TROISIEME PARTIE
Fonctions abéliennes triplement singulières.
Généralités,
80. Les périodes d'une fonction abélienne de deux variables étant ramenées à la forme normale (i, o), (o, i), (^, A), (A, ^'), la fonction sera dite triplement singulière s'il existe, entre g^ A, g\ trois relations singulières, c'est-à-dire de la forme
(i) A,g-^B,h-^C,g'-hD,(h'-gg')-^E,= o,
(2) A,g-^B,h-^C,g'-i-B,(h-^gg^)-^E, = o,
(3) A,^-4-B, + C,ê^'-4-D,(A^-^^')-+-E,=ro,
les Ao, Bo, . . ., Eo et de même les A<, B,, ..., E< et les A^, Bo, ..., Eo étant des entiers premiers entre eux.
On a aussi le droit de supposer sans diviseur commun tous les déterminants tels que (AoB^Ca), (A^B^D.^), ..., (CoDiEj), formés avec neuf coefficients homologues des équations (i), (2), (3) : car, s'il en était autrement, en combinant linéairement ces équations d'une manière convenable, on obtiendrait une ou deux relations analogues, où les cinq coefficients auraient un facteur commun; par suppression de celui-ci, on formerait évidemment un système de trois équations, équivalent au système initial^ et jouissant de la propriété voulue.
Si les dix déterminants (AqB, C2), . . ., (GoD| E^) sont sans diviseur commun, nous dirons que le système (1), (2), (3) est propre.
Désignons par F^, F<, Fjles premiers membres de (i), (2), (3), par x^y, z des entiers quelconques; l'invariant de la relation singulière
¥,+y¥, + zY, = o,
LES FONCTIONS ABELIENNKS SINGULIÈRES. 2l3
qui est une conséquence de (i), (2), (3), est la forme quadratique ternaire en x^y^ z
\ ~4(.D,a;-hD,y-^D,c)(Eo;r4-E,j + E3z),
que nous appellerons hi forme associée au système initial.
L'invariant de toute relation singulière est essentiellement positif (ce Journal^ 5*série, t. V, p. 246); la forme (4) doitdonc êlre définie et positive. Or si l'on pose
^ij = B, By - 2 A,Cy - 2 AyC, - qD, E, — 2DyE„
la forme ternaire (4) s'écrit
(6) Aoa;*-+- A< y^-h Aj^J'-f- aS^i^/-*- 2^02^^ -H- 25^2 j;;;
pour qu'elle soit définie et positive, il faut et il suffit que soient satisfaites les conditions classiques
A,>o, A,Ay-S^>0,
AoA^ Aa -h 2So^ So2S< 2 - Ao Sja - ^^ ^02 - ^'iK, > ^'
81 . Réciproquement^ si la forme ternaire associée au système proposé est positive, ou encore si les conditions (7) sont satisfaites, les périodes g^ A, g'^ que déterminent les trois équations (i), (2) et (3), définissent un système de fonctions abéliennes; c'est-à-dire que g^ A, g' sont imaginaires, et que leurs parties purement imaginaires, gn^n g\) vérifient l'inégalité fondamentale
Observons d'abord que les équations (i), (2), (3) donnent, pour gj A, g'j deux systèmes de valeurs; si donc on regarde g^ A, g' comme
2l4 G. HUMBERT.
des coordonnées courantes cartésiennes, les trois quadriques représentées par les équations Ti) (2) et (3) se coupent en deux points, M et M', à distance finie. D'ailleurs toute relation singulière
A^ -I- B// -I- Cs{-^ D{h^ - gcr') -4- E = G
représente une quadrique réelf£, passant par la conique à VinRni réelle située sur le cône A' — gg' = o; la quantité B^ — 4 AC — 4 DE, invariant de cette relation, étant positive, la quadrique est un hyperboloïde à une nappe. Donc, les inégalités (7) expriment que toutes les quadriques du réseau .xF^ -h-yF, -1- z¥^ = o sont des hyperboloïdes à une nappe.
