Il reste à vérifier la condition

. Ht dt di\

A,£=:0 ou -T. r = -7- T7 T=o

* d^œ^r) dri di^x^ r)

à la seconde limite, yj = i. Or, la formule (20) (n** 18) donne, pour la dérivée de y) près de cette limite, une quantité comparable à \/i — yj'* ;

54 i. BOUSSINESQ.

et, d'autre part, ^ est, vu (78), de l'ordre de ^(y)'^*tt), ou de l'ordre même de grandeur de -r-^ L'on devra donc avoir

(83) (à la limite Y] = I ) -^S^ — ^ = ^'

Mais le cas particulier, déjà traité (n^* 26), d'une nappe à fond plat où k est infiniment petit, et que nous venons de retrouver ici en étudiant la fonction plus générale u au voisinage de la première valeur, i ,

de ^j; (valeur qui correspond à t = o), montre que la dérivée ^ devient, au moins alors, comparable, près de la limiter] = i, à l'inverse même de \/i — y)', toutes les fois qu'on ne réduit pas la série à un simple polynôme^ par V annulation de ses coefficients venant après l'un quelconque d'entre euXy ou, pour plus d'exactitude, toutes les fois qu'on laisse une importance assignable aux termes éloignés, quelque grands que deviennent leur éloignementy leur degré en-/].

Il faudra donc réduire le système (82) soit à sa première équation, en posant B = o, soit aux deux premières, en posant G = o, soit aux trois premières, en annulant le coefficient suivant D, etc. C'est ainsi que l'on approchera. peu à peu, à un degré illimité, de la véritable intégrale, ou intégrale générale, du problème (*).

(*) Cela revient évidemment à satisfaire, en toute rigueur, aux équations tant indéfinies que défînies ou concernant le contour, mais à ne vérifier qu^t'/nparfaitement à chaque instant du raisonnement, vu le nombre limité de constantes dont on dispose alors, la condition relative à l'état initial. C^est seulement à la limite, ou grâce à une approximation de plus en plus grande, se réalisant à mesure que le polynôme en t) adopté pour u s'accroît de termes toujours plus élevés, mais de plus en plus faibles, et approche ainsi d'être une série convergente, que la condition d'état initial se trouve pleinement satisfaite.

Le procédé suivi rentre donc dans lé mode d'interpolation, fréquemment employé en Physique mathématique, que j'ai signalé au n*» kW de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (l. II, Compléments, p. SgS*) et dont de beaux exemples, mais d'une autre sorte, ou se rapportant à des questions d'état permanent, dans lesquelles l'interpolation portait justement sur les conditions au contour, avaient été donnés par de Saint- Venant (même Tome, p. 42^*)-

ECOULEMENT DES NAPPES d'eaU INFILTRÉES DANS LE SOL. 55

Dans le premier cas, il vient A' = o ou A = w = const., et la formule (73) redonne la solution simple fondamentale (71).

59. Dans le second cas, les deux premières équations (82) deviennent

et elles donnent à un facteur constant près, vu qu'on peut y annuler, pour ^ = G, A en même temps que B, si Ton fait abstraction de la solution simple précédente u = const.,

On voit bien qu'en n'y faisant pas annuler A pour ^ = o, cette fonction A s'accroîtrait d'une constante arbitraire, et le polynôme en A et B déduit de (81) comprendrait de plus la solution simple précédente u = const.

Pour les petites valeurs du produit At, alors que ^ est à peine différent de I, les deux coefficients B, A exprimés par (84) sont très grands, de l'ordre de (1 — 'j')""; et, par suite, l'expression correspondante (73) de £ l'est, elle-même, de l'ordre de (i — 4*)""*% comme l'indiquait implicitement la deuxième racine, P'= i5, obtenue au n** 27. Mais, ici où k n'est pas nul et où, si d'abord l'on suppose positif, pour fixer les idées, ce coefficient de concavité du sous-sol, ^ tend vers zéro à mesure que 1: grandit, B et A finissent par être sensiblement — ^**

et — 1". On voit donc que la solution simple obtenue pour w, du troisième degré en y), et où les deux coefficients B, A ont signes contraires, donnera une valeur (73) de e s'évanouissant comme ^*^, alors que la partie régularisée Î^T de h sera, d'après la seconde formule (65), C^^ et décroîtra comme ^[; seulement. Ainsi, des écarts J[~*£ exprimés, au facteur près ^~+, par cette deuxième solution simple, s'atténueront, du moins dans le cas considéré d'une forme concave du sous-sol, comme le fait la douzième puissance de la partie réglée ^Tet, par conséquent, incomparablement plus vite qu'elle.

