AF-F

et, puisque F est doublement périodique, nous tirons du théorème de

SOLUTIONS SATISFAISANT A DES CONDITIONS AUX LIMITES DONNÉES. l\Sl

Green

I^JAFdxdy = f^ds = o.

La condition devient donc

Jjfdxdy = o

ou, puisque O, est constant,

/ f f^idxdy = o.

Nous arrivons donc, dans tous les cas, au théorème suivant :

III. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une solution doublement périodique de

Au-h'kAu= /^

lorsque X a l'une des valeurs considérées au théorème II est que f satisfasse aux n équations

ff/^y dxdy = o (v = 1 , 2, . . . , n),

où les $v ^ont les solutions linéairement indépendantes de

Att-f-XAtt = o, pour cette même valeur de X.

3. — Existence d'une suite infinie de solutions doublement périodiques de Ae^ + XA£/ = o.

Lorsque X = o, il existe la solution doublement périodique u^^ o. Nous procéderons par induction pour prouver Texistence d'une suite

indéfinie de solutions doublement périodiques. Admettons l'existence de n telles solutions u^^ u^^ ...^ Un-\t pour les valeurs X^, X^, . . . . X„, de X. Déterminons les facteurs constants arbitraires de ces solutions de telle façon que

I K(«,.) 1 = 1 où K(w,.) T^Cfku] dxdy,

ce qui est possible, sauf quand K(a,) est nul. On a dans ce cas, en multipliant

A«/-i-X, Att,= o

par tt/, intégrant dans (2 et appliquant le théorème de Green :

Par suite,

Ui = const. et X/ = Xo = o.

Nous pouvons donc supposer que toutes nos solutions, sauf peutêtre «0 7 satisfont à la condition précédente. Ajoutons les équations

Ui (àUj -h Xy Auj) = o, — Uj(Aui H- X, Am,) = o;

intégrons dans ù et appliquons le théorème de Green ; nous aurons Çkj — X/) / / AujUidxdy = o,

et, par suite, si 'kj^\ :

K.'(Uij Uj)^ I I AuiUjd£dy = o.

Soient O,, Oa, . . . , O;. les solutions qui correspondent à un certain nombre de valeurs égales du paramètre.

SOLUTIONS SATISFAISANT A DES CONDITIONS AUX LIMITES DONNÉES. l\S3

Nous pourrons prendre, à la place de $2, la fonction la constante c,a étant choisie de telle sorte que

A la place de O3, nous pourrons prendre les constantes étant choisies de façon que

et ainsi de suite.

En définitive, nous pouvons supposer que les fonctions w,- satisfont, non seulement aux équations

mais encore à

K'("i, Uj) = o (/, y = o, 1 , 2, . . . , Al — I ; i :^ y).

Considérons maintenant le problème de minimum suivant. Il s'agit de rendre minimum l'intégrale

lorsque u possède des dérivées secondes continues par rapport à x et y en tout point du rectangle Q et satisfait aux équations

lK(tt)| = i où K(u) = ffAu^dxdy, K'(wy, u)'= I I Aujudxdy = 0 (7 = o, i, .. ., /i — i),

u{x,y) = u(x-hayy) {y<y<y-^b), u{xj y) = u(x, y -^ b) {x^x'ix •+• a);

Journ, de Math» (5" série), tome X. — Kasc. IV, 1904. *^5

OÙ Uj sont les solutions de l'équation aux dérivées partielles (solutions dont nous avons admis rcxistencc) et où les côtés du recUmgle Ci sont désignés par

x^=x^ X = X -h a\ yz=zy^ y =. y -\' h.

Désignons par |X„| la limite inférieure des valeurs de J sous ces conditions. Nous allons prouver qu'il existe, soit pour X = |X;i|, soit pour X = — |X;,|, une solution doublement périodique u^ de l'équation

(i) Aa-i-XAi/ = o,

Un étant linéairement indépendant de w^, w,, ..., ««-i-

D'après la définition de X„, il existe une suite indéfinie de fonctions U^, Ua, Uj, . . . satisfaisant aux conditions du problème de minimum et telles que

(2) limJ^U;,) = |X„|.

Nous pouvons même supposer sans restriction que ces fonctions vérifient les conditions

et que

K(w) = rhi,

avec le même signe quel que soit A.

