouve momentanément absorbée par le sol est, presque toujours, évaporée à peu près entièrement, avant d'avoir atteint la nappe aqueuse sousjacente. Voir son Mémoire De la pluie et de l* influence des forêts sur les cours d'eau, au numéro de mars et avril 1842 des Annales des Ponts et Chaussées, p. 198 à SOI.

(*) Celte idée d'une courbe unique des débits, pour chaque source drainant un sol perméable et considérée un certain temps après la dernière chute de pluie ayant fourni un apport à sa nappe d'alimentation, vient d'être énoncée, comme loi expérimentale, par M. Edmond Maillet, ingénieur des Ponts et Chaussées et lauréat de Tlnstitut. Elle était déjà en germe dans sa Note, du la mai 1902, Sur la prévision des débits minima des sources de la Vanne {Comptes Bend us de l'Académie des sciences de Paris, t. CXXXIV, p. i io3).

réalise assez vite, où les circonstances initiales du phénomène ne figurent plus, si Ton considère seulement l'état final^ qui serait, ici, le tarissement de I^a source, mais où elles figurent uniquement par un certain effet général ou d'ensemble, exprimé au moyen d'un seul paramètre, si l'on considère Y état pénultième^ signalé par Fourier dans le refroidissement des corps et qui annonce, en la précédant de très loin, la cessation finale du phénomène. Ici, où l'écoulement se réglera en général, comme nous verrons, par la hauteur et par les pentes de la surface supérieure, libre quoique souterraine, de la nappe aqueuse, cette surface sera donc, une fois le régime sensiblement établi, entièrement déterminée pour chaque valeur de l'espace total qu'elle délimitera au-dessus du lit imperméable, c'est-à-dire, dès lors, par une quelconque de ses ordonnnées verticales h^ celle qui correspondra à un point (^,y), choisi à volonté, du plan horizontal de repère tracé dans le terrain perméable où s'abaisse lentement cette surface libre.

2. J'établirai au paragraphe suivant, d'après les lois élémentaires de la filtration, bien connues, Véquation indéfinie, aux dérivées partielles, et les relations définies, se rapportant au contour de la nappe, qui régissent cet abaissement de la surface libre, quand les pentes tant de fond que de superficie ont de /^c/^Vc^ valeurs. Si l'équation indéfinie dont il s'agit était linéaire, on pourrait espérer obtenir tout au moins la forme générale de son intégrale et, par suite, y débrouiller l'expression asymptotique des ordonnées ou altitudes h de la nappe, expression qui représenterait la figure de régime cherchée.

Mais cette équation aux dérivées partielles ne devient linéaire que dans l'hypothèse d'eaux très basses, c'est-à-dire d'une dénivellation de la nappe, entre son point le plus haut et la source, très petite comparativement à ses épaisseurs ou profondeurs totales ; et, alors, le faible écoulement de liquide qui y subsiste vers la source est exactement pareil à ^écoulement de la chaleur dans une certaine plaque à faces imperméables, limitée au contour même de la nappe, rendu également imperméable, sauf à l'endroit où est la source et où l'on maintiendrait température nulle (*). Or tous les caractères observés du

(*) En conséquence, cet écoulement se prolongerait, pour ainsi dire, sans fin,

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débit des sources se montrent bien, avec leur maximum de simplicité, dans ce cas extrême, auquel se trouve ainsi réduite la théorie à moins de faire des hypothèses particulières sur la configuration ou plane, ou courbe (et concave ou convexe), du sous-sol imperméable supportant la nappe aqueuse.

Les débits de la source y sont proportionnels à une simple exponentielle, e~*', où figure un coefficient de tarissement, a, fonction seulement de la configuration du fond et de deux constantes physiques, exprimant la perméabilité des terrains qui filtrent la nappe. De plus, les petites altitudes h de la surface libre au-dessus du plan horizontal du seuil de la source, mesurées sur les diverses verticales fixes du terrain, que définissent les deux coordonnées horizontales x^y^ y sont les produits d'une fonction déterminée de x et de y, par une fonction du temps t proportionnelle à la même exponentielle e "*^ Il y a donc conser{>ation, jusqu'à tarissement, du mode d'écoulement établi, en ce sens que toutes les ordonnées h de la surface libre gardent sans cesse leurs rapports mutuels, maintenant dès lors mêmes pentes relatiçes aux divers éléments de la superficie et aussi, par suite, mêmes vitesses relatives de filtration aux régions de la nappe sous-jacentes.

3. L'observation du débit des sources porte à penser que, pour des dénivellations h considérables, très supérieures à celles dont il vient d'être question, et initialement arbitraires, l'écoulement se réglerait plus ou moins vite d'une certaine manière, la fonction h tendant à y devenir presque indépendante des données initiales ou, une infinité d'intégrales particulières, à se confondre en une seule. Mais la forme de l'équation indéfinie du mouvement montre que ce régime, si la réunion ou convergence des intégrales s'opère réellement, ne consiste pas, du moins d'une manière générale, en un mode d'écoulement se conservant, où toutes les ordonnées h s'abaisseraient sans altération

si une lente evaporation, que la théorie néglige, à la surface libre souterraine, n'abaissait pas à la longue le niveau jusqu^au-dessous du seuil de la source (à moins d'être compensée, de temps à autre, par un faible apport d'eau.v pluviales).

ECOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL, Ç)

de leurs rapports mutuels : en d'autres termes, ces ordonnées n^y sont qu^ exceptionnellement le produit d'une fonction des coordonnées par une fonction du temps.

Le cas le plus simple où elles le soient, et où, par conséquent, le régime consiste en un mode d'écoulement qui se conserve, est celui d'une nappe aqueuse reposant sur un lit horizontal, avec rebord vertical tout autour, sauf à l'endroit de la source, où ce rebord est supposé manquer complètement. Alors la nappe se trouve toute en hauteur audessus du plan horizontal de repère; et les ordonnées h de la superficie, qui mesurent justement cette hauteur sur chaque verticale fixe (a?,y), sont en raison inverse des temps, t = t© -f- ^ comptés à partir de l'origine la plus ancienne possible, antérieure, d'une quantité To plus ou moins grande suivant les cas, à l'instant où le régime est censé avoir été atteint et d'où partent les valeurs, /, de la durée écoulée jusqu'aux divers moments du phénomène. Ce régime est très stable; car, si l'on suppose que l'état initial donné en différât peu, les petits écarts existant entre le mode effectif d'écoulement et lui sont régis, aux instants successifs, par une équation, aux dérivées partielles, linéaire, qui, dans le cas, par exemple, d'une nappe cylindrique à génératrices horizontales et d'un terrain homogène, les fait évanouir comme Tinverse de la quinzième puissance du temps t. L'intégration de cette équation linéaire à coefficients variables, sous les conditions au contour existantes, offre de l'intérêt, à raison de la manière originale et presque intuitive dont s'y forment les solutions simples.

Quant aux débits de la source, ils y sont inversement proportionnels aux carrés des temps t.

4. Le cas précédent, d'un fond plat horizontal, peut être censé réalisé, dans un Ut quelconque, lorsque la nappe aqueuse est donnée initialement assez haute pour que, même une fois le régime à peu près établi, ses pentes de superficie soient encore beaucoup plus fortes que ses pentes de fond, au point de rendre celles-ci comparativement négligeables. Il exprimerait donc les premières phases de l'écoulement réglé de toute nappe à pentes de fond modérées, relativement très haute.

Journ, de Math, (5* série), tome X. — Fasc. I, 1904. 2

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Mais un autre cas, où le lit est soit concai^ey soit même convexe^ se trouve admettre aussi un mode d'écoulement se consentant; et ce mode doit pouvoir, par suite, représenter approximativement l'écoulement effectif, une fois réglé, des nappes réelles dont les profondeurs H (positives ou négatives), sous le plan horizontal du seuil d'une source, croissent graduellement en valeur absolue quand on s'éloigne de ce seuil. C'est celui d'un lit où ces ordonnées fixes H, qui se comptent positivement de haut en bas, sont, au moins dans les circonstances les plus simples, proportionnelles aux précédentes ordonnées réglées h de la superficie, qui se comptent de bas en haut. Alors celles-ci, h, gardent entre elles mêmes rapports mutuels de régime que dans le cas d'un fond plat; et elles varient comme la fonction du

temps __ ^^.^? où k est un coefficient mesurant le degré de concavité

du fond.

Le débit de la source se trouve, en même temps, proportionnel à

lY T V

l'expression i __ ^A e''^^ qu'on peut écrire aussi -\ i — ^-j- j • C'est

donc par celle-ci qu'il faudrait essayer de représenter,' à un facteur constant près, le débit, pendant l'été, des sources à bassin d'alimentation le plus simple possible au point de vue des lois de l'écoulement. On verra, du reste, au n° 11, que, pour la plupart des très fortes sources^ comme sont généralement celles dont on amène l'eau dans les villes, l'expression du débit doit être plus simple encore, et se réduire sensiblement à la forme exponentielle Ae"*', que la précédente donne, il est vrai, mais seulement pour les valeurs assez grandes de t: La stabilité du régime, à en juger par la rapidité avec laquelle tendent vers l'intégrale qui l'exprime les intégrales particulières voisines, est très grande dans le cas d'un lit concave; car les petits écarts ' qui les en séparent, régis par une équation aux dérivées partielles linéaire, s'évanouissent, pour t grandissant, comme la douzième puissance de l'exponentielle e~^^ du moins dans une nappe cylindrique filtrée par un terrain homogène. La stabilité existe encore, notable même, mais sans être, à beaucoup près, aussi accusée, dans le cas d'un lit convexe.

ECOULEMENT DES NAPPES D EAU INFILTREES DANS LE SOL. It'

L'intégration de cette équation linéaire se fait au moyen de solutions simples qui sont des polynômes par rapport à une certaine variable remplaçant Fabscisse, avec coefficients fonctions du temps rationnelles en e'*^.

C'est le seul exemple que je connaisse, en Physique mathématique, de solutions simples, faciles à obtenir, non réductibles au produit d'une fonction du temps par une fonction des coordonnées. Et le procédé qui les fournit n'est pas moins original, car je n'en connais, également, pas d'autre exemple.

§ II. ~ Équations du mouyement, pour une nappe aqueuse filtrée dans le sol et n'ayant que de faibles pentes tant de fond que de superficie.