Or cette deuxième solution simple est, nous allons le prouver, bien moins rapide encore à s'évanouir que toutes les suivantes; de sorte que c'est elle qui, comme on pouvait le prévoir, donne la forme asymplotique ou la partie principale de petits écarts quelconques X^'^t. Donc ceux-ci tendent vite vers zéro comparativement à la partie réglée; et la solution régulière J[T se trouve bien stable.

40. Pour la (i-i-i)*^™® solution simple, le dernier coefficient, qui est alors I, du polynôme (8i), résultera de la condition J = o, c'est-àdire, d'après (82), de l'équation

(85) =1^-— — -I; doU I =: 7 ^-TwTÏÏTT^'

à un facteur constant près.

Or un calcul assez simple montre que, dans cette solution spéciale^ c'est-à-dire débarrassée des i premières, que l'on obtiendrait en même temps par l'intégration complète des i équations (82) en G, ..., C, B, A, le coefficient précédant I, savoir G, et, de proche en proche, tous les autres jusqu'à A, sont, aux deux limites '>j; = i et ^ = o, des mêmes ordres, soit de grandeur, soit de petitesse, que I, comme on l'a vu déjà ci-dessus pour A dans les formules (84).

En effet, l'équation en G' et G, par exemple, est de la forme

avec m, /i, P, Q constants et positifs. Elle donne, quand on supprime

son second membre, G proportionnel à J. ^^^^> mais, prise avec son

second membre, et sous la condition d'abstraire la solution précédente en rendant G le plus petit possible (en valeur absolue) pour ^ voisin de zéro,

On remarquera, effectivement, que, pour toute autre solution de l'équation (86), l'expression (87) de G s'accroîtrait d'une intégrale

de cette équation (86) prise sans second membre^ ou obtenue dans l'hypothèse I = o. Un tel accroissement de G et, par suite, ceux qu'il rendrait possibles dans les coefficients précédents . . ., C, B, A, correspondraient donc à des solutions u d'un degré en yj inférieur à 3/, solutions censées connues déjà, et dont on convient, comme il a été dit, de faire abstraction.

Or, pour ^ ou très petit, ou très voisin de i , la quantité sous le signe /, dans (87), est, respectivement, ou de l'ordre de petitesse de r]/""*"*, ou de l'ordre de grandeur de I(i — ^)'"-^'»-^ Et, alors, l'intégrale définie aura l'exposant de ses facteurs ^, accru, au numérateur, d'une unité, mais l'exposant de ses dénominateurs i — ^ diminué, au contraire, d'une unité. Cette intégrale définie serait donc soit de Tordre de petitesse de 14'""*? soit de l'ordre de grandeur de I(i — t^)"^*-". Et G atteindra précisément, dans les deux cas, l'ordre même ou de petitesse, ou de grandeur, de I.

La (i -f- 1)'^°** expression particulière de u devient, par conséquent, dans toutes ses parties (en yj®, y)% y]*, ..., yj"), comparable à la 1(6/ -+• -7 )'«">« puissance de l'inverse de i — ^y quand ^ tend vers l'unité, c^est-à-dire aux premiers instants du phénomène, et comparable à la i(6/-f- Sy^"* puissance de ^ quand ^ tend vers zéro, cVst-à-dire lorsque, le sous-sol étant concave, ou k positif, le temps t devient très grand. La première de ces circonstances est bien d'accord avec la formule (46), obtenue pour le cas d'un fond plat, où '| reste indéfiniment voisin de 1 .

41. Ainsi, quoique les coefficients de l'équation indéfinie varient maintenant avec le temps t, de yériiahles solutions simples continnent à exister, encore distinguées les unes des autres par leur rapidité de variation as^ec y) ou t et, en particulier, d'évanouissement lorsque le temps 'Z grandit, rapidité croissante aç>ec leur numéro d'ordre i -f- i.