Or on a, soit [ X;| | > | X„< |, soit

Dans ce dernier cas, |X„^[ >o, car Wo= const, est la seule solution doublement périodique de Att = o. Dans les deux cas, le raisonnement employé dans le premier problème aux limites prouvera encore ici l'existence d'une solution w„ du genre annoncé pourvu que les

quantités

restent inférieures, quel que soit A, à une limite fixe

jJ^V^dxdy

Nous considérerons deux cas; supposons d'abord

/ / Adxdy = G.

Alors on peut remplacer les fonctions [Jf^ par U>i-|-G>i, où les C/, sont des constantes arbitraires, car

K(U,-F G,) = K(U,) -*- 2Qjy A V.dxdy

^ClffAdxdy=K(V,)=±i

et

KXuj, U, -f- G,) = K'(c/y, U,) 4- C,ffA uj dx dy = K^uj, U,) = o, puisqu'on a

Enfin

/ I Auj Uq dxdy = o, u^ =

const.

Les constantes G^ peuvent être choisies de façon que

j f(\J^-hC^)dxdy==o,

et ces fonctions Uy^-h G>k vérifient les conditions (3).

Il reste le cas où

Si l'on a

/ / U/^dxdy =-. o,

les conditions (3) sont satisfaites; sinon, en posant

nous aurons

j J\5ndxdy

limiteJ(W,) = -r^TT^^^J =n'

ff^^dxdy = i, ffAW„dxdy = o.

En résumé, nous pourrons choisir une suite infinie de fonctions prises, soit parmi les U>i et satisfaisant à (3), soit parmi les W;^ et telles que

limite J(W>i) = o.

La dernière hypothèse est impossible, puisque les équations

/ j Adxdy ^o^

ff^,dxdy=i,

/ / AW;^ dx dy = o,

WA(x-,jK) = WA(a7 + a,7) iy<y<y + b'),

sont incompatibles. Car, autrement, nous aurions, quels que soient

Or, d'après l'inégalité de Schwarz, on a, pour deux fonctions arbitraires <p, ^'j

/ / <p^û^d[r = r f fdxdyxf f ^""dxdy,

et, par suite,

où CO est l'aire de û. On a donc

(4) lim r r'^dxdy = \im (^ [W,(x,y)-'W,{x,y)]dy = o.

Gomme ces équations sont vérifiées, quels que soient a?, y^ x\ y dans û,' nous aurons

\\mJjK{x, y) [y^h{x\ y) - ^h{x, y)\ dxdy = o,

ou, puisque

f f ^ (^, y) Wa(x-, y) dx dy = o,

^^j^ffA(x,y)W^{x',y)dxdy

^h(x\ y)J H^jy) dx \dy = o.

Intégrons par parties, nous aurons

Yim)yV,^{x\y -h b) ( I hdxdy

Mais la limite du second terme est zéro et, par suite, puisqu'on suppose

/ I Adxdy::j^ o,

nous aurons

lim Wy^(a:', ^ -t- 6) = o.

D'autre part, l'équation (4) a lieu quels que soient (or, y), (x\ y) dans Q; en particulier, pour y = y -h b^ nous aurons

== — lim / WA(a:', y^ dx = o,

lim / / W>fc dxdy = o.

Or, on a

quel que soit h ; il est donc impossible de supposer qu'il existe parmi les U/i une série infinie de fonctions ne satisfaisant pas à la condition (3).

Cette condition étant vérifiée par toutes les fonctions Uy^, exception faite de certaines en nombre fini ou nul, la démonstration se déroulera exactement comme dans le cas de la première condition aux limites.

Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

// existe une série infinie de valeurs X,- du paramètre X et de fonctions Ui partout finies^ ainsi que leurs dérivées premières et secondes y doublement périodiques a^ec les périodes a, b et satisfaisant à V équation

Aui'h'kiA(x,y)Ui=o,

où A possède les périodes a, b.

La fonction Ui(i =^ o) est solution du problème

^=f L [O' "^ (ë)'] '^'^ ^y = minimum, sous les conditions

t^-i-b ^Jc + a

^y-i-lf /^x-+-fl

I Au^dxdy = i, / / Auujdxdy =^ o

et elle donne à V intégrale J la valeur | X/ 1.

Il y a au plus un nombre fini de valeurs X/ qui coïncident et \ X/ 1 crott au delà de toute limite (*).

(*) Si A change de signe, Tensemble des valeurs X/ se compose d^uoe infinité de valeurs positives et d'une infinité de valeurs négatives. Voir la note (*), p. 472.