5. Lorsqu'un sol perméable, reposant sur un sous-sol imperméable, a ses couches inférieures imprégnées d'eau, mais ses couches supérieures soumises à la pression atmosphérique constante de l'air superposé à l'eau, et que, d'ailleurs, celle-ci, occupant les interstices des grains sablonneux ou terreux des couches inférieures, c'est-à-dire une certaine fraction (jl de leur volume apparent donnée pour chaque endroit (x, y, z)j se trouve animée, dans toute région un pçu étendue, de lents mouvements suivant une certaine direction générale susceptible de changer peu à peu avec le temps /, les interstices contigus assez bien alignés, suivant celte direction générale, pour permettre un écoulement appréciable, deviennent des tubes de transpiration. Quant à l'eau emmagasinée entre deux tubes de transpiration voisins, dans les interstices dont les ouvertures sont disposées suivant les directions perpendiculaires, et qui, à peu près immobile, complète en quelque sorte la paroi des tubes, elle a, dans le mouvement, le rôle capital de transmettre la pression d'un tube à l'autre, et, par suite, de rendre solidaire dans tous l'écoulement.

Or on sait que, le long des chemins perpendiculaires à cet écoulement, la pression est régie par la loi hydrostatique, non seulement là où le liquide est ainsi en repos entre deiix tubes, mais, même, à la traversée des filets fluides de chaque tube. Abstraction faite d'anomalies locales se neutralisant en moyenne, cette pression /; (que nous

supposerons évaluée en hauteur de liquide) varie donc hydroslaliquement le long de tels chemins, dans toute l'étendue du liquide filtré par le sol. C'est dire que la hauteur 9 de charge, somme, en chaque point (Xj/^ z), de p et de l'altitude 6 du point au-dessus d'un plan horizontal fixe de repère, y est constante. Donc l'écoulement général se fait, partout, normalement à la famille de sur/aces qui a pour équation Zf = const. (*).

6. Dès lors, les deux premières lois de Hagen-Poiseuille donnent, comme on sait, pour le volume liquide débité dans l'unité de temps par l'unité d'aire de ces surfaces, en sens inverse de leur normale dN

tirée on allant vers les charges 9 croissantes, le produit, K ^j d'un

certain coefficient spécifique K, d'autant plus petit que la couche perméable est plus compacte, par le paramètre diflërentiel du premier

ordre A| 9 ou ^ de la charge 9. Par suite, à travers l'unité d'aire d'un

élément plan de direction quelconque, dont la normale dn fait un angle donné y avec dN, unité d'aire coupant les filets fluides qui travei'sent sa projection cosy sur une surface contiguc 9 = const., le flux F de transpiration sera fourni par ces filets interceptés et aura la

valeur K -,^ cosy.

Faisons-y figurer, au lieu de l'espacement normal dN de deux surfaces voisines d'égale charge, son expression, dn cosy ^ en fonction de leur espacement, dn, estimé suivant la normale même à l'élément plan; et la formule générale des flux de transpiration, spécifiée ensuite pour les trois éléments principaux (ou perpendiculaires respectivement aux J?, y, w), sera

(■) ^'='^â• y'-'^i- ^''=^Ty' ''' = ^È-

(*) Voir y pour plus de développement de ces considérations et de celles qui suivent jusqu'aux, formules fondamentales (i) des phénomènes de transpiration, la vingtième de mes Leçons sur la Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie avec la Thermodynamique et avec la théorie mécanique de^ la lumière (t. I, p. 828 à 828).

ÉCOULEMENT DES NAPPES D L'AU INFILTRÉES DANS LE SOL. l3

7. Cela posé, n'attribuons que de petites pentes tant au sous-sol imperméable qu'à la surface supérieure, libre, de la nappe d'eau infiltrée dans le sol perméable, nappe d'une épaisseur généralement faible, comparativement à ses dimensions horizontales. Comme, par suite de cette faible épaisseur, le courant aura une direction à peu près commune, sur chaque verticale, depuis le fond jusqu'à la surface, les filets seront, partout, presque horizontaux comme ceux qui glissent sur le sous-sol; et les surfaces d'égale charge (p, auxquelles ils sont normaux, se confondront sensiblement avec des cylindres à génératrices verticales. La charge ç, en ( j7, y, :r) et à l'époque /, diflerera donc très peu de ce qu'elle est, en même temps, au point mouillé le plus haut de la verticale menée par (x, y, z). Or, en ce point mouillé le plus haut, où p s'annule (abstraction faite de la pression atmosphérique constante), ç se réduit à l'altitude e. Nous y appellerons celle-ci A; et ce sera l'ordonnée z de la surface libre; car nous prendrons pour plan des xy le plan horizontal de repère.

Nous supposerons, d'ailleurs, homogène sur chaque verticale le sol perméable; de sorte que les deux coefficients spécifiques (jl, K seront des fonctions (données) de x et de y seulement, ainsi que la profondeur H de la nappe au-dessous du plan fixe de repère (comptée positivement de haut en bas, négativement de bas en haut).

Découpons par la pensée, dans le sol perméable, un filet prismatique vertical, de section droite, rectangulaire, da ==dx dy sur le plan des xy: à l'époque /, sa longueur mouillée sera H -+- A; et il contiendra

le volume liquide (jl(H -h A) c/cr. L'accroissement, [^-^.dadt^ de ce

dernier, durant l'instant dt, proviendra de l'excédent des flux entrés par deux de ses faces latérales sur les flux sortis par les deux autres, s'il n'y a eu durant l'instant dty à la surface supérieure, ni affluence d'eau de pluie ou condensation de vapeurs, ni evaporation appréciable (vu la difficulté d'accès de l'air sec extérieur).

Or observons que les deux faces (H -f- h)dy^ (H 4- h)dxy contiguës à la première arête, (a?, y)^ du filet prismatique, laissent sortir les flux Fa;(H -h h)dydt, Fj.(H -h h)dxdt^ où F^,, F^. peuvent être remplacés par leurs valeurs (1), avec (p — /t; et que les deux faces

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opposées laissent entrer des flux de même forme, mais accrus, respectivement, de leurs différentielles en x et en y.

Il viendra donc, pour régir l'ordonnée h de la surface libre souterraine, fonction de a;, y et t donnée initialement (ou pour t = o), réquation indéfinie du problème

8. II faut y joindre une condition définie^ spéciale à chaque élément du contour de la projection a de la nappe liquide sur le plan des xy.

Une partie, y, de ce contour, sera dite contour libre. Nous admettrons que le sol perméable y ait été enlevé totalement et, le lit imperméable de la nappe, coupé ou arasé à un niveau uniforme^ plus bas que la surface libre intérieure, de manière à constituer le seuil d^écoutentent de la source dont oii étudie les débits successifs : nous choisirons justement le plan horizontal de ce seuil pour plan des xy ou de repère. En raison de la facilité qu'y trouve l'écoulement par rapport à sa lenteur dans la couche perméable, un instant suffira pour y rendre insensibles, comparativement aux dénivellations A, non seulement l'épaisseur de la lame d'eau débitée, mais, même, les hauteurs h dans tout le voisinage, jusqu'aux points de la nappe souterraine où deviennent modérées ^es pentes tant de fond que de superficie et ou, par suite, s'applique l'équation (2), établie dans l'hypothèse de vitesses presque horizontales. La condition spéciale au contour libre sera donc, à très peu près, h = o.

Nous appellerons )^| le reste du contour, où nous admettrons, pour fixer les idées, que le lit imperméable se relève brusquement et verticalement, assez pour rendre invariable, en projection sur le plan des xyj cette partie y , ou contours-paroi ^ quelles qu'y soient les valeurs variables de h. Le fluide y circulant parallèlement au bord, le flux par unité d'aire, à travers tout élément plan vertical parallèle à )r,, sera insensible,. même si l'on prend cet élément plan un peu dans Fintérieur, là où s'applique l'équation (2). Et l'on aura, en résume, si dn désigne une normale horizontale menée dans ct à d/^ ou à rfjr^i,

ÉCOULEMENT DES NAPPES D EA.U INFILTRÉES DANS LE SOL. iS

les deux conditions ou relations définies

(sur le contour libre y ) h = o,

(sur le contour-paroi -^^ )

dh dn

Quant au débit Q de la source, mesuré de même à travers une coupe verticale parallèle à )(^ et peu distante dans Tintérieur, il sera évidemment K-p(H-+-/i) ou K^H, par unité de longueur du seuil, et vaudra en tout

Il faudrait, toutefois, y laisser subsister h à côté de H, si H s'évanouissait (au moins en moyenne) à Tapproche du seuil, comme A, et

que la pente superficielle ^ s'y exagérât indéfiniment (*).

(') La substitution, au contour réel, d'un contour fictif voisin situé à Tintérieur de la nappe, et où ne s^observent plus qu^à très peu près les circonstances propres aux diverses parties du contour réel, constitue un procédé d^approximation, ayant ici pour but d'éviter ou d'éliminer la considération, qui serait difficile et très diverse suivant les cas, de la composante verticale des vitesses, supposée négligeable dans l'équation indéfinie (2), mais qui, effectivement, ne Test plus au contour, tout au moins près du seuil où surgissent les filets fluides. On fait donc, ainsi, abstraction de perturbations locales compliquées, se produisant à la limite de la nappe.

Il en est, du reste, de même, dans la plupart des questions de Physique mathématique : les conditions définies usuelles n'y traduisent, en général, que l'influence d'ensemble, ou dominante en chaque endroit, des circonstances extérieures, sur le corps ou le système considérés; et elles négligent à dessein une infinité de détails, tenant à leur agencement ou, comme on dit, au mode d'application des actions exercées du dehors. Les géomètres avaient déjà fait, expli^ citement, cette remarque dans la théorie de l'élasticité, notamment pour les forces de compression, de traction, de flexion, de torsion, etc., appliquées vers les extrémités des tiges et au contour des plaques : mais elle s'étend à bien d'autres phénomènes*

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§ III. — Lois du mouvement et débits de la source en temps de sécheresse, c'est-A-dire quand les pentes de superficie se trouvent beaucoup plus faibles que ne sont (du moins prés du seuil de la source) celles du fond.

9. Les équations (2) et (3) sont quelque peu accessibles sous certaines conditions, mais surtout dans les deux cas extrêmes d'un seuil ou très haut, ou très bas, c'est-a-dire de dénivellations h soit négligeables par rapport aux profondeurs H de la nappe sous le seuil, soit, au contraire, très grandes en comparaison de ces profondeurs H.

Le premier cas, qui se présente en temps de sécheresse et avec un sous-sol concave, est de beaucoup le plus simple. Le binôme H -f- A, dans (2), y est réductible à sa partie connue H; et le système (2), (3) d'équations, alors linéaire, est celui du problème classique du refroidissement d'une mince plaque plane, à bases o- imperméables, limitée par un contour ayant sa partie y^ maintenue à la température zéro, mais le reste, y 1, imperméable à la chaleur comme les bases. L'expression de h s'y réduit plus ou moins rapidement à la solution simple fondamentale de Fourier, dont la forme est CU ^~*', avec C constante arbitraire dépendant de l'état initial et LI, a quantités essentiellement positives, l'une, U, fonction de x et de^, l'autre, a, constante, exclusivement dépendantes, toutes deux, de la configuration géométrique du sous-sol et de la perméabilité du sol (*).