Il s'agit maintenant d'établir : 1° que les deux points M et M', à distance finie, communs à toutes ces quadriques, sont imaginaires et, par suite, conjugués; 2.^ que si gif h^^ g\ sont les parties imaginaires des coordonnées de l'un d'eux, on a
Or, 1° M et M' sont imaginaires; sinon, il existerait une quadrique réelle Q, passant par la conique à l'infini du cône A* — gg' =10^ par les points M' et M, et touchant en M un plan réel quelconque. Mais ce plan peut être choisi de manière à n'être parallèle à aucune génératrice réelle du cône h^ — gg' = o; il couperait donc Q suivant deux droites imaginaires, et Q, qui appartient au réseau
ne serait pas un hyperboloïde à une nappe, résultat contraire aux conditions (7).
2'* M et M' étant imaginaires, et dès lors conjugués, le point milieu de MM' est réel; transportons-y l'origine des coordonnées, sans changer la direction des axes; nous ne changerons pas non plus les parties imaginaires^ g,^ A,, g\^ des coordonnées de M et M'. Une des quadriques du réseau xl%-f-j F, -j- ^ Fa = o a pour centre la nouvelle origine et a dès lors une équation de la forme
(9) h^-gg' = lE.,
E étant >► o, puisque la surface (9) est un hyperboloïde à une nappe. La droite MM' étant réelle et passant par Torigine a des équations du type
et l'on a
puisque la droite (lo) coupe la quadrique (9) en deux points imaginaires (M et M'), Les équations (9) et (10) fournissent alors les coordonnées de M et de M' et donnent, pour ^,, A,, g\,
v»Y-?* Wn-P' 'vn-?'
d'où l'on tire
et, puisque E est négatif, on a bien
AJ— ^,^;<o. c. Q. F. D^
82. Invariants. — On reconnaît, comme dans la deuxième Partie de ce travail (I, n® 16) qu'une transformation ordinaire du premier degré change les trois relations singulières Fq == ^j E, = o, F, = o en F'jj = o, F'^ = o, Fj = o, qui forment également un système propre. De plus, la forme associée au système initial demeure inaltérée, c'està-dire que les coefficients A/ et S/y de cette forme sont des invariants^ vis-à-vis de toute transformation ordinaire de degré un.
De même, remplaçons le système F^ = F, = Fj = o par un système arithmétiquement équii^alent :
A Fo-hp. F, -hv F2=o, VFo-l-(Ji'F, + VF, = o, Y¥, + (ji"F, + v"Fj = o,
2l6 G. HUMBERT.
les X, (JL, V désignant des entiers, dont le déterminant ^Xfji'v") est égal à ±: T . La forme ternaire associée à ce nouveau système est, par définition, Tinvariant de la relation
-h ^'(X'To -h (x''F, 4- v'Tj) = o, qui s'écrit
-h ( V a?' -+- v' y -+- v" ^') Fa = o ;
on l'obtient donc en remplaçant, dans la forme (4), a;, y, z par
Xx' -h Vy -h X"z', ixa;' -+-..., va?' -i- En d'autres termes, puisque
le déterminant (X(x'v'') est égal à dbi, la forme ainsi obtenue en a?', y, s', est équivalente à la forme (4), associée au système initial. De ces remarques résulte cette proposition :
83. Théorème. — A tout système propre de trois relations singulières^ Fo=o, F< = o, F2 = o, correspond une forme quadratique ternaire positive en a;, y^ Zy qui est Vinvariant de la relation a7lfo-+"yFi -h 2F2 = o; cette forme se change en une forme équivalente quand on remplace le système initial par un système arithmétiquement équivalent^ ou quand on opère sur lui une transformation ordinaire du premier degré.
Ainsi, à tout système propre est associée, en réalité, une classe de formes quadratiques ternaires positives.
Il résulte également de là que le système considéré possède un invariant absolu, à savoir le discriminant de la classe associée, quantité toujours positive d'après (7).
84. La forme (4), associée à un système propre, n'est pas une forme ternaire positive quelconque ; en effet, en vertu même de son expression (4), elle est représentable par la forme à cinq variables
