c-T;:(ao-h w, -f-...) -h A(ao-i- w, +. ..), et comme
on a bien
4. Conclusion. -— Comme Z peut êlre aussi grand que l'on veut, on peut donc intégrer l'équation (E) dans le même champ où Ton peut intégrer l'équation (i).
L'on peut intégrer de même, pour \e problème intérieur
ainsi que je l'ai dit dans la Préface de ce Mémoire, où j'ai résumé les résultats obtenus sans dissimuler ceux qui restent à obtenir.
LES FOKGTIOMS ABELIENNES SINGULIERES. 209
Les fonctions abéliennes singulières et les formes quadratiques (*);
Par m. g. HUMBERT.
Dans ce travail, qui forme la troisième et dernière Partie du Mémoire, nous étudions, au point de vue de leurs propriétés arithmétiques, les fonctions abéliennes triplement singulières, c'est-à-dire celles dont les périodes g^ A, g' vérifient trois relations singulières, Fo = 0, F, = o, Fj = o.
L'invariant de la relation xY^^-^- y¥^+ zY^^ o est, en x^ y^ Zy une forme quadratique ternaire positive ; mais ce n'est pas une forme positive quelconque; nous la caractérisons en mettant en évidence ses propriétés fondamentales. Pour simplifier l'écriture nous affectons aux formes de ce type la lettre S,
Si l'on opère sur le système Fo = F, = Fa = o une transformation ordinaire du premier degré, ou si on le remplace par un système arithmétiquement équivalent, la forme S associée reste équivalente à ellemême ; c'est-à-dire qu'à un système correspond une classe de formes S.
Inversement, à une classe de formes S correspondent, en général, plusieurs systèmes non réductibles l'un à l'autre par une transformation ordinaire de degré un; leur recherche est ramenée à l'étude des
(*) Ce Journal, 5° série, l. IX, p. 43,
représentations du discriminant de la classe par une forme quadratique ternaire indéfinie, dont certaines substitutions semblables sont mises en évidence au cours du calcul.
Un système triplement singulier Fo = F,=F2 = o donne, pour ^, A, g\ deux systèmes de valeurs et, par suite, en général, deux systèmes de fonctions abéliennes : appelons point modulaire de Tun d'eux le point de l'espace qui a pour coordonnées cartésiennes les trois invariants absolus de la forme binaire algébrique d'ordre 6, liée aux fonctions abéliennes considérées; nous faisons ainsi correspondre, à une classe de formes Jr, plusieurs points modulaires en nombre limité.
Cette représentation géométrique est la suite naturelle de celle que nous avons donnée dans la deuxième Partie du Mémoire : rappelons en effet qu'à un nombre positif A, de l'un des types 4N e^4N -f- 1, nous faisions correspondre la surface algébrique hyperabélienne d'invariant A; à une classe <p de formes binaires positives, équivalentes à une forme du type
t\{ax'-^ bxy -^' cy-)^ ou du type
/|(aa;^-h bxy ••\-cy^) -1-7%
nous faisions correspondre une ou plusieurs courbes gauches algébriques que nous avons appelées courbes hyperabéliennes ; ici enfin, à une classe de formes /, nous lions un groupe de points défini algébriquement.
Notre représentation possède des propriétés importantes et simples. Ainsi, pour qu'une classe de formes ternaires -£, ou une classe de formes binaires ç, représente proprement un nombre A, il faut et il suffit que la surface associée au nombre contienne les points, ou les courbes gauches, liés à la classe ^ ou à la classe ç considérée.
De même, pour qu'une classe S représente proprement une classe ç, il faut et il suffit que les points liés à la classe S soient sur l'ensemble des courbes liées à la classe ç.
L'étude de l'intersection de deux surfaces ou de deux courbes hyperabéliennes donne aussi d'intéressantes conséquences.
Enfin les ordres de multiplicité, sur une surface hyperabélienne, d'une courbe hyperabélienne ou d'un groupe de points sont liés aux
propriétés arithmétiques des formes; par exemple, si une classe binaire ç représente proprement de n manières un nombre A, chacune des courbes hyperabéliennes associées à la classe est multiple d'ordre n sur la surface associée au nombre.
On voit par là combien notre représentation géométrique est profondément liée aux propriétés des formes quadratiques et quel intérêt il y aurait à en développer l'étude ( * ).
Les numéros de ce Travail font suite à ceux de la Partie déjà pubhée ; pour indiquer un renvoi à un numéro de cette Partie, nous ferons précéder le nombre correspondant du chiffre romain 1.