Le débit Q de la source est, par suite, d'après (4), proportionnel à Ce"*'. On peut y appeler coefficient de tarissement le coefficient a du temps / dans l'exponentielle, analogue au coefficient d'absorption ou d'' extinction de la lumière (mais dans l'espace ou pour une certaine épaisseur traversée) des milieux optiques opaques ou translucides. II exprime, pour chaque ordonnée h de la surface libre au-dessus

(^) On peut voir, sur ce sujet capital des propriétés de la solution simple fondamentale, dans le problème du refroidissement, les pages 25j à 255 du Tome I de ma Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie avec la Thermodynamique, etc.

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. fj

du plan horizontal du seuil de la source, la vitesse de décroissement de son unité actuelle de longueur.

10. Quand, par exemple, (x, K, H étant constants, le plan de la nappe se réduit, en outre, à une bande indéfinie, de largeur L, comprise entre deux bords a; = o» a; = L, dont le premier est le contour libre j(^ et, le second, le contour-parcîi )(^,, avec circonstances initiales pareilles sur toute la longueur, la coordonnée x figure seule dans les équations : on est ramené au problème du refroidissement d'une barre prismatique homogène, latéralement imperméable, de longueur L, ayant son extrémité a? = o plongée dans la glace fondante et son autre extrémité, a: = L, imperméable à la chaleur comme ses faces.

Alors on trouve immédiatement, pour la solution fondamentale et

pour le débit q = KH(^ j par unité de longueur du seuil, les formules

(5) U = sin^, a = ^, 9 = ^Ce-^ = ^KH^ = ^KHI,

hj^ désignant la dénivellation h maxima, celle (Ce~*^) qui se produit à la ligne de faite a? = L de la bande, et, par suite, I désignant la pente moyenne de superficie de la nappe, quotient de h^ par la largeur L. Le débit de la source vaut donc ^ir = i ,5708 fois celui, KHI (par unité de longueur du seuil), qui se produirait si la pente de superficie avait, près du seuil, sa valeur moyenne générale I relative à toute la nappe et à Tépoquc considérée /.

Quant au coefficient de tarissement, a, il est, d'après la deuxième formule (5), proportionnel à la profondeur H de la nappe et inverse du carré de sa largeur L.

11 . On peut qualifier de bonne une source dont le débit se conserve longtemps, c'est-à-dire dont le coefficient a de tarissement est très petit, et d^également bonnes deux sources où ce coefficient a la même valeur : la seconde formule (5) montre que la profondeur H (au-dessous des seuils), de leurs bassins respectifs d'alimentation, supposés de structure pareille, y est proportionnelle au carré L* de la largeur ou

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étendue relative de ces bassins. De plus, si Ton y observe, au début, des dénivellations totales h„^ identiques, ces dénivellations Ce~*' restent égales à toute époque; et les débits respectifs q y sont sans cesse entre eux, d'après la troisième formule (5), comme les rapports correspondants Y"» ou (en abstrayant le facteur pareil —- j comme les racines

carrées y/H des profondeurs. Autrement dit, la source à bassin d'alimentation le plus profond donne le plus grand débit, les profondeurs étant comme les carrés des débits (par unité de longueur) simultanés.

Il en sera de même pour une forme quelconque du plan de la nappe et pour des profondeurs H quelconques, données en fonction de x et de y, pourvu qu'on passe d'une nappe à l'autre et, par suite, d'une source à l'autre, en multipliant les dimensions horizontales de la première nappe, ou les coordonnées Xj y de ses divers points, par un même nombre /c, et les profondeurs H correspondantes par son carré A^^ En effet, les équations qui régissent U et a, savoir

(KHg).^(KH^)=-^U,

(surx) U = o, (surxi) ^ = o,

et où rfx, dy^ dn^ H deviendront partout kdx^ ^dy^ kdn, /c^H, continueront visiblement à être satisfaites par les mêmes systèmes de valeurs de U et de a. L'expression de h se conservera donc, dans le passage de la première nappe aux points homologues de la seconde; et les deux sources correspondantes seront également bonnes.

Les pentes de superficie -j- varieront, de l'une à l'autre, avec les

éléments linéaires dn^ ou seront divisées par /f ; et les débits par unité

de longueur, KH^> se trouveront multipliés par /c, ou, les débits

élémentaires KH-^d-^j qui ont le facteur linéaire horizontal d-^ en

plus, multipliés par /r* et ainsi proportionnels aux profondeurs H. Tel sera donc aussi le rapport des débits Q totaux.

Gela posé, considérons, pour les deux sources également bonnes

ECOULEMENT DES NAPPES D E.VU INFILTREES DANS LE SOL. JQ

dont il s*agit, le rapport u> dont la petitesse comparativement à

l'unité est supposée par la théorie actuelle ; ce rapport y sera en raison inverse de H ou du débit total Q. Et si Tune des deux sources est très forte, c'est-à-dire pourvue d'un débit considérable, le rapport u s'y trouvera incomparablement plus faible que dans l'autre,

supposée de débit modéré. On pourra donc négliger, dans la première, les dénivellations h comparativement aux profondeurs H, ou y employer des relations comme (5), bien avant de pouvoir le faire dans la seconde. Or les sources que l'on capte pour le service des grandes villes sont, en général, exceptionnellement fortes. Il doit donc arriver souvent que les formules simples de ce paragraphe leur soient applicables, même en dehors des temps de sécheresse, ou peu après la cessation des pluies. Leurs débits normaux de la période d'été admettraient ainsi l'expression approchée simple Ae~"^

Tel parait être, notamment, d'après une soigneuse étude de M. Maillet, le cas de la source de Cérilly, l'une des principales de la Vanne, qui alimentent Paris où elles sont amenées sur la rive gauche de la Seine.

Une autre de ces sources de la Vanne, celle d'Armentières, également étudiée par M. Maillet, semble devoir, quoique supérieure à celle de Cérilly pour le volume et la constance, exiger la formule moins simple de débit annoncée au n^ 4, et où l'inverse du carré d'un sinus hyperbolique remplace l'exponentielle décroissante, à moins (plutôt) que, pour une source aussi forte, à longue éçolutiony le second terme simple de la solution de Fourier ne reste sonsible plusieurs mois et ne donne à O la forme Ae *'-+- Bc~P'.

§ IV. — Influence, sur le débit, de petites pluies successives*

12. Supposons qu'une chute de pluie, uniforme sur tout le bassin, soit venue, à l'époque 6, c'est-à-dire un certain temps ^ — 6 avant l'époque actuelle ^, alors que le terme principal ou asymp to tique de h était CUe~*®, ajouter presque instantanément à toutes les ordonnées h un petit accroissement commun y).

Prenant Tétat d'alors, CUe^-^^-H. . .-f-y], comme nouvel état initial Aq, nous aurons, pour expression asymptotiquc de /raux époques

20 J. BOUSSIMESQ.

ultérieures, le produit de Ue~*^^~^' par la nouvelle valeur, L , de a constante arbitraire. Or, une méthode d'élimination due à Fourier, bien connue, montreque C sera le quotient, par le carré moyen de U sur toute l'aire a, de la valeur moyenne du produit UA^ sur la même aire, et que ce quotient vaudra, ici, Ce~^^-h iy), si i désigne le rapport

de la valeur moyenne de U à celle de U- (soit, par exemple, ~j dans

le cas simple ci-dessus d'une bande indéfinie, où la valeur moyenne de

sin ^ est - et celle de son carré i )• Les valeurs ultérieures de A,

asymptotiques ou relatives à t assez grand, seront donc

11 est clair que d'autres accroissements uniformes analogues Y)', Y]", . . ., survenus à des époques ô', ô'', . . . postérieures à 6, ajouteront, de même, au coefficient de l'expression asymptotique ultérieure de A, de nouveaux termes trfe^^j tY]"e*^", ... ; en sorte que l'on aura, pour calculer les valeurs asymptotiques définitives de h, portant la trace de toutes les petites pluies venues de loin en loin alimenter la nappe, la formule

(6) h = \][Ce-^ H- tSY)e-*('-^^].

Et le débit Q de la source, d'abord proportionnel à Ce"*', le sera désormais à la somme

A mesure que t grandit, le terme correspondant à chacune des pluies successives s'évanouit peu à peu, comparativement à ceux qu'introduisent les pluies récentes, pourvu toutefois que celles-ci ne soient pas évaporées avant d'avoir atteint la nappe souterraine (*).

(^) C'est ce qui, dans la saison d'été, leur arrive le plus souveat, comme il a été dit au n^ 1.

ECOULEMENT DES NAPPES D EAU INFILTREES DANS LE SOL. 2l

§ V. — Mise en compte de la capillarité.

13. A une seconde approximation, il y aurait lieu de tenir compte de la réduction, que j'appellerai J^, éprouvée par la pression/? et par la charge ç, dans la nappe, à raison de la tension superficielle de l'eau sur chacun des innombrables ménisques capillaires constituant la surface libre souterraine, réduction uniforme et invariable, dans le cas d'un sol homogène, pour le moins autant que l'est, aux profondeurs supposées, la température elle-même, et fonction déterminée de X et de y, au même degré d'approximation, dans un sol ayant sa structure variable d'une verticale à l'autre. On aurait donc, non plus ç = A, mais ç = A — Ç; et il conviendrait de prendre ç, au lieu de A, comme inconnue ; ce qui laisserait subsister entièrement, en (p, la forme de l'équation indéfinie (2), sauf la substitution, à la fonction donnée H, de la fonction analogue H h- Ç. Car la hauteur H •+- A des volumes prismatiques élémentaires mouillés deviendrait H h- 21 h- ç.

Il est visible que la relation spéciale au contour-paroi j(^, resterait

aussi la même, ou serait -3^ = o.

' an

Mais la condition relative au contour libre -^ serait généralement rendue plus complexe par l'intervention de l'action capillaire aux surfaces libres y existant. Il semble toutefois possible de supprimer cette intervention au moyen d'un certain dispositif d'orifice, savoir, en prolongeant vers le haut le sous-sol au-dessus du seuil, à part une fente horizontale allongée, de faible hauteur^ mais non capillaire. Alors, la pression p intérieure se trouvant sensiblement nulle à l'orifice, ou plus forte de Ç que sous la surface libre souterraine, l'écoulement sur le seuil exigera une altitude de celle-ci, dans le voisinage, excédant de Ç l'altitude du seuil ; et la condition relative au contour hbre y^^ ou concernant les parties, contiguës à f^^ de la nappe infiltrée, sera sensiblement h = X,^ c'est-à-dire <p = o.

Rien ne sera donc changé à la forme des équations du problème ni, par suite, à la solution, sauf toujours la substitution, partout, de H -h !i à H, jusque dans la hauteur de la section fluide intérieure, verticale et parallèle à y^^ fournissant le débit Q de la nappe.

