X^-4YZ-4TU

et la représentation est propre, puisque, le système étant propre, les dix déterminants (A<,B<Ca), ..., (CoDjEa) n'ont aucun facteur commun.

Or, il est clair, a priori, qu'une forme ternaire n'est pas toujours représentable par la forme à cinq variables ; il est nécessaire pour cela qu'elle puisse représenter un carré, propriété qui n'appartient évidemment pas à toutes les formes ternaires et sur laquelle nous reviendrons plus loin.

Ainsi, les seules formes ternaires positives qui puissent être associées à un système propre de trois relations singulières sont les formes représentables proprement par la forme X^ — 4 YZ — 4TU; cette condition nécessaire est également suffisante, car la forme

( — 4(So^-|- S<J-h S22)(£oa7 -h l^y -h S,2^)

est associée au système

«og- -h ^oà -4- Yog"'^ K(à" - gg') -h £0 = o,

^ig-^^ih-h =0,

qui est propre, puisque, la représentation de la forme (11) par la forme X^ — 4 YZ — 4TU étant propre, les dix déterminants

sont premiers entre eux.

Étant donnée une forme ternaire positive, les méthodes générales classiques permettent de reconnaître si elle est représentable proprement par X*-~4YZ — 4TU; dans tout ce qui suit nous désignerons une forme ainsi représentable par la lettre ^.

Propriétés des /ormes S .