Seulement, elles ne sont plus le produit. d^ une fonction du temps par une fonction des coordonnées ; et leur allure est beaucoup moins régulière, ou plus difficile à saisir.

Quant à la solution générale, obtenue en faisant la somme de ces solutions simples après les avoir affectées de coefficients arbitraires, mais néanmoins évanouissants pour celles d'ordres très élevés (au

Journ. de Math. (S* série), tome X. — Fasc. I, igo'j. O

moins dans tous les cas d'un étal initial bien continu), il est clair que ce sera une série en yj®, y)', Y)®, . . ., et que celle série, quoique infinie ou revenant à prendre une infinité d'équations (82), vérifiera la condition spéciale à la limite yj = i , en raison même de Texlrême petitesse des coefficients éloignés, ou de leur évanouissement à mesure que leur numéro d'ordre s'élève.

11 est digne de remarque que les solutions simples, au lieu d'être formées, comme à l'ordinaire, avant l'intégrale générale, se dégagent ici de cette intégrale générale (81), obtenue des l'abord en série, et en soient extraites grâce à un choix, des constantes arbitraires qu'introduit l'intégration des équations (82), assez bien fait pour grouper, justement, ensemble tous les termes à variation également rapide avec le temps T et en constituer ces solutions.

Près des deux limites ^ = 0,^ = 1, tous les coefficients A, B, C, ..., I des termes d'une même solution simple deviennent, comme on vient de voir, proportionnels ou à la i(6«-i- 5)**'"**' puissance de ^, c'està-dire de e""*^, ou à la «(6/ -H r^y^v^^ puissance de l'inverse de i — 4^? c'est-à-dire de t. Et voilà pourquoi les solutions simples étaient les produits d'une fonction du temps par une fonction de yj ou des coordonnées, dans les deux cas extrêmes, traités d'abord (au moins implicitement), de k ou très grand, ou infiniment petit, c'est-à-dire de dénivellations A soit fort petites par rapport aux profondeurs H de la nappe sous le plan horizontal du seuil de la source, soit, au contraire, très grandes à côté de ces profondeurs H.

Chacun des coefficients A, B, C, . . . garde, comme le dernier d'entre eux, I, donné par (85), un même signe pour toutes les valeurs de ^. Car, dans l'expression (87) de G, les facteurs variables ^, i — 4'? P-f-Q^', ... sont tous positifs, tant sous le signe / que hors du signe /. On voit de plus, à raison du signe — placé devant l'expression de G, que ces coefficients se trouveront alternativement positifs et négatifs.

42. Enfin, tous seront algébriques et rationnels en '\ ; car leur formule sera analogue à celle, (87), de G, où I est donné par (85) avec un exposant de 4* supérieur à m et un exposant de i — ^ supérieur à mn-n. Or l'intégrale définie s'y décompose immédiatement en

ÉCOULEMENT DES NAPPES d'eAU INFILTREES DANS LE SOL. Sq

termes de la forme / j—zrr {vri ' P-j ^ y désignant des exposants entiers

et positifs dont le plus grand est v. Et le calcul de ces termes peut se faire comme il suit. Une intégration par parties donne d'abord

d'où

On abaisse ainsi l'exposant [x d'une unité, puis de 2, etc., jusqu'à ce

qu'on arrive à / , tt^tttj dont la valeur est — — ^-^ — -; et il vient

finalement

r '' ^\^(I'l un polynôme a H- />•} -h c}* -h ... -h a"J/H"

Mais si l'on suppose que '^ tende vers zéro, le dénominateur, sous le signe /, se réduit presque à l'unité, et l'intégrale, devenue sensiblement — -j a un développement, suivant les puissances ascendantes de ^, qui commence par le terme — — . Donc le polynôme

a-h^'^-t- . . -^ g'\^ est détruit en entier par les [x -4- i premiers termes du développement de —a{\ — 'J^/ et, le coefficient de ^l**^*

devant être > l'on a

La formule définitive de l'intégrale sera dès lors

8^ J Jo ('--^)'"' (^-+-1 e-'lrV 1^+2 T' IX4--2 fX-t-3 ^