§ VI. •— Régime moins simple qui tend à s'établir en hautes eaux, quand les pentes du fond sont, au contraire, négligeables comparativement à celles de la surface.

14. — Après avoir étudié le cas simple de dénivellations h très petites par rapport aux profondeurs H de la nappe sous le plan horizontal du seuil de la source, considérons le cas, opposé, où le fond imperméable se confondrait avec ce plan horizontal et où, par suite, H s'annulerait. On pourra efleclivement, sans grande erreur, durant les périodes de fortes eaux, admettre qu'il en soit ainsi, quand la majeure partie de la nappe liquide se trouvera au-dessus du plan horizontal du seuil, sans que le sous-sol ait une forme très convexe.

Les équations (3) et (3) deviendront, en multipliant par 2 la première,

\ dh

\ (sur le contour libre y ) h = o, (sur le contour paroi y , ) — = o.

L'équation indéfinie n'étant pas linéaire, l'intégration générale de ce système parait inabordable. Aussi nous bornerons-nous à lui chercher une solution particulière, celle qui exprimera la forme vers laquelle tend la surface libre, s'il lui arrive de se régjer comme dans le cas précédent, c'est-à dire de garder très sensiblement, après une période préparatoire plus ou moins longue, d'invariables rapports entre toutes ses ordonnées /i, ensemble décroissantes. Comme, d'une part, nous obtiendrons une telle solution, du moins pour les contours y , y, de nappe les plus simples, et que, d'autre part, l'expérience semble indiquer la réalisation assez rapide d'un même régime à partir d'états initiaux quelconques, ou, par suite, la convergence de toutes les intégrales particulières vers une forme commune ^ il est clair que la solution, relativement très simple, à laquelle nous parviendrons, ou exprimant un mode d'écoulement qui se conserve, ne pourra pas différer de l'intégrale de régime cherchée; car elle sera tenue de la reproduire

finalement avec une approximation indéfinie el^ cela, sans awc^^/^e altération de sa propre forme, puisqu'elle n'en éprouve pas. Nous démontrerons d'ailleurs sa stabilité, en faisant voir qu'elle est effectivement une sorte ai asymptote^ à laquelle aboutissent physiquement très vite toutes les intégrales qui en différaient peu initialement.

13. Prenons pour état initial cette forme limite que nous appellerons Ao> censée acquise ainsi par la fonction h au bout d'un certain temps; et, en comptant désormais t à partir de la fin de ce temps choisie comme nouvelle origine, nous aurons pour h le produit, AoT, de la fonction h^ de x et dey, par une fonction, T, à valeur initiale i , du temps / seul. Or, l'équation indéfinie ci-dessus, la première (8), divisée par [JiTA, c'est-à-dire par [jlT^Ao, dévient alors

Ses deux membres, indépendants, le premier de x et dey, le second de /, se réduisent nécessairement à une constante — 2a. L'on a donc, d'une part, grâce à une intégration immédiate,

(9) ^ = î4-ar, ou T = — î— , h =

l4-«^ l-ha^

et, d'autre partj pour déterminer, avec a, la forme de A^, le système d'équations

(sur le contour libre y^ h^ = o, (sur le contour-paroi y ,) ^ = o.

Les flux K^//, ou ^R//o^)t% à travers l'unité de longueur de

coupes verticales quelconques faites dans la nappe, seront tous proportionnels à T*. Par suite, le débit Q du seuil ou de la source décroîtra comme l'inverse du carré (1 -h oLty.

16. — Pour fixer les idées, supposons que, [x, K étant constants et la coordonnée y disparaissant des équations, le plan de la nappe soit,

comme au n** 10, la bande, de longueur indéfinie et de largeur L, comprise entre le seuil rectiligne a? = o et la crête parallèle a? = L, thalweg el faite où l'on aura ainsi, respectivement,

K = o et ^»=o.

En vue de simplifier nos équations, posons

formules où Ç, yj seront, pour tenir lieu de x et de A^, une nouvelle variable indépendante et une nouvelle fonction, croissantes toutes deux de o à i, où, par conséquent, M est la valeur de h^ pour a; = L, et où, enfin, c désigne une constante positive, convenablement choisie. Le système (lo), dans lequel les dérivées pourront s'indiquer par des accents, deviendra

(pour i = o) Y] = o, (pour i = i) r{ = o et v] = i.

Multiplions l'équation indéfinie par yjyj'rfÇ ou par y) rfy] et intégrons, en tenant compte des conditions relatives à ^ = i . Nous aurons l'équation différentielle première du profil de la surface :

d'où

(i3 bis) ^ = -^4j

Et une deuxième intégration, effectuée, après séparation des variables, à partir de la limite inférieure ^ = o où yj s'annule, donnera l'équation finie du même profil :

ÉCOULEMENT .DES NAPPES d'e.VU INFILTRÉES DANS LE SOL. 25

L'abscisse proportionnelle ^ de la surface libre est donc une certaine intégrale elliptique de Tordonnée analogue y]. Enfin, comme ?, r\ atteignent en même temps leur limite supérieure i , la constante c a, d'après (i4)) la valeur

Pour la calculer, posons y) = y^; ce qui, transformant l'expression de c en K I Y (i — y)* rfy, donne l'intégrale eulérienne 4 B ( ^ ? - h

egaleaij^ll^oua^j^ On a donc

(i6) c= — =^ =0,86236 environ,

le calcul numérique s'effectuant, finalement, par la Table de Legendre pour les logarithmes décimaux de T(n)^ dans l'intervalle des deux limites n = 1 et n = 2.

11 n'y a ainsi, pour Téquation de la nappe entre les deux coordonnées relatwes ?, y), qu'une forme unique (sans aucun paramètre variable) qui assure sa propre conservation aux diverses époques t. Et, en effet, l'on rend indépendante de la donnée M l'expression, h^T ou

de /^, en l'écrivant, grâce à la dernière relation (i 1), ^o t^ (" "*" ^ ) ' et en posant - + / = t ou reculant de -, dans le passé, l'origine des

temps t que l'on désigne alors par t. Il vient, d'abord, pour la dénivellation A, et, ensuite, pour sa valeur maxima actuelle (correspondant à yj = i) que nous dénommerons /k,«, les formules

17. Ce résultat s'étend au cas plus général des équations (10).

Journ, de Math, (5« série), lome X. — Fasc. I, 1904. 4

:î6 j. loussinesq.

Eflectivement, on remarque, en divisant la première de ces équations par a^ elles deux autres para, qu'elles ne contiennent plus, au lieu

de fiQ et de a, que leur rapport mutuel — • Appelons, par exemple, Çce

rapport, fonction de x et de y, que l'analogie avec le cas particulier traité ci-dessus porte à regarder comme unique, mais qui, de toute manière, est indépendante de la hauteur initiale M de la nappe : et, d'une part, X, vérifiera les équations

(surle contour)^) C = o, (sur le contour/^,) -p = o;

d'autre part, la substitution à /de la nouvelle variable t pour exprimer le temps, donnera à la dernière relation (9), la forme

La comparaison de cette formule à la première (17) montre que la fonction X, y avait la valeur ji^j^yj.

18. Il serait désirable d'obtenir l'expression de ^ pour des nappes moins spéciales qu'une simple bande indéfinie de largeur L, notamment pour une nappe de révolution autour de l'axe des ^, adossée à un rebord ou faite circulaire, et se déversant peu à peu sur un seuil ou thalweg concentrique à ce rebord. Comme alors [jl, K, J[ sont supposés dépendre seulement de la distance r à l'axe, exprimée par \/^'^H-y^, l'on a

K^±^--^^(x y) ^d(a:,y) ^ /• dr V^'^^'

d(x,y)y^d{œ,y)) r dr\r dr)'^\r dr )'

et l'équation indéfinie (18) devient

1 d /|.^ dX Y

''•('^'•':§)'=-(i'Kr.)rf(^).

Or, on ne lui voit d'intégrale première formulable que si le produit

(jiK/-^ est constant : cas où il vient, en posant Ç = — y], c'est-à-dire en

appelant M la hauteur initiale h^ maxima, qui se produit au faite (où Y] aura sa dérivée en r nulle et vaudra dès lors i),

(ao)

XX dr* ~ 3 M n

. En général, le rapport — sera le produit d'une de ses valeurs, que

nous appellerons —, par une fonction donnée, essentiellement positive,

(rr(r)*, de la distance r à l'axe, fonction où l'on peut faire cT(r) > o. Cela posé, partis du thalweg pour cheminer le long d'un rayon en allant vers le faite, introduisons, au lieu de r, une variable indépendante positive Ç, d'abord nulle, définie de proche en proche par l'équation différentielle

où l'on aura à choisir la longueur constante L de manière que $ atteigne la valeur i, comme yj, à l'instant même de l'arrivée au faîte. Si nous

appelons c la constante \/^^-*r » s^î^^si définie par une formule toute

pareille à la troisième (i i), la relation (20) deviendra identiquement, en Y] et 5, l'équation différentielle (i3). Et, comme les conditions adjointes seront encore y) = o pour Ç = o, yj' = o et tj = i pour Ç = i , l'équation finie entre Ç et yj sera toujours (i 4)? avec la valeur numérique (16) de la constante c.

Mais il ne faudra pas oublier que cette extension, à une nappe de révolution, de l'intégrale obtenue pour une nappe cylindrique à

génératrices horizontales y implique la constance du produit (xKr^ à toute distance r de l'axe.

Si, en particulier, le rapport - des deux coefficients définissant la

perméabilité du sol est invariable, ces deux coefficients physiques de la masse filtrante devront être inverses de la distance r à Taxe, ou la perméabilité croître, à l'approche de Taxe, inversement à l'aire des cylindres circulaires verticaux constituant les sections d'écoulement, pour que les formules simples ci-dessus s'appliquent. Et comme l'on aura . alors ts{r) = i, L sera la largeur de la bande liquide annulaire, ou la distance du faîte au thalweg.

Du reste, le cas d'une bande rectiligne de longueur indéfinie, avec K, [X constants, se trouve compris dans celui-là; car il suffira, pour l'obtenir, de supposer infinis les deux rayons du faîte et du thahveg, sans que leur intervalle cesse d'être fini.

19. Reprenant un instant cette première hypothèse d'une nappe à fond rectangulaire de longueur indéfinie, j'appellerai A, par unité de longueur, le volume initial apparent (c'est-à-dire y compris la terre ou le sable interposés) de la nappe liquide. Il équivaut à l'aire de sa section verticale faite suivant les x. Or, décomposons cette section en minces bandes horizontales, de dimensions L — xeidh^, ouL(i — ?)etMc?y].

Elle aura pour valeur — / (c — c$)6?y); et il viendra, à raison de

l'excédent de (i5) sur (i4), puis grâce à une intégration par parties évidente, dans laquelle s'annule le terme intégré,

(22) { d'où

MO C A f\ ^* A

La crête de la nappe est donc, au-dessus du seuil, à une hauteur h^ valant 1,2935 fois la hauteur moyenne, quotient de l'aire ou du volume (A initialement) par la largeur L.

Si nous éliminons maintenant M, par la dernière formule (22), de l'expression (11) de a, coefficient qui exprime ici la vitesse — T', initialcy de décroissement des ordonnées h par unité de leur longueur, il vient

/ ox 9c' KA w KA

Ce coefficient prend ainsi (à partie facteur numérique 9c' ou 5,772 remplaçant le carré plus grand i:^) la forme, (5), qu'il avait dans le cas d'une nappe profonde, étudié d'abord, où le volume apparent A, alors peu variable, égalait sensiblement le produit LH. Mais la fonction T, dans A, était e~"^, ou l'inverse de e*' et non, comme ici, de I -H a/; en sorte que ce coefficient a de décroissement relatif s'appliquait à toutes les époques positives t et méritait le nom de coefficient de tarissement : il ne s'applique ici qu'à l'instant / = o.

Le débit de l'unité de longueur de la nappe, à travers la section verticale d'abscisse rr, est K^A, c'est-à-dire, d'après (17), 41/ g ^^S ou 3^^ g v^i — yj' en vertu de (i3 bis). Sur le seuil, où yj s'annule, on

aura donc successivement, vu la seconde relation (17), pour ce débit, qui est alors celui de l'unité de longueur de la source alimentée par la nappe :

où I représente Ir pente superficielle moyenne de la nappe, quotient de la hauteur actuelle h„^ par la largeur L. On remarquera que cette expression de q reviendrait à celle, {uKIH, du cas plus simple examiné précédemment et auquel s'applique la dernière formule (5), si

l'on prenait ici, comme section H, la fraction — (les j^) de la section

maxima h^-

§ VII. — Stabilité de ce régime.

20. Il resté à s'assurer que la forme primitive, arbitraire^ de la nappe tend effecVwement à se régler, c'est-à-dire qu'un véritable

3o J. BOUSSINESQ.

régime existe ; et il y aurait lieu aussi àe voir quelles fractions ou de la hauteur, ou du volume, primitifs, qu'on peut supposer connus dans chaque cas, subsisteraient encore au moment où le régime pourrait être censé atteint, fractions équivalant précisément aux données M ou A des formules ci-dessus. Nous démontrerons seulement l'existence du régime ou, en d'autres termes, sa stabilité.

Supposons, à cet effet, que la forme initiale de h présente, par rapport à une de celles, A©, qui se conservent, d'assez faibles écarts pour permettre de négliger leurs carrés dans les calculs. Prenant le cas général des équations (8), (9), (18) et (19), soit ^ ce que seront devenus

les écarts en question, ou ce que vaudra h — A^,T, après un temps t modéré, laissant encore e petit. Je n'appelle pas simplement e la différence h — AqT, mais je lui attribue celte forme, en apparence moins simple, pour que, dans le second membre de l'équation indéfinie (8),

les expressions K -77-^^ — r > donnent, chacune, un seul terme où figure e,

terme qui sera en ,. ^ . et non, de plus, un terme en e non différentié,

qui compliquerait notablement ce second membre.

Les expressions de h et de h^ seront alors respectivement, avec nos

notations, l'une, AoT -h -J. l'autre, /iJT«-h 2^^T£ ou AJT«4- 2aT£; et

réquation indéfinie (8), divisée, après suppression de» termes où ne

figure pas e, par 2aT, c'est-à-dire multipliée par -> §era

21 . Si nous adoptons provisoirement comme variable indépendante, au lieu du temps t, son logarithme naturel logT, que nous appellerons 6, cette équation indéfinie en e deviendra

Complétée par les deux relations définies, évidemment déduites

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTREES DANS LE SOL. 3l

de (3),

I£ ^ o (sur le contour libre yQj — == o (sur le contour paroi 5(^,),

elle nous ramène, comme dans le cas simple de dénivellations h négligeables devant les profondeurs H, au problème du refroidissement d'une plaque plane, encore à bases a imperméables, avec contour ^ maintenu à la température zéro et contour y, imperméable, mais d'une

conductibilité, K, et d'une capacité calorifique, y> tout autres qu'alors.

En appelant 60 la valeur initiale, log -> de 6, soient : CV^"^^-^»^ la

solution simple fondamentale de ce nouveau problème de refroidissement; e""P'^*"^'' l'exponentielle de la solution particulière (simple ou composée de plusieurs solutions simples) venant après la solution fondamentale; enfin, e^j la petite fonction de x et de y qui exprime les valeurs données de e pour 6 = ô^. Comme on pourra, en modifiant le coefficient a auquel sont proportionnelles les valeurs initiales de la solution réglée h^T^ faire varier, pour l'état initial donné, les valeurs correspondantes i^, de quantités en raison directe du changement même de a, rien n'empêchera de choisir a par la condition d'annuler

l'intégrale JNt^dts^ c'est-à-dire le coefficient G de la solution fondamentale. L'expression dee commencera donc au terme en e~^'^^^'\ que l'on pourra, si W désigne, dans chaque cas y une fonction de a; et At y généralement comparable à l'unité, écrire eoWc~^^^^*- : ce sera l'expression asymptotique ou la partie principale de e. Et la substitution, à 6 — 60, de logT -H loga, ou de log(i -t- a^), donnera

(28) e = (environ), ^^ ,,».»

22. Les petits écarts^ tendront vers zéro, comparativement à la

partie principale de h, qui est h^T^ inverse de i -h a^, si l'exposant P' excède 1 . Or P' est plus grand que ^ et l'on reconnaît aisément que (3 a la valeur 2.

11 résulte, en effet, de la remarque ci-dessus, touchant la possibilité de faire disparaître, de e, le terme fondamental CVe~^^"®«\ par un choix convenable du paramètre a, que nous connaissons déjà, implicitement^ une solution particulière des équations (26) et (27). Car, dans le problème à l'occasion duquel se sont présentées ces relations,

les petits écarts, => les plus simples qu'on puisse imaginer, d'avec une première forme se conservant /io=- = u-H-n , consistent dans

l'excédent, sur cette première forme h^^ d'une autre infiniment voisine se conservant aussi, et obtenue par une variation infiniment

petite S- du paramètre -• Il vient ainsi, comme écarts =» l'expression

— u--f-n S-;ce qui donne e proportionnel à — -^ ou à ^'^ e~^^^"^»^

Or, comme cette dernière expression a même signe dans toute rétendue de la nappe, elle constitue bien la solution fondamentale ; et l'on peut poser

Donc, l'exposant P', au second membre de (28), excède 2; et la solution h = A^T est stable.

23. Mais la simplicité de ces résultats invite à chercher les autres solutions simples du même problème de refroidissement, c'est-à-dire des équations (26) et (27) en £. Si nous désignons par CVe"P^^"®»4'une quelconque d'entre elles, la relation indéfinie en V, que compléteront

les conditions d'annulation de V ou de ^ au contour, sera

Multiplions-la par ^^ et retranchons-en, multipliée elle-même par V, l'équation analogue en î^*, qui n'est autre que la première (i 8) (n^ 17). En appelant U le quotient de V par J^^, ou posant

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 33

il viendra immédiatement l'équation indéfinie en U :

24. Comme c'est en fonction de *C, non de x et de y^ que la solution fondamentale s'est exprimée simplement, nous n'avons quelque espoir d'obtenir les fonctions U que si elles comportent de même une expression en ^ seul. Nous nous bornerons donc aux nappes pouvant être définies, à chaque instant, au moyen d'une seule coordonnée, r, x', . . ., comme sont les nappes de révolution (n**18), cylindriques dans un

cas extrême. Alors les dérivées -j-, r deviendront --T;r -j-, :; et les

deux produits KÇ^ -r; :> dans (32), s'écriront { ^' -tt ) — 77—^ — r

^ ^ d{xyy) ^ ^' \^ ^wL^ ^(^^. r)J

Cette équation (32), développée en y utilisant l'équation indéfinie (18), employant la notation A, de Lamé pour le premier paramètre différentiel de î^, enfin, divisant par [xJ^, et transposant un terme, prendra ainsi la forme

Or elle ne devient, comme nous le désirons, une équation différentielle en U et J^, sans autre variable, que si l'équation indéfinie (18) en (J

admet une intégrale première reliant l'expression — (A, ^)- à ^ seul.

Nous avons trouvé (n^ 18) que, dans la nappe de révolution, cela a lieu seulement lorsque le produit [xKr^ est constant.

Admettons donc qu'il en soit ainsi. Alors, A|JI se confondant avec

±: ^ et î[ égalant (n** 18) — yj, d'une part, la formule (20) donne

(55b,s) -(A,0* ou -i^-—j = .-—^;

et, d'autre part, l'équation (33), multipliée par^j devient ensuite,

grâce au dédoublement évident d'un terme,

Journ, de Math, {ô* série), tome \. — Kasc. I, 1904, '^

Telle sera réquation différentielle à intégrer, où Ton voit que la va-

riable yj n'est autre que ^, au facteur constant près —

2S. Si l'on met pour U une puissance, y)^, de la variable, le premier membre sera proportionnel à y)^""* et, le second, à rf'^^. Tousles termes sont donc, dans chaque membre en particulier, d'un même degré d'homogénéité : cas où l'on sait que l'équation différentielle s'intègre aisément, en séries procédant suivant des puissances ascendantes, entières ou fractionnaires, de y) ('). Posons

et nous trouverons comme intégrale générale la somme des deux intégrales particulières ci-après, multipliées respectivement par deux constantes arbitraires :

Ces deux séries ont la formule commune

ip(a-+- 3) 'f (a 4- 6) <p(a + 9) ^ "''

où a annule le polynôme (p(a) et admet, par conséquent, les deux déterminations o, — 2.

Quelle que soit la valeur finie attribuée à p, paramètre unique figurant dans les deux polynômes du second degré <p(X),/(X), ou plutôt seulement dans le dernier, la suite infinie (38) est convergente,

(*) Voir, par exemple, le Tome 11 {Compléments, p. 3o5*) de mon Cours rj Analyse infinilcsimale pour la Mécanique et la P/ivsif/ue,

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eaU INFILTRÉES DANS LE SOL. 3:>

à la manière de la série, d'une forme bien connue,

(39) const. 4- T-^- -T-H^-h...-»- -V-^----;

lî 2« 3^ i^

car, dans (38), le rapport du {i -h ly**"* terme au précédent est

ou bien, sensiblement^ en divisant haut et bas pdiV 2 (a -h 3i)*, ordonnant par rapport aux puissances négatives de a-f-3i et supposant finalement i très grand,

(fiobis) \t- , 9 + 3(7-P) ^,, 1 ,^/,l\ , "^ ' ^ L îi(a4-30 2(a-l-3i)* J * \ 2*/ ' '

précisément, sous la dernière forme, comme dans (Sp), où le rapport analogue est, exactement, du moins pour i > i ,

26. Mais il faut tenir compte des conditions relatives aux deux contours -/^ et y , , c'est-à-dire, respectivement, aux deux limites y] — o, y; = f .

Le produit Uy]*, expression de V (à un facteur constant près), doit s'annuler pour y] = o, valeur de la variable qui annule la série (36), mais qui réduit (37), multipliée par yj*, à l'unité. Donc la constante arbitraire affectant (37) dans l'expression de U sera nulle; et il restera comme seule valeur possible de U, à un facteur constant près, la série (36).

Enfin, la dérivée -r- doit devenir zéro à la limite y]=i, où la

série (Sq) et, par suite, les séries (38), (36) sont encore convergentes. Gomme, dans le produit V — y)U , la dérivée de y) en r s'annule, d'après (20), à la limite y] = i, il faudra et il suffira que -r-;»

c'est-à-dire -^ -^^y s'y annule aussi, ou, encore d'après (20), que l'on ait

(^ii) -7- V — "^1* — ^ (^ ^^ limite r^— i).

36 J. BOUSSIMESQ.

Or, la dérivée, en y), de la série (36) est la nouvelle série

OÙ le rapport du i*^*"* terme au precedent devient très sensiblement, pour { assez grand, en utilisant la première expression (^obis) prise

avec anul, — ' — ( r — '—. -h ' J^/ )y]\ c'est-à-dire

et même (si Ton néglige les termes en !, j ^\"~ ' r/\ comme dans la

série

(4D (.î - V) = ' -^ ïï '1' -^ - ^ V* -^ • • • -^ ^ 7 g ^7- V'-^ ••■•

On voit ainsi que, y] tendant vers la limite i, la dérivée (42) deviendra comparable à l'inverse de y'i — r^* et n'aura pas son produit par v^i — Y)' évanouissant, à moins qu'on ne choisisse p, de manière à annuler identiquement tous les termes de la série (42) à partir de l'un quelconque d'entre eux (*). Donc l'équation transcendante

(*) Pour apprécier et comparer de plus près les rapports des termes très éloignés correspondants dans les deux séries (42) et (44)> on peut mettre la der-

2/-1 i::;^ nière expression (43) sous la forme très approchée :— T^'e •'' . Elle signifie

que le rapport d^un terme au précédent, dans la série (42), est sensiblement le

produit du rapport analogue dans la série (44) par l'exponentielle e • '*. Cela étant, si Ton compare, dans les deux séries, les termes éloignés, chacun à chacun, à partir des t'*»"", les rapports successifs de ceux de la première série à ceux de la seconde égaleront tous le premier d^entre eux, multiplié par des exponentielles

totales de la forme e • L'/h-d" JT+^T" u-h»»» "J^ qq l'exposant de e n'excédera jamais une valeur absolue assignable, aussi petite même qu'on le voudra, si Ton prend / assez grand, puisque la série formée par les inverses des carrés entiers

donnant les racines p est, ici,

et toutes les valeurs de p possibles sont celles qui annulent le facteur/(3i), où /désignerait un entier positif (ou, plutôt, non négatif) quelconque. 11 viendra, vu la seconde formule (35),

(46) p = 2 -h «(6i -h 7), où 2 aura toutes les valeurs o, i, 2, 3, —

Quant aux fonctions U correspondantes, ce seront évidemment les polynômes en yj, de degrés 3/ de plus en plus élevés ou à variations de plus en plus rapides, auxquels la série (36) se trouvera ainsi réduite.

L'intégrale générale, formée par la somme de toutes les solutions simples, après leur multiplication par des constantes arbitraires, constituera bien une série infinie en yj^, yj', yj*, . . . (à part le facteur yj^). Mais elle vérifiera néanmoins la condition spéciale à la limite yj = i, car les termes d'un degré très élevé n'y proviendront que des solutions simples d'un ordre très élevé aussi; et, vu la convergence de l'intégrale obtenue, du moins dans le cas d'un état initial continu en y;, elles n'y figureront qu'avec des constantes arbitraires ou coefficients d'importance extrêmement faible, s'évanouissant à la limite.

27. L'hypothèse /(o) = o, ou i=z o, redonne d'abord la solution simple fondamentale

y^'>., \] = \ et V = y)^

Il faudra donc faire «= i, pour avoir la solution simple suivante, celle où la valeur de ^3 est désignée par P' et qui fournira l'expression asymptotique des petits écarts. L'on obtient

est convergente. Ces rapports seront donc tous comparables, sinon presque égaux, au prejnier d'entre eux; et, pourvu que celui-ci ne soit pas nul, les deux séries se trouveront bien du même ordre de grandeur.

'■iS J. BOUSSINESQ.

et la fonction correspondante V=yi^U présente un changement de signe unique entre les deux limites y) = o, y] = i .

Il en résulte, pour l'expression asymptotique = des petits écarts, vu

la proportionnalité de C à y) et en appelant c' une constante arbitraire, la formule

(48) '^ = (sensiblement) ^^^'j^^,,(i - ^ y)»).

Comparés, en un point quelconque de la nappe, à la partie régularisée— ^— de l'ordonnée A, les petits écarts s'évanouissent donc

comme sa quinzième puissance et, par conséquent, très vite, quand le temps t grandit.

28. Avant d'avoir intégré, ainsi qu'on vient de voir, dans le cas d'une nappe cylindrique ou de certaines nappes de révolution, le système (26), (27), j'avais pu obtenir de la manière suivante, pour la racine P', deux estimations (\m n'étaient pas très inexactes. Assimilant X^ à une constante, dans (26), et me bornant au cas d'une nappe cylindrique où la coordonnée y n'a pas à figurer, j'avais considéré l'équation indéfinie (2f)), où (ji et K sont supposés constants, sous les deux formes

qui en font l'équation indéfinie du refroidissement de deux barres ayant, l'une, la conductibilité K et la capacité calorifique [ji, t= ^ = ^ ^,

l'autre, la conductibilité K, = KÇ = K — y) et la capacité calorifique ix.

Et j'avais admis qu'on pût, quant à la rapidité d'extinction des diverses solutions simples, assimiler deux barres où soit (x^, soit K< seraient fonction de x dans cette équation, au cas où leur valeur respective se réduirait à sa moyenne d'un bout à l'autre.

On est ainsi ramené au problème du refroidissement d'une barre homogène de longueur L, ayant une extrémité, a; = o, à la température zéro, et l'autre extrémité, x = h, imperméable à la chaleur,

KCOULEMENT DES NAPPES d'eaU INFILTHÉES DANS LE SOL. 3g

hypothèses donnant, pour former les solutions simples p-P^-^-^V, les formules

(jo) Y = d=sm^^ ~ — , 8=: soit ^^ — 77- > soit ^ — ^tt ^•

^ ^ 2L ^ 4L.» [Xj 4L.* lA

Les valeurs moyennes de (jl< et de K, s'y écrivent d'ailleurs ^ / ~ et K — / yj^Ç; ce qui, vu la valeur (i 1) de a (n°l6), conduit à poser

(5t) p=soiti^i±^\ soit^^i^i^* r\^.

Or, les deux valeurs moyennes de y) et de son inverse se calculent sans difficulté.

Nous connaissons déjà implicitement, par la formule (22), la première, quotient de l'aire A par le rectangle LM, et qui est ^•

Quant à la valeur moyenne de -> l'équation (14)5 différentiée,

donne, en posant finalement yj = y^.

D'ailleurs, d'après (i5), c a, de même, pour valeur

-j\'-\^-yr'dy ou iB(|.i);

de sorte qu'il vient

^^^^) ^--H "ri;—"^ ni)

Et la multiplication des deux formules (oa), (53) donne, en appliquant trois fois la relation d'Euler r(/i)r(i — '0 ~ >

^i^ sin^

4o J. BOUSSINESQ.

Faisons en outre, puisqu'il s'agit de la seconde racine ^, /^= i, et les formules (5i) nous conduiront, pour ^', aux deux estimations ou appréciations de sentiment

(55) ^'=zsoit?-,^- =\'i,'>.\\, soit- ^i:),389.

On voit qu'elles comprennent entre elles la valeur exacte i5, dont la seconde surtout, t5,389, ne s'écarte pas beaucoup.

§ VIII. — Extension du mode d'écoulement qui se conserve i certains cas de fonds courbes, concaves ou convexes, i pentes relativement fortes.

29. Il est intéressant de chercher s'il existe pour la base de la nappe aqueuse, c'est-à-dire pour le sous-sol imperméable, des formes courbes rendant possible, comme le fait sa forme plane horizontale, un mode d'écoulement qui se conserve^ où l'ordonnée h de la surface libre soit le produit d'une fonction h^ des deux coordonnées horizontales x* et y par une fonction Tdu temps t seul. Nous désignerons celui-ci par t, en le comptant alors comme aux n*** 16 et 1 7, pour simplifier les formules, à partir d'une origine (toujours antérieure au début du phénomène) où la fonction T soit analytiquement infinie; et aussi, comme aux mêmes numéros, la fonction /to sera appelée ^, quand nous l'aurons divisée par le facteur constant rendant son équation caractéristique le plus simple possible.

Substituons donc XJÏ kh dans la relation indéfinie (2) du problème (n® 7), puis divisons les résultats soit par ixJ^T*, soit par (x^T. Il viendra

Or, une differentiation en t de ces deux équations isole l'une de l'autre les deux expressions

et les montre, séparément, fonctions de t seul. Comme elles en sont effectivement indépendantes, elles ne pourront que se réduire à deux constantes, dont — a désignera provisoirement la seconde et — A' a la première.

Mais a se réduit à i si l'on divise partout, dans la seconde expression (57), Ç par a, ou si l'on appelle 2^a ce qu'on appelait î^, afin d'extraire un facteur a de l'expression tout entière. Et alors, les conditions qui détermineront ^ concorderont exactement avec les rela- ^ tions (18) (n" 1 7); de sorte que ^ sera la fonction de x et dey étudiée plus haut sous ce nom, fonction essentiellement positive dans les cas où nous l'avons calculée.

Cela posé, k sera le rapport constant de la première des expressions (57) à la seconde ; et l'on aura

(^8; ^^. [icai -/.!:) ^5] +;^[K(H-A-0|]=o.

Or, combinée avec les conditions (^ ou ^ ) =0 sur le contour, cette

équation revient à annuler partout soit la pente (proportionnelle à A, ^) de la surface libre, soit la différence H — /rJ^, dans les deux cas, que nous considérons surtout, de nappes ou cylindriques à génératrices horizontales, oft de révolution autour de l'axe vertical des z.

En effet, dans le premier cas, où (ji, K, H et 2^ peuvent être censés indépendants de y, l'équation (58) revient à poser

K(I1 - k'Ç) f^^ -. const., c'est-à-dire K(H - /f^^ = o,

vu qu'il y aura toujours, ou sur un bord de la surface libre, s'il existe un contour-paroi, ou dans l'intérieur, si tout le contour est libre, c'està-dire constitué par le seuil horizontal des sources supposées, un plan

tangent horizortlal où s'annulera l'inclinaison ^ • Et l'on aura par-

Journ. de Math, (5« série), tome \. — Fasc. I, 1904. ^

[\1 J. BOISSINESQ.

çJlY

lout soil ~ --- o, c'est-à-dire une nappe sans pente superficielle ni

écoulement^ soit H — ^Ç = o, c'est-à-dire H = ^^. Donc, si c'est un mode di écoulement se conservant qui se réalise (ce qui seul nous intéresse ici), l'ordonnée H du fond sera, sur toutes les verticales, proportionnelle à la fonction î^, parfaitement déterminée, de x.

Dans le cas, un peu moins simple, d'une nappe de révolution autour de l'axe des j, cas où (x, K, H, X^ ne dépendent de a? et de y que par

l'intermédiaire de la distance r == yx- -h y- k l'axe, la substitution de

d^ ix y) d^

-r ' à -7-r-^ — : donnera aisément à la relation (5S^ la forme

i ^. [rRcH - ^^)^] ==o; d'où rK(H - K) ^. = const.;

et le fait de l'existence d'un plan tangent horizontal où s'évanouit la dr

dérivée -t-> dans toutes les nappes que nous considérons, obligera

d'annuler encore la constante ou, par suite, soit la pente ^ de la surface libre, avec l'écoulement lui-même, soit l'expression H — A: ^. Donc, l'hypothèse d'un mode d'écoulement se conservant exige l'égalité de H à kX^^ c'est-à-dire, encore, la proporlionnalilé de l'ordonnée H du fond à celle, A, de la surface libre.

D'ailleurs, lorsque le coefficient k de cette proportionnalité de H à Ç sera positif, le fond se trouvera concave, puisque les ordonnées H du fond se comptent de haut en bas à partir du plan des xy^ contrairement aux ordonnées h de la surface libre. Quand ce coefficient k sera négatif, le fond sera, au contraire, convexe ou en relief; et la profondeur d'eau H -h A, ou mieux alors h -h H, sera l'excédent de h sur la valeur absolue de H.

50. En général, pour un contour donné quelconque de la nappe, et la fonction correspondante ^ de a; et de j^ étant censée obtenue, attribuons à la profondeur H, positive ou négative, existant sous le plan horizontal du seuil de la source, la formule

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'e.VU INFILTRÉES DANS LE SOL. /|3

L'équation (58), la seule à laquelle soit astreinte ici H (à part la condition admise de donner partout, dans Tintérieur du contour, à quelque distance du bord, des pentes de fond A, H modérées), deviendra, en H,,

fi(KÉH,).,l(K|.H,).„.

Or cette relation exprime Tintégrabilitc de la différentielle totale (60) d^^ll,K{^dy-p.),

qui, égalée à zéro, fournirait Téquation différentielle des lignes de plus grande pente de la sur/ace libre z = Tî^. Si donc ç = const, est l'équation finie, censée obtenue, de ces lignes de pente, vues en projection sur le plan des xy et invariables, par hypothèse, durant tout l'écoulement, la fonction O sera une fonction arbitraire de ç ou pourra s'écrire 0(?); et l'on aura

- H,K ,^ = ^^ = *ïj);g.. 11, K^ = *(ç) |.

Il en résulte

(io

,.. . 1, 4>'('i) / dx dv

^bi) H. = -^(-,^-ou-^-

\ ciy dx

Ces deux expressions, élevées au carré et puis combinées par l'addition, terme à terme, de deux rapports égaux, donnent enfin, par une extraction de racines carrées, la formule plus symétrique

(61 bis) 11.-—^—-

Supposons, par exemple, la surface libre, de révolution autour de l'axe des z. On aura, comme lignes de niveau X, = const., les cercles parallèles r == vV-f-/"= const., et, comme lignes de pente 9 = const.,

en projection sur le plan des xy^ les rayons r eux-mêmes, distingués les uns des autres par leur azimut 0, ou ayant comme équation

0= const., c'est-à-dire arc tang - = const. Ainsi, d'une part, K, ^ seront fonctions de r, et -j-^ — vaudront -^ Ijfiili ou -j- (cosô, sinô); mais, d'autre part, 9 sera arc tang - et ^-r^-^- s'écriront — ^i» Tî> ou > — ^- Les formules (Gi) deviendront donc

Elles donnent, en résumé, pour H,, le quotient d'une fonction de 6 généralement arbitraire (à cela près qu'elle admet effectivement la période 2 tu) par la fonction, dzKr(A<Q, delà distance r à l'axe. Mais cet excédent, H,, de la profondeur H, sur sa partie kX^ proportionnelle aux dénivellations TJ^, s'annule quand la surface libre a un plan tangent horizontal fou est réduite à zéro la dérivée —;]; car, si l'on ne

posait pas alors $'(ô)=:o, la profondeur /r^-hH^ serait infinie, par sa partie H,, sous le point de contact de ce plan tangent horizontal.

Le même fait de l'annulation de H, se produira dans le cas général de la formule (61 bis)^ si la surface libre possède un sommet où aboutissent toutes les lignes de pente et où le plan tangent soit horizontal. Car, alors, \X s'y annulant et ç y recevant néanmoins toutes ses valeurs, le paramètre différentiel AiÇ s'y trouve infini. On devra donc avoir identiquement 4>'((p) = o, pour que la partie H, delà profondeur reste finie, sous le sommet, comme l'autre partie A*^.

La fonction 0'((p) serait encore nulle, ce qui entraînerait l'annulation de H^, si un plan horizontal était tangent à la surface libre tout le long d'une courbe de contact où aboutiraient les lignes de pente; car dans (61 bis)^ A,Ç, mais non A, ç, s'y annulerait d'une manière continue.

On ne voit donc guère dans quelles circonstances pourrait subsister la partie H,, non proportionnelle à ^, de la profondeur H.

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eaU INFILTREES DANS LK SOL, 4^

31. Déterminons maintenant la fonction T, du temps t, entrant dans l'expression A=:Î[T des dénivellations de toute nappe dont le mode d'écoulement se conserve. Les conditions au contour se trouvant satisfaites à raison des seconde et troisième relations (i8), il suffira de vérifier l'équation indéfinie (2), qui nous a donné les deux (56). Or, grâce à l'égalité respective des deux expressions ('>7) à — A* et à — i, ces deux relations (56), devenues identiques, prennent la forme

(r,3) T' = -T(A- + T), ou ^(,|,+ ') = A(i + i).

Intégrée de manière à rendre ï infini ou ^ nul (comme il est convenu) pour T = o, cette équation donne

Mil

L'exponentielle e *^ devant figurer sans cesse dans les formules suivantes, il y aura lieu de la représenter par une seule lettre et même, souvent, de la prendre, au lieu de t, comme variable indépendante. Elle sera désignée par vp. Nous aurons donc

i'J, = ,>^^; d^où ï- /"•,, A-^-T--^, (65) \ et, aussi,

Les fonctions T, A-+-T seront essentiellement positives, car k et 1 — vp changeront ensemble de signe. Par suite, la dérivée T', égale à — T(A-|-T;, sera négative; et T, A-i-T décroîtront sans cesse, à partir de l'infini qui est leur valeur pour t = o, en tendant respectivement vers les expressions asymptotiques ke~^'^^ A, si A est positif, (— A), (— A)e*^ si A est négatif. On voit que, pour les petites valeurs du temps t, alors que vp est réductible à i — At, les fonctions T, A -+- T se confondent sensiblement avec l'inverse de t, comme cela devait être, d'après la formule (19) (n'^ 17), au début de l'écoulement, où les

46 J. nOUSSINESQ.

courbures de la surface libre sont incomparablement plus accusées que celles du fond. L'écoulement s'y fait donc, à très peu près, comme il se ferait toujours si le fond était plat ou si, k devenant infiniment petit, l'on avait, à toute époque,

I — 'j» ~ /cT et T = ;[•

32. Le débit R(H4-/t)^> par unité de longueur, d'une coupe verticale faite idéalement dans le sol perméable, sera

Si l'on a partout H == As, comme il arrive au moins dans les cas simples, cette expression deviendra

ou variera, avec le temps t, comme le produit T(A-hT), égal à la valeur absolue de la dérivée T'. Le débit de la source sera donc, aussi, proportionnel à T(A -h T), c'est-à-dire à l'expression

Dans les cas, plus compliqués, où la formule (6i) rendrait possible un certain excédent H, de H sur /lî^, l'équation (58), multipliée par d(j et intégrée à la manière ordinaire sur toute Taire œ de la nappe (vue en plan), donnerait néanmoins, en tenant compte de la condition

— = o sur le contour-paroi y,,

(67) j\n§^dy^=./.fKi:§^dy,

Et alors le débit Q de la source, qui est successivement, en ne négli-

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. /l-J

géant pas, dès l'abord, h près du seuil,

Q=jrK(H + /0^rfX = T^KH^^X + T'j^KJ;^./x,

deviendrait, par la substitution du second membre de (67) au premier membre, et, vu enfin la dernière expression (66) du produit T(«- + T),

(68) Q = (^KJ: f, d,) T(* + T) = (jf Kî j^ rfx) ^, (^ ■

Deux conséquences importantes résultent de cette formule. La première consiste en ce que, le débit Q étant fini, alors que la dénivellation T!^, et, par suite, X, tendent vers zéro à l'approche du

seuil, la pente de superficie, proportionnelle à -7^, devra, en compensation, y croître sans limite et ne pourra pas y garder les valeurs modérées qu'elle a dans l'intérieur. C'est le produit 2?^ ^> ou -^3 qui restera fini; de sorte que X,^ sera, près du seuil, de Tordre de la distance au seuil, ou, J^, comparable à la racine carrée de cette distance, comme il arrivait en efl'et (n** 16) dans le profil (i4) de surface libre que nous avons déterminé.

Le premier membre de la formule (67) montre alors que la profondeur H devra (même dans sa partie H, non proportionnelle à ^) tendre vers zéro à l'approche du seuil, ou y devenir comparable à l'inverse

de la dérivée grandissante -- •

La deuxième conséquence est relative à la fonction du temps entrant

dans l'expression de Q, -\ j — -r- \ > fonction dont Vini>erse est le

"^ \ sih -^ /

produit du carré du temps t par le carré du rapport du sinus hyperbolique de V argument — à cet argument lui-même. Quand le

temps T grandit y le débit de la source décroît sans cesse ^ par chacun des deux facteurs de cette fonction; et, pour une même valeur du

48 a. BOUSSINESQ.

temps T, il décroît aussiy parle second facteur, celui où figure le coefficient k de concavité, quand le sous-sol devient plus courbe ou qu'on fait grandir A* en valeur absolue (abstraction /aile, bien entendu, de la partie H, de laprofondeur, partie sans influence sur Q dans le mode d'écoulement qui se conserve). Ce débit est, d'ailleurs, le même, que le fond soit convexe ou concave, pourvu que ses courbures, proportionnelles à /i, soient pareilles dans les deux cas.

Toutefois, pour que ces lois s'appliquent eflectivement, quelque grand que devienne le temps t, il est nécessaire que, même pour z infini, la profondeur H -f- A, ou k^-h H, -h A, ne soit nulle part négative. Il faut donc, si k est positif, ou si h tend vers zéro, que la partie H^ de la profondeur ne s'abaisse nulle part au-dessous de — Aî^; et si A* est négatif, ou si h tend vers — A:Ç, que cette même partie H, ne devienne nulle part négative.

La fonction T et, par suite, l'altitude /i = 2^T de la surface libre, considérées à une même époque t, mais pour deux valeurs de k égales et contraires, l'une, /r', positive, l'autre, — A*, négative, sont entre elles, d'après la dernière formule ((i'i), comme ^"^'^ est à i, ou, par conséquent, plus fortes pour k négatif que pour A^ positif. Ainsi, quand les débits ont mêmes valeurs, la surface libre se trouve plus élevée audessus d'un fond convexe qu'au-dessus d'un fond concave : les pentes de superficie et les vitesses d'écoulement y sont donc plus grandes, en compensation de profondeurs d'eau h-hli moindres (de k'^)^ donnant lieu à des sections d'écoulement plus réduites.

§ IX. — Stabilité, dans ces cas, du régime obtenu,

prouvée par un procédé d'intégration nouveau

en Physique mathématique.

55. Mais pour savoir si la forme A = J[T est encore stable, il faut étudier les expressions, qui en sont voisines, de la fonction h de x^ y et T. Pour la raison donnée déjà au n° 20, nous écrirons ces expressions non pas ^ T -h £, mais bien

((K)) i,^ij^x,H=-^^+X,-^i.

avec e fonction de a?, ^ et t donnée initialement très petite. En outre.

pour éviter une complication paraissant excessive, nous supposerons H, = o, ou les ordonnées H du fond réduites au terme relativement simple /lÎ^, que nous savons les exprimer en entier tout au moins dans les cas les plus intéressants. Il viendra

^ '^ ^ d{x7J) "" (1-4')* d{.r,y) "*" I —4/ dix, Y)'

Alors les relations (2) et (3) (n°* 7 et 8), débarrassées des termes où ne figure pas e, deviennent, grâce, d'ailleurs, à la dernière formule (65),

I (au contour) (£ou-y^j=o.

Gomme l'expression — '}--^,--» ^^ 7. — -:r~' se dédoublerait en

ir 5" ^^ ï ~~d^' ^' ^^^ équations sont celles du refroidissement d'une plaque à faces rayonnantes, dont la conductibilité intérieure^ K^'"'^, la capacité calorifique, t (i — 4*)^ '^j ^^ ^^ conductibilité extérieure, ^ (i — 4*) ~~7 — > varieraient avec ^^ c'est-à-dire avec le temps t.

On remarquera que le coefficient k de concavité du sous-sol est absent du système (70). Donc, dans les nappes de même contour, à fond soit concave chez toutes, soit convexe chez toutes, les valeurs de e qui se produiront, pour des valeurs quelconques de ^ ou du produit /tt, à la suite de valeurs i^ initiales communes, correspondante une même valeur ^j^o de ']/, seront indépendantes des ordonnées H = â:J[ du fond. Seulement, elles se succéderont d'autant plus lentement que la valeur absolue de k sera plus petite, ou que t devra plus varier pour faire éprouver au produit k'z et, par suite, à 4^ = ^~*^j un changement donné.

Lorsque la valeur absolue de k est soit très petite, soit très grande, le produit âtt, pour tous les temps t finis, est lui-même ou très petit, ou très grand. Dans le premier cas, la variable ^ reste constamment

Journ. de Math. (5« série), lome X. — Fasc. I, 1904. 7

5o J. BOUSSINESQ.

voisine de l'unité, tandis que, dans le second, elle reste ou voisine de zéro, si k est positif, ou très grande, si k est négatif. Cette variable vp n'est donc alors à considérer que dans certaines régions du champ total de ses variations, régions fort restreintes même, du moins pour k ou voisin de zéro, ou très grand. Voilà justement pourquoi les deux cas d'un sous-sol sans courbure (§ Vil) et d'un sous sol fortement concave, où h se trouve négligeable devant H (§ III), ont été relativement faciles à traiter. Nous verrons (au n° 45) qu'il s'y joint le troisième cas, d'un sous-sol fortement convexe.'

54. La solution particulière la plus simple des équations (70) s'obtient en prenant la différence de deux formes voisines persistantes de A, savoir XJÏ et Î^(T 4- ST), où l'on ferait, dans la variable t de T, T = To 4- /, et où le paramètre t^ éprouverait l'accroissement élémentaire Sto au passage d'une forme à l'autre; ce qui revient à choisir, comme expression de J^'^e, le produit de Z, par la dérivée de T en t^, identique àT'ouà — T(â:-i-T}. Il vient ainsi, à un facteur constant près, si £1 désigne cette solution particulière, de signe invariabley ou, par conséquent, ançilogue à la ^olxxùon fondamentale d'un problème ordinaire de refroidissement :

Et, en effet, la substitution de cette valeur dans les relations (70), devenues

(au contour) ii^ ou -.— j = o,

les réduit identiquement à celles, (18), qui déterminent (n"" 17) la fonction ^ de a; et de^.

53. Cela posé, multiplions par t l'équation indéfinie (72) et retranchons les résultats, membre à membre^ du produit, par e,, de l'équation indéfinie C70). Il viendra, en appelant u le quotient de £

ÉC0ULBMBI9T DES NAPPES d'eAU INFILTRiIeS DANS LE SOL,

par €,, ou posant

Téquation, indéfinie qui régit u :

Bornons-nous, comme plus haut (n** 24), au cas de nappes soit cylindriques, soit de révolution, où u varie seulement avec ^ et t.

Alors les produits K^»-*^^^ deviennent (kî;^-^) (i^-*^); et

la relation (74)> divisée finalement par (ji^, prend, vu (toujours) l'équation indéfinie (î8) en ^, la forme

36. Or, avec une nappe soit cylindrique, à coefficients K, [jl constants, soit de révolution, mais vérifiant la relation (jLKr*= const., Ç pourra, comme on a vu au n° 24, à la formule (v^3 bis)^ être remplacé par une variable proportionnelle, y], croissante de zéro à i,

et — (A,î^)*, être remplacé de même par 5 — —- • L'équation indéfinie

en u (73), traitée comme Ta été (33), dans le n** 24, pour donner (34), sera donc

Dans le cas extrême d'un fond plat, où k est infiniment petit et où vp, égal à I — ÂTT, reste à toute époque t infiniment voisin de i , le

dernier terme de (76) devient 3y)^t t- ou 3y)^^; et ^Ir, ^ s'éliminent

à la fois de cette équation. Alors elle rentre dans celle du refroidissement de corps ayant leurs propriétés indépendantes du temps; et elle admet par conséquent les solutions simples, familières aux géomètres,

formées en multipliant des fonctions du temps par des fonctions de y]. Comme ces solutions se sont trouvées, au n** 25, développables en deux séries distinctes, suivant des puissances ascendantes de r), et que, par suite, leur ensemble, c'est-à-dire l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles, s'est aussi développé de même, il y a lieu d'essayer si, avec '| maintenant quelconque, l'intégrale analogue, ou générale, de (76), ne serait pas encore développable, par rapport à r\^ en deux séries procédant suivant des suites ascendantes de ses puissances. Les calculs seront d'ailleurs faciles; car l'extrême ressemblance, quant à la variable Y], des deux équations (34) et (76), montre qu'elles présentent, tant dans leurs premiers membres, comparés l'un à l'autre, que dans les seconds, comparés aussi, les mêmes genres respectifs d'homogénéité.

Cherchons donc à composer l'intégrale générale de (76) au moyen de deux séries de la forme

(77) w = AY]*-^By)«-» + Cyi"^*-hDy)«^*4- .. ,

mais avec coefficients A, B, C, D, . . ., fonctions de vp. Nous poserons, au lieu de (35),

formules qui, pour ^ = i, se réduisent, l'une, à la première (35), et, l'autre, à la seconde (35), mais privée de son terme, en ^ — 2, qui provenait du dernier terme de (34) non pareil à celui de (76). Alors la substitution de la série (77) dans (76) conduira, par l'identification des termes semblables en y) dans les deux membres, d'abord, à prendre

(79) ?(^^ 4') ^^ ^j c'est-à-dire a ~ soit zéro, soit — i — ']/,

et, ensuite, à établir entre les fonctions A, B, C, D, ..., de t];, le système d'équations différentielles linéaires

(Ho)

9(a + 3, <j;)B = F(a, -J;) A - 3^ (i - tj.)A', o(a -I- 6, (|;)C = F(a + 3, ^)'B - 3(|;(i - ^)W, j o^a + 9, ^)D = IX« + tJ, ^)G - 3^(1 - vI.)C',

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTRÉES DANS LE SOL. 53

comportant tout autant de constantes arbitraires qu'il y a de fonctions A, B, C, D, ..., savoir, leurs valeurs initiales, relatives à une valeur de t ou de i{/ donnée.

Nous obtenons donc les deux séries prévues, aptes, ce semble, à constituer, par leur somme, l'intégrale générale de l'équation (76), du second ordre en yj.

57. Mais cette intégrale générale se trouve astreinte, ici, à vérifier la condition propre à chacune des deux limites y] = o, yj = i . Or la condition, e = o, relative à la première limite, oblige à y annuler le produit uXj^'^'^^ ou, encore, le produit wyj*"^*, qui s'y réduit en tout au coefficient A de la seconde série, celle où a = — i — ^'^ Donc on aura, dans cette série, d'abord A = o, puis, en vertu de (80), B = o, C = o, D = o, ... Et il ne subsistera, pour exprimer «, que la première série, où a = o.

L'on aura ainsi pour u une valeur de la forme

(81) w = A -f- By]» -f- Cyi« + . . . 4- Gyi«'-« -f- Iy)'' -^ Jy)''^» -4- . . .,

avec A, B, C, . . ., G, H, I, . . ., fonctions de ^ régies, d'après (80) et (78), par les équations différentielles

4(7 -+- ^)G = (i I -^ 2'|)B - ^(i -.^)BS